Verso l'infinito, ma con calma - immersioni di lampadine

Abbiamo visto che esiste una corrispondenza biunivoca tra le successioni binarie infinite non definitivamente uguali e 1 e i numeri appartenenti all'intervallo [0,1).

Siccome queste successioni binarie costituiscono un sottoinsieme dell'insieme di tutte le successioni binarie (che ha cardinalità 2^ℵ₀), abbiamo concluso che c è minore o uguale di 2^ℵ₀.

Ora facciamo il contrario, cioè immergiamo l'insieme di tutte le successioni binarie nell'insieme delle successioni binarie non definitivamente uguali a zero.

“Ma come, prima dici che un insieme è contenuto in un altro, e poi dici che il secondo è contenuto nel primo?”.

“Non ho proprio detto così. Ho detto che immergiamo un insieme grande dentro a un insieme piccolo. Cioè facciamo vedere che esiste una funzione iniettiva che va da uno all'altro. Così come esiste una funzione iniettiva che va dall'insieme dei numeri naturali a quello dei numeri pari”.

“Uffa, un altro dei soliti paradossi?”.

“Un altro, o forse sempre lo stesso visto da punti di vista differenti”.

“Va bene, ormai mi ci hai abituato. Vediamo come si fa”.

“È molto semplice, questa volta. Si fa come ha fatto l'albergatore dell'albergo di Hilbert”.

“Sposti la gente?”.

“In un certo senso, sì. Supponi di avere una successione binaria qualunque, come questa: a₀, a₁, a₂, ...”.

“Ok. Immagino che tutti i vari a_i possano essere 0 oppure 1, senza alcuna limitazione?”.

“Proprio così. Per costruire la corrispondenza, facciamo così. Ad ogni successione binaria come quella di prima associamo questa successione: a₀, 0, a₁, 0, a₂, 0, ...”.

“Geniale! Assomiglia proprio all'albergo di Hilbert. Queste successioni non sono definitivamente uguali a 1, perché hai alternato tutti gli elementi con uno zero!”.

“Quindi abbiamo definito una corrispondenza iniettiva tra tutte le successioni binarie e un loro sottoinsieme proprio”.

“È vero. Parlando di cardinalità, cosa abbiamo ottenuto?”.

“Che 2^ℵ₀ è minore o uguale di c”.

“Ma avevamo appena ottenuto un risultato contrario!”.

“Bè, non proprio contrario. Avevamo detto che c è minore o uguale a 2^ℵ₀”.

“Ah, già, c'è l'uguale che ci salva. Quindi possiamo concludere subito che c e 2^ℵ₀ sono uguali”.

“Ecco, non è così ovvio”.

“A me pare ovvio, scusa. Se prima dici che un numero è minore uguale di un secondo numero, poi dici che il secondo è minore o uguale del primo, allora i due numeri sono uguali, no?”.

“I due numeri, sì. I due cardinali transfiniti sono forse numeri?”.

“Ehm, non sono proprio numeri naturali, no”.

“E dunque bisogna dimostrare la tua affermazione”.

“Uffa”.

“Che si chiama proprietà di tricotomia”.

“L'arte di tagliare il capello? Mi sembra un nome molto azzeccato, deve essere stato uno dei tuoi Veri Matematici Spiritosi a trovarlo. Certo, io avrei usato tetratricotomia”.

“Ehm, no, sarebbe semplicemente il verificarsi di una sola proprietà tra tre esistenti”.