Verso l'infinito, ma con calma - torri di potenze

Abbiamo visto un esempio di potenza tra numeri ordinali: ω^ω. In generale la potenza di numeri ordinali può essere definita per induzione, ma dobbiamo ricordarci che si sta parlando di induzione transfinita, cioè di un procedimento tra numeri ordinali, e non “semplici” naturali.

“Poveri naturali, ridotti al rango di numeri semplici...”.

“Hai ragione, anche se la struttura degli ordinali è certamente più ricca e complessa”.

“Anche questo è vero. Ma cosa sarebbe questa induzione transfinita?”.

“Ricordi che abbiamo già parlato dell'induzione?”.

“Sì. Dicevamo che se una proprietà è vera per 0, e che se l'essere vera per un certo n implica che sia vera anche per n+1, allora la proprietà è vera sempre. Una specie di effetto domino”.

“Proprio così. Si basava sul concetto di successore di un numero: la proprietà valida per n si trasferisce su n+1, e così via. Possiamo formulare una proprietà analoga per gli ordinali”.

“Sì, in effetti anche per gli ordinali abbiamo il concetto di successore”.

“Giusto, ma ricordati che non tutti gli ordinali sono successori di qualche ordinale”.

“Ah, è vero. Mi avevi già fatto l'esempio di ω: non è successore di nessun numero”.

“Bravo. L'avevamo chiamato ordinale limite”.

“E come facciamo in questo caso?”.

“Dobbiamo formulare il principio di induzione in modo un po' diverso: per ogni ordinale b, se la proprietà P(a) vale per tutti gli ordinali a minori di b, allora vale anche P(b)”.

“Uhm”.

“Pensa a ω. Ricordi che ω è uguale a {0,1,2,...}?”.

“Sì, è la definizione”.

“E quali sono tutti gli ordinali minori di ω?”.

“Sono tutti i numeri naturali”.

“Bene. Dunque, se dimostri che una certa proprietà è vera per tutti i naturali, allora puoi dire che è vera anche per ω. Poi puoi continuare normalmente con ω+1, ω+2, e così via. Ogni volta che vuoi passare a un ordinale limite, devi considerare tutti gli ordinali minori”.

“Ok, ho capito”.

“Bene, ora possiamo parlare della definizione di potenza. Prima di tutto, diciamo che α⁰=1”.

“Ok, questo mi pare ragionevole”.

“Poi, sistemiamo tutti i successori: α^β+1=α^βα”.

“Ok. Per quanto riguarda i numeri naturali, questa è la solita regola”.

“Giusto. Ora il passo riguardante gli ordinali limite: se δ è un ordinale limite, allora α^δ è l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutti gli α^β per tutti i β minori di δ”.

“Credo di aver capito. Come diventa, nel caso di ω^ω?”.

“Siccome ω è un ordinale limite, devi considerare tutti gli ω^β per tutti i β minori di ω, cioè per tutti i β naturali”.

“E quindi dovrei considerare l'ordinale limite che si ottiene prendendo tutte le potenze di ω una dopo l'altra?”.

“Sì: ω^ω = 1 + ω + ω² + ω³ + ...”.

“Ah, ora capisco meglio quella figura a spirale che mi hai fatto vedere. E adesso che abbiamo definito la potenza, possiamo naturalmente andare avanti quanto vogliamo?”.

“Certo. Ormai dovresti aver capito che con gli ordinali si può sempre andare avanti. Ecco una prima sequenza di ordinali:”.

ω^ω+1, ω^ω+2, ω^ω+3, ..., ω^ω+ω.

“Ah, l'ultimo è un nuovo ordinale limite”.

“Poi saliamo ancora:”.

ω^ω+ω×2, ω^ω+ω×3, ..., ω^ω+ω².

“Hai passato un altro limite”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+ω²+1, ..., ω^ω+ω²+ω.

“Sempre più grande”.

“Ora vado un po' più in fretta:”.

ω^ω+ω³, ..., ω^ω+ω^ω = ω^ω×2, ω^ω×2+1, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω×4, ..., ω^ω×ω=ω^ω+1.

“Wow, sei andato decisamente in fretta”.

“E poi ancora:”.

ω^ω+1+1, ..., ω^ω+1+ω, ... ω^ω+1+ω², ..., ω^ω+1+ω^ω, ..., ω^ω+2, ..., ω^ω+3, ..., ω^ω×2, ..., ω^ω×3, ..., ω^ω2.

“Anche le doppie potenze?”.

“Non solo doppie:”.

ω^ω2, ..., ω^ω3, ..., ω^ω4, ..., ω^ωω, ..., ω^ωω+1, ..., ω^ωωω, ..., ω^ωωωω.

“Mamma mia, e io che pensavo che ω fosse già abbastanza grande...”.