Verso l'infinito, ma con calma - l'ipotesi del continuo

Esistono insiemi più infiniti dei numeri naturali e meno infiniti dei numeri reali? Usando termini un po' più rigorosi, esistono cardinali maggiori di ℵ₀ e minori di 2^ℵ₀? Cantor era convinto che la risposta fosse no, ma non riuscì a dimostrare questa sua affermazione, che diventò nota con il nome di ipotesi del continuo.

Il giorno 8 agosto 1900 il matematico David Hilbert tenne una conferenza al congresso internazionale dei matematici, svoltasi quell'anno a Parigi. In quel suo discorso di inizio secolo, Hilbert propose alla comunità matematica una lista di problemi che riteneva fondamentali.

Il primo della lista era l'ipotesi del continuo.

“E dopo tutto questo tempo è stato risolto?”.

“Ecco, non esattamente”.

“Quindi non si sa ancora se l'ipotesi del continuo è vera oppure no?”.

“No, no, si sa tutto, ma la risposta non risolve il problema”.

“Come è possibile?”.

“Il primo ad occuparsi della dimostrazione fu Kurt Gödel, che nel 1940 riuscì a dimostrare che non si può dimostrare che l'ipotesi del continuo sia falsa”.

“Oh povero me. Ha dimostrato che non si può fare una dimostrazione?”.

“Sì, Gödel era un maestro della metamatematica”.

“Mamma mia. Quindi se non si può dimostrare che è falsa, sarà vera?”.

“Eh, no. Il fatto che non si possa dimostrare che l'ipotesi del continuo sia falsa significa che gli assiomi della teoria degli insiemi sono compatibili con essa. Immaginare che sia vera non produce contraddizioni, ma ancora non abbiamo dimostrato che lo è davvero”.

“Va bene. Ma visto che una affermazione può essere vera o falsa, se non è falsa allora è vera”.

“Ecco, il fatto è che nel 1963 Paul Cohen dimostrò che non si può dimostrare nemmeno che l'ipotesi del continuo sia vera”.

“Eh?”.

“Sì, hai capito bene. Se immagini che sia vera, non hai contraddizioni. Se immagini che sia falsa, non hai contraddizioni”.

“Quindi può essere sia vera che falsa? Non ha senso!”.

“Invece un senso c'è. Queste due dimostrazioni fanno vedere che l'ipotesi del continuo è indecidibile, cioè gli assiomi non sono sufficienti per dimostrarla o per negarla”.

“E quindi gli assiomi sono incompleti?”.

“Esattamente. Puoi farti una teoria degli insiemi in cui l'ipotesi del continuo è vera, e un'altra teoria in cui è falsa. Tutte e due stanno in piedi”.

“Ma ce ne sarà una più giusta dell'altra”.

“Questa volta sono io che mi avvalgo della facoltà di non rispondere”.

“Perché?”.

“Cantor pensava che fosse vera, provò a dimostrarla ma non ci riuscì. Gödel era convinto che fosse falsa, invece”.

“E però avevano ragione tutti e due”.

“Sì, ma Gödel era una testa dura, e pensava che l'impossibilità di dimostrare la sua tesi fosse colpa soltanto del sistema di assiomi, che non era stato scelto in modo corretto”.

“Bella forza! Modifichi le regole e poi dimostri quello che vuoi”.

“Bè, non puoi proprio dimostrare quello che vuoi, perché le regole devono essere comunque consistenti. Comunque Gödel credeva nell'esistenza degli oggetti matematici in modo indipendente dalla loro dimostrazione. Insomma, l'ipotesi del continuo per lui era falsa perché secondo lui la matematica è fatta così. Se non è riuscito a dimostrarlo vuol dire che non ha usato gli strumenti giusti per osservare una realtà che comunque è lì ed esiste, prima ancora che tu la scopra”.

“Wow, ma questa è matematica o teologia?”.

“C'è chi dice che, a questi livelli, non ci sia molta differenza”.

“Comincio a rendermene conto...”.

“C'è una frase emblematica a riguardo, pronunciata da Hilbert. Dice: Nessuno potrà cacciarci dal Paradiso che Cantor ha creato”.

“Bella”.

“Nello stesso periodo Leopold Kronecker, un matematico al quale non piacevano le idee di Cantor, pronunciò questa: Dio fece i numeri naturali; tutto il resto è opera dell'uomo”.

“Ah, ma litigavano pure?”.

“Eh sì. E, per concludere, ti ricordi dell'insieme di tutti gli insiemi?”.

“Quello innominabile?”.

“Quello. Cantor lo chiamava Infinito Assoluto”.

“E allora?”.

“Bé, per lui l'Infinito Assoluto era Dio”.