Verso l'infinito, ma con calma - Telegraph Road

Come moltiplicare i numeri ordinali? Partiamo da ordinali finiti: che significa la scrittura 3×2? Dobbiamo leggerla in questo modo: tre per due volte. E cioè, dobbiamo mettere due copie di 3 una di fianco all'altra:

{0,1,2}+{0,1,2}={0,1,2,0,1,2}.

Se ricontiamo, otteniamo {0,1,2,3,4,5}, cioè 6.

Se invece calcoliamo 2×3, dobbiamo mettere tre copie di 2 una di fianco all'altra:

{0,1}+{0,1}+{0,1}={0,1,0,1,0,1}.

Anche in questo caso, dopo aver ricontato, si ottiene 6.

“Sembra commutativa”.

“Certo, con gli ordinali finiti tutto è normale.”.

“Vuoi dire che con quelli infiniti le cose cambiano?”.

“Sì. Prova a calcolare 2×ω”.

“Uhm, 2 per ω volte. Vediamo, dovrei scrivere una cosa del genere:”.

{0,1,0,1,0,1,...}

“Giusto. Se riconti, ti accorgi subito che ottieni ω”.

“È vero. Dici che se provo a calcolare ω×2 ottengo un risultato diverso?”.

“Prova”.

“Allora, in questo caso ho due copie di ω, quindi posso scrivere così:”.

{0,1,2,...,0,1,2,...}

“Giusto. Ti sembra ancora uguale a ω?”.

“Eh, no, qui ci sono due numeri che non sono successori di nessun numero, cioè i due zeri. Questo è ω+ω”.

“Ottimo. Quindi ω×2 = ω+ω”.

“Ho capito. Allora potrei calcolare anche ω×3, poi ω×4, e così via. Posso calcolare anche ω×ω?”.

“Sì. Prova a scriverlo”.

“Uh, qui servono tanti puntini. Vediamo, posso scrivere così:”.

{0,1,2,...,0,1,2,...,0,1,2,...,...}

“Non sono tanto belli quei puntini finali”.

“Lo so, ma se non li scrivo non si capisce che l'insieme è diverso da ω×3”.

“Hai ragione. Ti mostro un sistema alternativo per rappresentare questo numero:”.

“Wow, ma che roba è?”.

“Immagina che il primo segmento verticale sia lo 0 iniziale”.

“Bene”.

“Il secondo è il primo 1”.

“Vedo che è un po' più corto del primo”.

“Sì, è una specie di rappresentazione in prospettiva. Se noti, ogni segmento è più corto del precedente. I vari segmenti si rimpiccioliscono e si infittiscono, come se andassero verso l'infinito”.

“Ah, ora vedo! Come i pali del telegrafo che corrono a fianco di una strada”.

“Proprio così. E in questa figura sono rappresentate ω linee del telegrafo, sempre più lontane. Questo è ω×ω, cioè ω²”.

“E dopo avremo anche ω³, suppongo?”.

“Supponi bene. Poi ω⁴, ω⁵, e così via”.

“Fino a ω^ω?”.

“Fino a quello, e oltre”.

“Fermiamoci un attimo a quello, che mi sembra già abbastanza grande. Come potremmo rappresentarlo?”.

“È ancora più difficile, perché comprende troppi livelli di infinito per poterlo rappresentare ancora come un insieme di pali del telegrafo. Un modo è quello di rappresentare una spirale. Ad ogni giro hai una potenza di ω, quindi ad ogni giro i segmenti si avvicinano sempre più in fretta”.

“Mamma mia”.

“Sì, fa girare la testa... ω^ω si ottiene affiancando tutti gli schemi per 1, ω, ω², ω³,...”.

“Basta, basta, fa girare la testa davvero. Mi piacerebbe vedere la figura”.

“Eccola”.