Verso l'infinito, ma con calma - così tanto da dire, così poco per dire

Utilizzando un numero finito di somme, moltiplicazioni e potenze di ordinali, possiamo esprimere “solo” ordinali nella forma normale di Cantor. La potenza, che è l'operazione che ci permette di esprimere in modo conciso gli ordinali più grandi, ci ha condotti alla scrittura di una torre di potenze di ω:

ω, ω^ω, ω^ωω, ω^ωωω, ..., ω^ωωω....

Ora la domanda è: possiamo continuare all'infinito? E, se sì (ed è certamente sì, i passaggi all'infinito ormai non ci spaventano più), cosa otteniamo?

Partiamo dall'inizio, definendo una successione di potenze:

a₁=1,
a_n+1=ω^a_n.

“Uhm, vediamo... a₂ dovrebbe essere ω, giusto?”.

“Giusto”.

“Poi a₃ dovrebbe essere ω^ω”.

“Giusto anche questo”.

“Ok, ci sono, ogni volta che aumenta n aumenta di un piano la torre di potenze”.

“Perfetto. Ora indichiamo con x l'estremo superiore dell'insieme di tutti gli a_i. In formule: x = sup{a_i : i < ω}”.

“Ok, fin qua ci sono, ma non esagerare con le formule”.

“Va bene, ormai ci siamo. Ora calcoliamo ω^x”.

“Uhm, come si fa?”.

“Ricordi la definizione? Dobbiamo prendere ω^α per tutti gli ordinali α minori di x”.

“Quindi dovrei prendere... un momento! Tutti gli ordinali minori di x sono tutti quelli che abbiamo considerato finora, perché x è l'estremo superiore dell'insieme che contiene tutte le potenze di base ω. In pratica dobbiamo prendere di nuovo x”.

“Giusto. Detto in termini poco rigorosi ma più chiari, se hai una torre infinita di potenze di ω e aggiungi un altro esponente ω, non cambia nulla”.

“E quindi cosa abbiamo ottenuto?”.

“Abbiamo ottenuto un x tanto grande che ω^x = x”.

“Sembra un'equazione”.

“È un'equazione. Noi abbiamo ottenuto il più piccolo x che la soddisfa, che Cantor ha chiamato ε₀. Oltre a indicarlo con una torre di potenze infinita, possiamo anche indicarlo in questo modo:”.

ε₀ = 1+ω+ω^ω+ω^ωω+...

“Ohi ohi”.

“Che c'è?”.

“Quell'indice 0...”.

“Sì?”.

“Vuol forse dire che ce ne sono altri?”.

“Naturalmente. Sempre soluzioni di ω^x = x. Il prossimo si chiama ε₁”.

“Ci avrei scommesso”.

“Eccolo qua:”.

ε₁=(ε₀+1)+ω^ε₀+1+ω^ωε₀+1+...

“Gulp”.

“Poi ci sono ε₂, ε₃, ..., ε_ω”.

“Argh”.

“Poi ε_ω², ..., ε_ω^ω”.

“Ma no, si ricomincia!”.

“E guarda questa sequenza:”.

ε_ε0, ε_εε0, ..., ε_εεε....

“Ma non si finisce mai!”.

“Mai. Osserva che l'ultimo numero è la prima soluzione di ε_x = x”.

“Non oso pensare a quello che viene dopo”.

“Il fatto è che possiamo giusto solo pensarci”.

“Perché?”.

“Perché possiamo andare avanti quanto vogliamo, all'infinito, e definire nuovi numeri. Ma non avremo mai abbastanza parole per farlo”.

“In che senso?”.

“Nel senso che con le lettere dell'alfabeto possiamo formare soltanto un insieme finito di parole. Al limite possiamo immaginare un dizionario infinito di parole, anche se non potremo mai leggerle tutte. Ma se anche le usassimo tutte per dare un nome ai nuovi numeri che definiremo, avremo comunque un'infinità numerabile di nomi a disposizione. Cioè ne avremo ℵ₀”.

“Ah”.

“Mentre di ordinali ne possiamo definire molti di più. Ma anche se ci limitiamo ai soli numeri reali, non avremo mai parole a sufficienza per dare un nome ad ognuno. Figuriamoci dare un nome a tutti gli ordinali”.

“E quindi?”.

“E quindi ci fermiamo qui, immaginando tutto il resto solo con il pensiero, senza usare altre parole”.

“Peccato, mi dispiace che il cammino verso l'infinito finisca qua. Avrei però un'ultima domanda”.

“Quale?”.

“Il fatto che questo post venga pubblicato l'otto ottobre duemilaeotto alle otto e otto è un caso?”.

“Questo te lo lascio come esercizio”.