Verso l'infinito, ma con calma - somme non commutative

Con i numeri ordinali la proprietà commutativa non vale più. Abbiamo visto che 1+ω è uguale ancora a ω, mentre ω+1 è un numero diverso. Più precisamente, ω+1 è il successore di ω: avevamo infatti detto che ogni ordinale è l'insieme di tutti gli ordinali che lo precedono, e che quindi il successore di ogni ordinale α è α ∪ {α}. Come 3 è uguale a 2 ∪ {2}, cioè {0,1} ∪ {2} = {0,1,2}, così ω+1 è uguale a ω ∪ {ω}, cioè {1,2,...,ω}.

“Ma allora come dobbiamo fare se vogliamo calcolare una somma un po' più complicata di ω+1?”.

“Ci aiutiamo con le parentesi, e stiamo attenti all'ordine. Per esempio, supponiamo di voler calcolare la somma tra ω+ω+1 e ω+4”.

“Ok. La facciamo nei due modi possibili?”.

“Sì. Cominciamo da (ω+ω+1)+(ω+4)”.

“Va bene. Allora, io scriverei una cosa del genere:”.

{0,1,...,0,1,...,0}+{0,1,...,0,1,2,3}

“E quanto fa?”.

“Boh? Come faccio a saperlo?”.

“Devi ricontare tutto, per vedere se puoi semplificare qualcosa”.

“Allora forse è meglio se prima metto tutto in fila, togliendo le parentesi intermedie”.

{0,1,...,0,1,...,0,0,1,...,0,1,2,3}

“Perfetto. Ricordati che i simboli uguali devono essere sempre considerati diversi, e che al posto dei puntini ci sono infiniti numeri. Ora prova a ricontare”.

“Dunque, vediamo: il primo pezzo 0,1,... corrisponde a ω”.

“Giusto”.

“Anche il secondo pezzo 0,1,... corrisponde a un altro ω”.

“Bene”.

“Poi c'è 0,0,1,... Però, se riconto, anche questo corrisponde a ω. È analogo all'albergo di Hilbert: ho aggiunto un elemento all'inizio, spostando di un posto tutti gli altri”.

“Perfetto”.

“Rimane 0,1,2,3. Bé, questo è facile, è uguale a 4”.

“Giusto. Riassumendo?”.

“Riassumendo: (ω+ω+1)+(ω+4) = ω+ω+ω+4”.

“Ottimo. Ora prova a calcolare (ω+4)+(ω+ω+1)”.

“Ok, vado. Il risultato si dovrebbe scrivere così”.

{1,2,...,0,1,2,3,0,1,...,0,1,...,0}

“Giusto. Ricontando come diventa?”.

“Allora, abbiamo un ω all'inizio, poi la sequenza 0,1,2,3,0,1,... è un altro ω, poi un terzo ω e infine un 1. Se ho fatto bene i conti, risulta ω+ω+ω+1. Diverso dal risultato precedente”.

“Proprio così. In generale, due numeri ordinali possono essere sommati in due modi diversi”.

“Ho capito. Tre ordinali potranno essere sommati in sei modi diversi, quattro in ventiquattro, eccetera”.

“Invece no”.

“Ho sbagliato i calcoli? Eppure, non mi sembra...”.

“No, i calcoli in sé vanno bene. Il fatto è che con gli ordinali alcuni risultati coincidono. Per esempio, quando sommi tre ordinali non hai sei possibilità, ma solo cinque, perché due di queste possibilità coincideranno sempre”.

“Uhm”.

“La dimostrazione del caso generale è complicata, sta in un articolo di 13 pagine pubblicato dalla rivista scientifica Fundamenta Mathematicae”.

“Wow. Cosa dice il caso generale?”.

“Dice che il numero più grande possibile di somme distinte di n numeri ordinali, per n che va da 1 in poi, segue questa successione:”.

1, 2, 5, 13, 33
81, 193, 449, 33², 33×81,
81², 81×193, 193², 33²×81, 33×81²,
81³, 81²×193, 81×193², 193³, 33×81³,
e da qui in poi moltiplichi per 81 la riga precedente:
81⁴, 81³×193, 81²×193², 81×193³, 33×81⁴, ...

“Posso permettermi un commento?”.

“Lo so, è una schifezza”.