Verso l'infinito, ma con calma - numeri ordinali

Avevamo accennato a due modi di contare: i numeri cardinali tengono conto della grandezza di un insieme, mentre i numeri ordinali tengono conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che voglio contare.

La cardinalità, abbiamo visto, è una proprietà degli insiemi. Con i numeri ordinali, invece, vogliamo tenere conto anche delle relazioni d'ordine che sono definite sugli insiemi che stiamo considerando.

È necessaria, ed importante, una prima definizione: un insieme si dice bene ordinato se ogni suo sottoinsieme ammette un primo elemento.

“Cominciamo con gli esempi?”.

“Ok. Prendi l'insieme dei numeri naturali, con l'ordinamento usuale”.

“Bene. Poi?”.

“Poi prendi un qualunque suo sottoinsieme, finito o infinito, non importa”.

“Ok. Prendiamo {42,272,314}”.

“Domanda: è vero che ammette un primo elemento? Cioè, è vero che ha minimo?”.

“Certo: 42”.

“Ed è vero che questa proprietà è valida per ogni sottoinsieme, anche se infinito?”.

“Direi di sì, se è infinito contiene elementi sempre più grandi, ma un minimo c'è”.

“Perfetto. Quindi diciamo che l'insieme dei numeri naturali, dotato dell'ordinamento usuale, è bene ordinato”.

“Ok. E se cambio insieme?”.

“Se ricordi, ne avevamo già parlato. Se ammettiamo come vero l'assioma della scelta, ogni insieme è bene ordinabile”.

“Mh, è vero. Avevi anche detto che nessuno è riuscito a trovare un buon ordinamento per i numeri reali”.

“Esatto”.

“Però nemmeno i numeri interi sono bene ordinabili. Se prendo un insieme che contiene infiniti numeri negativi, questo non ha minimo”.

“Vero, ma questo non significa che gli interi non sono bene ordinabili, ma solo che l'ordinamento che stai considerando non è un buon ordinamento”.

“In che senso? Potrei cambiarlo?”.

“Certo. Prova a considerare questo nuovo ordinamento degli interi: {0,1,-1,2,-2,3,-3,...}”.

“Ah! Vedo, questo è un buon ordinamento, a sinistra mi fermo”.

“Perfetto. Ora facciamo un passo avanti. Ricordi le funzioni biunivoche?”.

“Certo, allora la matematica mi sembrava più semplice”.

“Bene, quando parliamo di insiemi ordinati, potremmo desiderare che una funzione biunivoca tra due insiemi preservi l'ordine”.

“Uhm, servirebbe un altro esempio”.

“Prendiamo due insiemi ordinati, per esempio {1,2,3} e {Qua, Paperino, Paperone}”.

“Ehm, capisco l'ordinamento del primo insieme, ma non capisco bene quello del secondo...”.

“Diciamo che è quello dell'età. I tre personaggi sono ordinati in base alla loro età”.

“Va bene. Secondo quanto ho imparato, sono due insiemi di cardinalità 3, ed esiste una corrispondenza biunivoca tra uno e l'altro”.

“Ottimo. Ora ti propongo questa corrispondenza:”.

1 - Qua
2 - Paperone
3 - Paperino

“Certamente è biunivoca”.

“Infatti. Però non preserva l'ordine. Puoi vedere che 2 è minore di 3, ma f(2), cioè Paperone, non è minore di f(3), cioè Paperino”.

“Ho capito, ora è chiaro. Se vuoi fare una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine devi scrivere questo:”.

1 - Qua
2 - Paperino
3 - Paperone

“Bene. Ora, se ricordi, avevamo definito i numeri cardinali con le relazioni di equivalenza”.

“È vero. In un delirio di onnipotenza avevi anche raccontato la parabola dei Lego, per spiegare il concetto di classe di equivalenza”.

“Perfetto. Ora facciamo la stessa cosa: definiamo numero ordinale una classe di equivalenza di una relazione molto simile a quella usata per i numeri cardinali”.

“Allora avevamo detto che due insiemi erano in relazione se esiste una corrispondenza biunivoca tra loro”.

“Giusto. Ora modifichiamo la relazione leggermente: due insiemi bene ordinati sono in relazione se esiste una corrispondenza biunivoca che conserva l'ordine tra loro”.

“Ah. Quindi abbiamo una informazione in più, l'ordinamento tra gli elementi di un insieme. Anzi, ne avremmo due in più: gli insiemi devono essere anche bene ordinati”.

“Sì, ma ammettendo l'assioma della scelta, tutti lo sono”.

“E quindi, ora abbiamo preso gli insiemi bene ordinati e li abbiamo raggruppati secondo il loro ordinamento?”.

“No, li abbiamo raggruppati secondo la loro cardinalità e il loro ordinamento”.

“Ah, già, devono avere la stessa cardinalità, perché comunque abbiamo una funzione biunivoca tra uno e l'altro”.

“Esattamente. Ora, ogni classe di equivalenza contiene infiniti insiemi: sarebbe bene trovare un modo per scegliere, in maniera standard, un rappresentante”.

“E questo modo esiste?”.

“Certo, e l'abbiamo anche già visto, quando abbiamo definito i numeri naturali a partire dall'insieme vuoto”.

“Uhm, come funzionerebbe?”.

“L'insieme vuoto è il rappresentante della classe degli insiemi con zero elementi (l'unica classe che contiene solo un elemento, cioè l'insieme vuoto stesso). Insomma, di insiemi vuoti ce n'è uno solo”.

“D'accordo”.

“Diciamo allora che l'insieme vuoto è l'ordinale che chiamiamo zero: {} = 0”.

“Ah, ora ricordo qualcosa”.

“Il secondo ordinale, quello che corrisponde agli insiemi con un elemento, è l'insieme che contiene l'insieme vuoto, cioè l'insieme che contiene lo zero. Lo chiamiamo 1: {{}} = {0} = 1”.

“Ho capito. Poi indichiamo con 2 l'insieme che contiene 0 e 1: {0,1} = 2”.

“Sì, volendo espandere tutti i simboli dovremmo scrivere {{},{{}}} = {0,{0}} = {0,1} = 2”.

“Va bene, ho capito. In pratica ogni nuovo numero è l'insieme di tutti i vecchi numeri”.

“Giustissimo, è proprio così”.

“Ma quindi tutti i numeri naturali sono ordinali?”.

“Già”.

“E sono anche cardinali, però”.

“Vero”.

“Quindi, se non c'è differenza tra ordinali e cardinali, perché li abbiamo definiti?”.

“Perché la differenza ci sarà, ma più avanti”.

“Quanto più avanti?”.

“Tanto”.