Verso l'infinito, ma con calma - rette e segmenti

“Cos'è 'sta roba?”.

“Una costruzione geometrica”.

“E cosa costruisce?”.

“Una corrispondenza biunivoca”.

“Cominciamo da capo?”.

“Ok. In rosso c'è il segmento AB, sul quale è stato scelto un punto a caso, P”.

“Bene, fin qua ci sono”.

“Poi ho costruito la perpendicolare al segmento AB passante per P”.

“Bene. Vedo che passa per un punto che hai chiamato E, che sta su una semicirconferenza”.

“Esatto. La semicirconferenza è costruita in modo tale da essere tangente al segmento AB nel punto medio”.

“Ok. Immagino che C sia il centro, giusto?”.

“Giusto. Dal centro parte una semiretta che passa per E e continua fino ad incontrare la retta che contiene AB”.

“E questa semiretta incontra la retta che contiene AB in D”.

“Perfetto, questa è la costruzione”.

“E la corrispondenza biunivoca qual è?”.

“Il procedimento che abbiamo appena enunciato è la corrispondenza biunivoca. Mette in corrispondenza i punti del segmento AB ai punti della retta”.

“Ah. Immagino che sia uno dei soliti paradossi dell'infinito?”.

“Già. Ogni punto del segmento può essere portato sulla semicirconferenza, e da lì sulla retta. Viceversa, ogni punto della retta può essere portato sulla semicirconferenza e, da lì, sul segmento”.

“Uhm, e per quanto riguarda i punti A e B?”.

“Niente, quelli li lasciamo da parte. La corrispondenza biunivoca è tra i punti interni a AB e la retta”.

“Ok”.

“Quindi il segmento AB e la retta, visti ora come insiemi di numeri, hanno la stessa cardinalità”.

“Ah, ok. Ho capito dove vuoi arrivare: avevi analizzato la cardinalità di [0,1), e ora vuoi dire che ha la stessa cardinalità della retta”.

“Esatto”.

“Ma [0,1) contiene lo zero, mentre nel tuo esempio gli estremi non sono contenuti”.

“Sì, è vero. Per questo dobbiamo fare qualche passaggio in più. Abbiamo appena detto che (0,1) è in corrispondenza biunivoca con i numeri reali, quindi (0,1) e R hanno la stessa cardinalità”.

“E fin qua siamo d'accordo”.

“Ora, puoi immergere facilmente (0,1) in [0,1)”.

“Sì, è ovvio, a ogni elemento di (0,1) associo sé stesso, e sono a posto. Ho costruito una funzione iniettiva, ma non suriettiva, perché nel secondo insieme lo 0 rimane fuori”.

“E altrettanto facilmente puoi immergere [0,1) nella retta”.

“Certo. Ah, ho capito. La cardinalità di (0,1) è minore o uguale di quella di [0,1), che è minore o uguale di quella della retta, che è uguale a quella di (0,1)”.

“E mettendo insieme queste disuguaglianze col teorema di Cantor-Bernstein-Schröder cosa puoi concludere?”.

“Che le cardinalità sono tutte uguali! E sono uguali al tuo famoso c gotico”.

“Esatto. Quindi, ricapitolando tutto, 2^ℵ₀ = c”.

“Fiuu. Finalmente ci siamo arrivati. Immagino che poi prenderai il piano, e dirai che ha cardinalità maggiore di c, poi lo spazio che avrà cardinalità ancora più grande, poi ti divertirai ad aumentare le dimensioni come fanno i Veri Matematici”.

“No”.

“No? Perché”.

“Ti mostrerò che il piano ha la stessa cardinalità della retta. E dalla dimostrazione capirai che anche lo spazio ha la stessa cardinalità, così come tutti quegli spazi a n dimensioni che non ti piacciono tanto”.

“Oh, no, ancora paradossi”.