Verso l'infinito, ma con calma - somme di ordinali

Per poter parlare di somme di ordinali serve una semplice definizione: diciamo che C è il concatenamento dei due insiemi bene ordinati A e B se C è ottenuto unendo A e B in modo tale che all'interno di A e di B sia mantenuto l'ordinamento che già avevano prima, che tutti gli elementi di A siano minori di tutti gli elementi di B, e che gli elementi di A e di B vengano considerati distinti.

“Mamma mia, questa è una definizione da Vero Matematico”.

“Ma no, è semplice, con un esempio si capisce subito”.

“Sarà. Vediamo l'esempio”.

“Cominciamo da due insiemi finiti: A = {1,2,3} e B = {a,b,c,d}. L'insieme C è semplicemente {1,2,3,a,b,c,d}”.

“Tutto qua?”.

“Ti avevo pur detto che è semplice. Nota che tutti gli elementi di A e di B hanno mantenuto il loro ordine iniziale, in più ogni elemento di A è minore di ogni elemento di B”.

“Va bene, è facile. Noi però vogliamo parlare di somme di ordinali”.

“Vero. Prendiamo allora due ordinali finiti, per esempio 3 = {0,1,2} e 4 = {0,1,2,3}”.

“Mh, questa volta se facciamo l'unione otteniamo {0,1,2,0,1,2,3}, che però sarebbe uguale a {0,1,2,3}”.

“Infatti così non va bene. Devi ragionare immaginando un'operazione preliminare: bisogna cambiare nome agli elementi di B, anche solo mettendo un segno ad ognuno. Per esempio, prova con questi due insiemi: 3 = {0,1,2} e 4 = {0',1',2',3'}”.

“Ah, ok, in questo modo ottengo {0,1,2,0',1',2',3'}. Assomiglia all'esempio che hai fatto prima con {1,2,3} e {a,b,c,d}”.

“Infatti è lo stesso esempio, in cui abbiamo cambiato nome agli elementi dell'insieme. Noterai anche che l'insieme che abbiamo ottenuto è bene ordinato, ed è quindi in corrispondenza con un ordinale”.

“Ma i Veri Matematici fanno così? Perché non mi sembra una definizione da Vero Matematico, questa”.

“Bé, non fanno proprio così. Volendo essere più rigorosi, invece di rinominare gli elementi del secondo insieme quando sono uguali a quelli del primo, considerano due nuovi insiemi: il primo formato da coppie del tipo (a,0), dove a è un elemento di A. Il secondo formato da coppie del tipo (b,1), dove b è in B. In questo modo tutti gli elementi del primo tipo sono certamente diversi da quelli del secondo tipo”.

“Ho capito. In questo caso otterremmo un insieme fatto così: {(0,0),(1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1),(3,1)}. È vero che è bene ordinato, come dicevi prima, ma non è un ordinale nella sua forma standard”.

“Puoi convertirlo nella forma standard rinominando i suoi elementi ancora una volta, partendo da 0 e andando avanti. In questo modo ottieni {0,1,2,3,4,5,6}”.

“Che sarebbe l'ordinale 7”.

“Perfetto, questa è la somma: hai dimostrato che 3+4=7”.

“Va bene, ma questi giochini funzionano con gli ordinali finiti. Se invece li prendiamo infiniti?”.

“Se invece li prendiamo infiniti le cose si complicano un po'”.

“Capirai”.

“Per esempio, proviamo a calcolare 1+ω. Concordiamo di non rinominare gli elementi, in questo modo la scrittura è più semplice, va bene?”.

“Ok, se vedo qualche numero che si ripete so che va considerato come un elemento diverso dai precedenti”.

“Bene. Allora, 1 = {0}, mentre ω = {0,1,2,...}. Quindi come risulterebbe l'insieme somma?”.

“Facile: {0,0,1,2,...}”.

“Bene. Con quale insieme è in corrispondenza biunivoca? Attenzione che deve essere una corrispondenza che conserva l'ordine”.

“Facile anche questo, perché è l'esempio dell'albergo di Hilbert. Se riconto tutto, è in corrispondenza con {0,1,2,...}”.

“Perfetto. Dunque 1+ω=ω”.

“Come con i cardinali?”.

“Esatto: 1+ℵ₀=ℵ₀. Ma prova ora a calcolare ω+1”.

“Non l'abbiamo appena fatto?”.

“No, abbiamo fatto 1+ω, e sai che i Veri Matematici sono molto pignoli su queste cose. Se c'è scritto ω+1, calcola ω+1 secondo la definizione”.

“Vabbé, anche se non capisco l'utilità. Dovrebbe risultare {0,1,2,...,0}. Uhm...”.

“Cominci a capire?”.

“Già. Mi ricorda l'esempio che avevi fatto con {0,1,2,...,Gigante}”.

“Esatto. Ricordi che non si riesce a fare una corrispondenza biunivoca tra quell'insieme e {0,1,2,...}? O meglio, non si riesce a fare una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine”.

“È vero. Il secondo 0 dovrebbe essere un elemento maggiore di tutti gli altri, ma non riesco a metterlo in corrispondenza biunivoca con nessun elemento di {0,1,2,...}, perché quest'ultimo insieme non contiene un elemento con quella caratteristica”.

“E dunque ω+1 è diverso da ω”.

“Già”.

“Volendo essere più precisi, ω+1 è maggiore di ω: lo avevamo notato quando abbiamo parlato dell'ordinamento degli ordinali”.

“Giusto. E quindi... oh oh”.

“Che succede?”.

“Stavo pensando... ma allora possiamo fare anche ω+2, ω+3, e possiamo andare avanti sempre...”.

“Vedo che ti si è accesa una lampadina”.

“E allora potremmo anche scrivere ω+ω!”.

“Fattoriale?”.

“No, stupore!”.