Le operazioni di somma, prodotto e potenza di ordinali ci permettono di costruire numeri sempre più grandi. Esiste un modo standard per esprimerli, che potremmo considerare come una specie di numerazione posizionale in base ω.
“Eh?”.
“Sai cos'è un sistema di numerazione posizionale?”.
“Ehm...”.
“Allora prova a calcolare XXIII×XLII”.
“Roba da matti, adesso scrivi in numeri romani. Questi li conosco, sai? Devo calcolare 23×42. Posso usare la calcolatrice?”.
“Non se ne parla neanche. Non puoi usare la calcolatrice, puoi usare carta e penna, non puoi usare cifre arabe”.
“Come sarebbe? E allora come faccio?”.
“Preferiresti usare le cifre arabe?”.
“Certo”.
“Perché?”.
“Perché se non mi lasci usare la calcolatrice mi metto a fare i conti a mano. Le moltiplicazioni in colonna dovrei ricordarmele ancora”.
“E non puoi usare i numeri romani?”.
“Eh, no. Non funziona, non si riesce a incolonnare, non si fanno i riporti”.
“Perfetto. Per incolonnare e fare i riporti serve un sistema di numerazione posizionale”.
“Mmh...”.
“Un sistema che ti permetta di usare pochi simboli (noi ne usiamo dieci), di distinguere tra unità, decine, centinaia, e così via. E di fare quindi i riporti”.
“Ah, ho capito”.
“Quando noi scriviamo 42 intendiamo 4 decine e 2 unità. Cioè 4×10+2”.
“Ah, ok, questo lo sapevo. Avevamo parlato anche della numerazione binaria, tempo fa. In quel caso è tutto basato sulle potenze di 2. Bene, ora ricordo tutto. E con gli ordinali dici che si fa un sistema in base ω?”.
“Sì. Se ripensi a tutti i calcoli che abbiamo fatto, noterai che un numero ordinale può contenere una parte finita, poi una parte che contiene ω, una parte che contiene ω2, e così via. Puoi andare avanti quanto vuoi e costruire una torre di potenze di ω. Eccoti un esempio di un numero ordinale abbastanza complicato da scrivere:”.
ωωω×7+42×272+ω3+84×4+ωωω×6+3141.
“Ok, ci sono. Sommando, moltiplicando e facendo potenze possiamo ottenere tutti gli ordinali, e li possiamo scrivere in questo modo”.
“No, non è così, non tutti gli ordinali”.
“No? Eppure... se facendo qualunque operazione otteniamo un ordinale di quel tipo, cosa non riusciamo a scrivere?”.
“Noi riusciamo a scrivere in quel modo, che si chiama forma normale di Cantor, solo gli ordinali che si ottengono facendo un numero finito di somme, prodotti e potenze”.
“Ah, perché, possiamo farne anche un numero infinito?”.
“Stiamo o non stiamo parlando di infinito?”.
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