Verso l'infinito, ma con calma - esistono cardinalità grandi

So che qui perderò la metà dei miei 10₂ lettori, perché questa dimostrazione è difficile. Ma se uno prova a seguirla, magari con carta, matita, gomma, troverà che è affascinante. Chiaramente, affascinante per un Vero Matematico.

Abbiamo visto che se la cardinalità dell'insieme A è α allora la cardinalità dell'insieme delle parti P(A) è 2^α. Nel caso in cui α è transfinito, la scrittura 2^α è soltanto un simbolo. Ora vogliamo dimostrare che 2^α è effettivamente maggiore di α anche nel caso transfinito.

Supponiamo per assurdo che esista una funzione biunivoca μ tra A e P(A).

“Ehm, per assurdo?”.

“Sì, è una tecnica di dimostrazione”.

“Uhm”.

“Funziona così: tu supponi che quello che vuoi dimostrare non sia vero, e provi a vedere cosa succede. Se arrivi a una contraddizione, vuol dire che la tua supposizione iniziale è sbagliata, e quindi quello che vuoi dimostrare è proprio vero”.

“Ah. Un metodo un po' strano, ma credo di aver capito. Prova ad andare avanti”.

“Allora, questa fantomatica corrispondenza biunivoca μ dovrebbe far corrispondere elementi di A a sottoinsiemi di A”.

“Giusto: parte da A (che contiene elementi di A, evidentemente) e arriva a P(A) (che contiene sottoinsiemi di A)”.

“Allora, prendiamo un generico elemento di A e chiamiamolo (con grande fantasia) a”.

“I Veri Matematici sono noti per la loro fantasia”.

“È vero. Un mio prof all'università un giorno ci fece una dimostrazione in cui si mise a usare un sacco di lettere strane. Scoprimmo solo alla fine che voleva arrivare a usare la variabile η_β”.

“Mi avvalgo della facoltà di non commentare”.

“Comunque dicevamo dell'elemento a. Questo corrisponderà a un sottoinsieme di A”.

“Sì, certo”.

“Questo sottoinsieme di A potrebbe contenere l'elemento a oppure no”.

“Uhm. Ok. Magari, un esempietto?”.

“Immagina che l'insieme A sia {Pippo, Pluto, Paperino}, e prendiamo un elemento di questo insieme, per esempio Pippo. A questo elemento corrisponde un sottoinsieme di A, diciamo che sia {Pluto, Paperino}”.

“Ok. In questo caso a non appartiene al corrispondente insieme”.

“Esatto. Se invece prendo Pluto, e immagino che sia associato a {Pippo, Pluto}, allora vedo che a appartiene al corrispondente insieme”.

“Ok, ci sono, ho capito. Tutti gli elementi di A saranno associati a insiemi, e abbiamo due possibilità: o questi insiemi contengono i corrispondenti elementi, oppure non li contengono”.

“Perfetto. Allora possiamo considerare l'insieme di tutti gli elementi di A che non appartengono al corrispondente insieme, come il Pippo dell'esempio precedente”.

“Ok. Immagino che un Vero Matematico lo chiamerebbe B”.

“Vedo che sei sulla buona strada. Ora, attento: anche B è un sottoinsieme di A, vero?”.

“Certo. Contiene solo elementi di A”.

“E quindi questo B, nella nostra fantomatica corrispondenza biunivoca, proviene da un qualche elemento di A”.

“Sì, se immaginiamo che questa corrispondenza biunivoca esista, come hai detto tu, allora B proviene da... possiamo chiamarlo b?”.

“Certo, un'ottima scelta. L'elemento b è associato a B. Ora arriva la domanda: b appartiene a B?”.

“Vediamo: B contiene solo elementi che non appartengono all'insieme al quale corrispondono. Siccome b corrisponde a B, b non può stare in B. Perfetto, ho la risposta: b non appartiene a B”.

“Ma l'insieme B non dovrebbe contenere tutti gli elementi che non appartengono all'insieme a cui sono associati?”.

“Certo”.

“E b non è associato a B?”.

“Certo”.

“Allora b appartiene a B”.

“Certo. No, un momento, ho appena detto che b non appartiene a B. Ora tu mi dici che proprio perché b non appartiene a B allora deve appartenere a B! Mi sembra il paradosso del barbiere”.

“È lui. Osserva che puoi anche partire dalla supposizione contraria: se b appartiene a B significa che b non appartiene all'insieme a cui corrisponde, che è sempre B. Da qualunque parte tu la guardi, è una contraddizione. Se supponi che esista una corrispondenza biunivoca tra A e P(A) arrivi al paradosso, anzi, all'antinomia, del barbiere. E questo non può succedere”.

“Quindi?”.

“Quindi la nostra fantomatica μ non esiste”.

“Wow”.

“E quindi A e P(A) non hanno la stessa cardinalità”.

“Vero”.

“E siccome P(A) contiene A, la cardinalità di P(A) è maggiore di quella di A”.

“Come dicono i giovani d'oggi, il barbiere spakka”.

“Guai a te se scrivi un'altra volta con le k”.

“Ehm”.