Verso l'infinito, ma con calma - lampadine e numeri reali

Abbiamo detto che dei numeri reali ci interessa una sola cosa: possono essere espressi come numeri decimali finiti oppure infiniti. Ora prendiamo solo una parte dei numeri reali, l'intervallo [0,1). In pratica, stiamo considerando tutti i numeri che si possono scrivere come zero virgola qualcosa.

“Come mai prendi solo un intervallo, invece di prendere tutti i numeri reali?”.

“Per comodità, tanto poi si dimostra che un intervallo e l'intera retta hanno la stessa cardinalità”.

“Ma come è possibile? Un altro paradosso dell'infinito?”.

“Già. Però lo vediamo più avanti. Adesso ci concentriamo sull'intervallo [0,1) e le successioni binarie infinite”.

“Ah, torniamo a parlare di lampadine?”.

“Sì, però questa volta consideriamo soltanto le successioni binarie che non sono definitivamente uguali a 1”.

“Eh?”.

“Definitivamente significa da un certo punto in poi. Insomma, non vogliamo le successioni binarie che terminano con infinite cifre uguali a 1”.

“Ah, ok. Non capisco però il perché di questa limitazione”.

“Te lo spiego tra un attimo. Prima ti dico che le successioni binarie infinite possono essere interpretate come la parte dopo la virgola di un numero compreso tra 0 e 1, purché lo trasformiamo in binario”.

“Ah! La numerazione binaria. Ma si possono trasformare in binario anche numeri decimali?”.

“Certo, così come 0.1₁₀ significa 10^-1, 0.1₂ significa 2^-1”.

“Bene, ogni giorno si impara una cosa nuova”.

“Ora si spiega anche il motivo per cui non prendiamo le successioni definitivamente uguali a 1. Così come in base 10 non esiste il periodo 9, in base 2 non esiste il periodo 1”.

“Va bene. Cosa vogliamo dimostrare, allora?”.

“Praticamente l'abbiamo già fatto: esiste una corrispondenza biunivoca tra le successioni binarie infinite non definitivamente uguali a 1 e i numeri appartenenti all'intervallo [0,1)”.

“Ah, già, è vero”.

“E quindi, se indichiamo con c (che sarebbe poi il famoso c gotico) la cardinalità di [0,1), abbiamo che c è minore o uguale di 2^ℵ₀”.

“Com'è che dici minore o uguale?”.

“Perché le successioni binarie non definitivamente uguali a 1 sono un sottoinsieme di tutte le successioni binarie, che hanno cardinalità 2^ℵ₀”.

“E allora, visto che sono di meno, non dovresti dire minore invece di minore o uguale?”.

“Dimentichi l'albergo di Hilbert”.

“Uhm, cosa c'entra?”.

“Era un paradosso che ti faceva capire che un insieme infinito e un suo sottoinsieme proprio possono avere la stessa cardinalità”.

“Ah, è vero! Avevi spostato gli infiniti ospiti nelle camere pari”.

“Dimostrando che l'insieme dei numeri pari e quello dei numeri naturali hanno la stessa cardinalità”.

“Ecco spiegato il minore o uguale: è possibile che le successioni binarie e il sottoinsieme di quelle non definitivamente uguali a 1 abbiano la stessa cardinalità”.

“Proprio così”.

“E come facciamo a sapere se è vero il minore oppure l'uguale?”.

“Non è semplice: servono un'altra funzione e un teorema dal nome altisonante”.