Verso l'infinito, ma con calma - l'insieme delle parti

Per salire verso cardinalità sempre più grandi dobbiamo introdurre un nuovo oggetto: l'insieme delle parti. La definizione è semplice: si chiama insieme delle parti di un insieme A l'insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di A. Il suo simbolo è P(A) (in realtà la P andrebbe scritta in corsivo, ma non stiamo a sottilizzare).

“Facciamo qualche esempio?”.

“Ok, partiamo dall'insieme più semplice: l'insieme vuoto. L'insieme delle parti è...”.

“Vuoto pure lui”.

“No. L'insieme delle parti contiene un elemento, l'insieme vuoto”.

“Eeeh?”.

“Prova a pensare a cosa significa sottoinsieme”.

“Un sottoinsieme S di A contiene alcuni elementi dell'insieme A”.

“Circa. La definizione corretta è: se x appartiene a S, allora x appartiene anche ad A”.

“Va bene. Possiamo dire che tutti gli elementi di S sono contenuti in A?”.

“Certo. Allora vedi che l'insieme vuoto è sottoinsieme dell'insieme vuoto”.

“Veramente non vedo un bel niente”.

“È vero o no che tutti gli elementi dell'insieme vuoto sono contenuti nell'insieme vuoto, o in qualunque altro insieme?”.

“Ma l'insieme vuoto non ha elementi!”.

“Appunto. Esiste forse qualche elemento dell'insieme vuoto che non è contenuto in qualche insieme?”.

“No, certo, non esistono proprio elementi”.

“Dunque è vero il contrario, tutti gli elementi dell'insieme vuoto sono contenuti in qualunque insieme”.

“Mamma mia, che sofismi. Va bene, ho capito: se A=∅, allora P(A)={∅}”.

“Perfetto. Parlando di cardinalità, Card(∅)=0, Card(P(A))=1”.

“Ok. Possiamo prendere un insieme un pochino più grosso?”.

“Prendiamo A={a}. Quali sono i suoi sottoinsiemi?”.

“Allora, ho capito che c'è l'insieme vuoto, quello è dappertutto”.

“Poi?”.

“Ce ne sono ancora?”.

“Sì”.

“Forse A stesso?”.

“Molto bene: ogni insieme è sottoinsieme di sé stesso. È un concetto analogo a quello di essere minore o uguale tra due numeri. Accettiamo anche l'uguaglianza”.

“Ho capito. Quindi, se A={a}, P(A)={∅,{a}}”.

“Parlando di cardinalità: Card(A)=1, Card(P(A))=2”.

“Ok, ora provo con un insieme di due elementi: A={a,b}. Se non sbaglio, P(A)={∅,{a},{b},{a,b}}. Card(A)=2, Card(P(A))=4”.

“Bene. Facciamo un ultimo esempio con tre elementi: A={a,b,c}. L'insieme delle parti è fatto in questo modo:

P(A)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}.

Quindi Card(A)=3, mentre Card(P(A))=8”.

“Uhm, mi pare che ci sia una regola sotto”.

“Quale?”.

“Se la cardinalità di A è uguale a n, la cardinalità di P(A) è uguale a 2ⁿ”.

“È vero”.

“E si dimostra?”.

“Certo. Per gli insiemi finiti è semplice, per quelli infiniti più complicato, ma la formula vale sempre”.

“Cioè, mi stai dicendo che si può calcolare 2^ℵ₀?”.

“Già”.

“E immagino che faccia sempre ℵ₀?”.

“No. Questa volta fa di più”.

“Ah, quanto?”.

“c gotico”.

“Eh?”.

“I Veri Matematici scrivono una lettera c minuscola in caratteri gotici”.

“Cioè, mi stai dicendo che prima vanno a scomodare l'alfabeto ebraico, prendono la prima lettera e ci aggiungono un indice, come a dire state a vedere quanti numeri tiriamo fuori, poi per un po' temono che quella sia l'unica lettera che mai useranno, e alla fine, quando scoprono che ne possono usare un'altra, scrivono c gotico?”.

“Ehm”.