Verso l'infinito, ma con calma - i numeri reali

Siamo arrivati al punto in cui ci tocca parlare dei numeri reali, cosa che ogni Vero Matematico preferirebbe non fare, perché la loro definizione è complicata e tutti comunque li conoscono.

Per prima cosa, i numeri reali possono essere costruiti o definiti. Il vantaggio del primo approccio è la sua intrinseca eleganza: i reali si costruiscono a partire dai razionali, i razionali dagli interi, gli interi dai naturali, i naturali dall'insieme vuoto. Basta quindi il solo concetto di insieme vuoto per ottenere tutto. Lo svantaggio è che la costruzione è strana e complicata. Anzi, di costruzioni ce ne sono più di una.

Si possono usare le successioni di Cauchy, che sono successioni i cui termini si avvicinano sempre di più fra loro. Parlando molto a braccio e intuitivamente, i numeri reali sono l'insieme in cui tutte le successioni di Cauchy convergono. Nell'insieme dei numeri razionali potrebbero esserci invece problemi di convergenza. Prendiamo per esempio la seguente successione:

1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, ...

Essa è composta solo da frazioni, è di Cauchy, ma non converge a una frazione (perché converge a radice di due, che non è razionale).

Oppure si potrebbero usare le sezioni di Dedekind, che sono un concetto ancora più complicato da descrivere. Parlando in maniera sempre meno rigorosa, le sezioni di Dedekind ci fanno capire che l'insieme dei numeri razionali, pur essendo denso, ha dei buchi. Denso significa che comunque scelgo due numeri, tra di essi ne trovo almeno un altro. I buchi corrispondono ai numeri irrazionali. Per esempio, se consideriamo i due seguenti insiemi:

A = {1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, ...}
B = {2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422, 1.414214, ...}

ci accorgiamo che gli elementi contenuti in essi si avvicinano sempre di più tra loro e si addensano attorno a un buco: il posto occupato dalla radice di due.

Se noi allora chiamiamo numeri reali tutti gli oggetti individuati dalle sezioni di Dedekind, in un certo senso riempiamo i buchi sulla retta dei numeri e completiamo l'insieme dei numeri razionali, ottenendo i reali.

I numeri reali possono anche essere definiti come numeri decimali (illimitati oppure no). Dopodiché si definiscono le operazioni in modo formale, e da lì ci si ricollega agli altri numeri, mostrando che questa definizione comprende anche i numeri naturali, interi e razionali.

Oppure si può partire dai numeri iperrazionali (che sarebbero i razionali dell'analisi non standard). Oppure ancora dai numeri surreali (e questa è la parte che mi affascina di più, che mi piacerebbe approfondire e sulla quale vorrei scrivere qualcosa).

Insomma, le costruzioni dei numeri reali sono tante, tutte complicate. Complicate anche dal fatto che non solo occorre definire i numeri, ma poi è necessario fare vedere come funzionano le operazioni tra di essi, e mostrare che queste nuove definizioni sono in accordo con le vecchie. Perciò è necessario fare vedere che uno più uno fa ancora due. Ecco perché i matematici preferirebbero non costruire i numeri reali.

Esiste un'altra strada, alternativa a quella delle costruzioni: è la strada della assiomatizzazione. Cioè, noi non costruiamo niente, ma diciamo semplicemente che i numeri reali sono l'unico campo ordinato archimedeo completo.

“Ah, certo, semplicemente”.

“Eh, hai ragione, non è semplice nemmeno questo”.

“Anche se, in fondo, ci sono solo quattro parole che mi devi spiegare”.

“Sì, e tieni presente che queste quattro parole implicano una serie di proprietà sovrabbondanti, nel senso che alcune dipendono da altre. Le si potrebbe restringere ulteriormente, come ha fatto Tarski, ma si perde un po' in chiarezza. Non posso però fare a meno di citarti l'ultimo assioma di Tarski”.

“Perché? È incomprensibile? Complicato? Astruso?”.

“Giudica tu. Dice che 1 è minore di 1+1”.

“Forse è meglio se torniamo a quelle quattro parole da spiegare: cominciamo da campo?”.

“Ok. Campo è una struttura algebrica composta da un insieme e due operazioni”.

“Va bene. Suppongo che l'insieme sia quello dei numeri, e le due operazioni siano operazioni su quei numeri?”.

“Certamente. La prima operazione la indichiamo con + e la seconda con ·”.

“Va bene. Tutto qua?”.

“No, le operazioni devono soddisfare a certe proprietà. L'operazione +, che chiamiamo somma, deve essere associativa e commutativa. Poi deve esistere l'elemento neutro, che indichiamo con 0, e deve esistere l'inverso”.

“Va bene, questi sono concetti che si imparano anche alle elementari. Ci sono proprietà anche per il · (posso chiamarlo prodotto)?”.

“Sì, il prodotto deve essere associativo, commutativo, deve esistere l'elemento neutro che indichiamo con 1, e ogni elemento diverso dallo 0 deve possedere il reciproco”.

“Stai ripetendo le proprietà della somma e del prodotto delle normali operazioni, in effetti”.

“Certo. Attento però che sto assiomatizzando, cioè non sto dicendo che un certo insieme e una certa operazione godono di certe proprietà, ma sto facendo il contrario: sto caratterizzando un insieme dicendoti quali sono le proprietà che deve avere”.

“In pratica tu mi dai le proprietà, e io devo immaginarmi l'insieme”.

“Sì, esatto. I filosofi si divertono molto su questo punto, perché ora non stiamo parlando di una cosa in sé, di cui studiamo le proprietà, ma di un oggetto che esiste solo in quanto possiede certe proprietà. Ti dirò anche che personalmente questo secondo aspetto mi piace di meno”.

“Cioè per te gli oggetti matematici esistono, in un qualche modo?”.

“Eh, sì”.

“Sei proprio un Vero Matematico”.

“Grazie”.

“...”.

“O forse non intendevi farmi un complimento?”.

“Ehm, dicevamo delle proprietà dei numeri reali?”.

“Eh, andiamo avanti che è meglio, va... Dunque, deve essere anche vera la proprietà distributiva del prodotto rispetto alla somma. E con queste proprietà abbiamo definito il concetto di campo”.

“Ok, passiamo alla prossima parola: ordinato”.

“Ordinato è facile: esiste un ordine tra tutti gli elementi. Cioè, comunque tu scegli due elementi, puoi dire se sono uguali o se uno è minore (o maggiore) dell'altro”.

“Va bene. Archimedeo?”.

“Archimedeo significa che non ci sono numeri piccoli e numeri grandi in assoluto. Non puoi fare una cosa come scegliere un numero talmente grande e uno talmente piccolo che, moltiplicando il piccolo tante volte quante vuoi, non riesci mai a superare il grande. Lo spiega bene .mau. quando dice che 0.(9) è uguale a 1. E mostra anche un esempio di insieme numerico in cui manca la proprietà archimedea, quando dice che 0.(9) non è uguale a 1”.

“Ah, questo è più complicato rispetto alle altre proprietà. Comunque ho capito, non esistono quelle cose strane come gli infinitesimi”.

“Perfetto. Completo invece significa che ogni sottoinsieme non vuoto e superiormente limitato ammette estremo superiore”.

“Questo è meno chiaro”.

“Significa questo: prendi un sottoinsieme dei numeri, che non sia l'insieme vuoto”.

“Ok”.

“Questo insieme deve essere superiormente limitato, cioè tutti i suoi elementi devono essere più piccoli di un qualche elemento prefissato”.

“Bene”.

“Ti faccio notare che se, per esempio, tutti gli elementi sono minori di 10, essi sono minori anche di 15, di 20, oppure di 42”.

“Certo, è chiaro. Se non vado oltre un certo ostacolo, non vado nemmeno oltre un ostacolo più grande”.

“Bene. Questi ostacoli si chiamano maggioranti. Prendi il più piccolo di tutti gli ostacoli: questo si chiama estremo superiore”.

“E secondo la tua definizione, l'estremo superiore deve appartenere all'insieme?”.

“Sì”.

“E non appartiene sempre all'insieme?”.

“Solo se l'insieme è quello dei numeri reali. Prendi questa nostra vecchia conoscenza:”.

{1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, 1.414213, ...}

“Ah, sempre lui! Ho capito: gli elementi non superano mai radice di due, ma radice di due non appartiene all'insieme perché non è una frazione. E quindi lascia un buco”.

“Certo. Il concetto di completezza è proprio legato a questa faccenda dei buchi”.

“Insomma, alla fine l'assiomatizzazione non è così complicata”.

“Ecco, vedi, tu avevi detto che c'erano quattro parole da spiegare”.

“Campo. Ordinato. Archimedeo. Completo. Non sono quattro?”.

“Hai dimenticato unico”.

“Ohi ohi.”.

“Si tratterebbe di dimostrare che questa serie di assiomi ha un unico modello”.

“Ed è difficile?”.

“Sì”.

“Lungo?”.

“Sì”.

“Lo facciamo?”.

“No. A noi dei reali interessa solo questa piccola cosa: sono numeri decimali finiti oppure infiniti”.

“E non potevi dirlo subito?”.

“Per risparmiarti quel senso di frustrazione che hanno i Veri Matematici tutte le volte che devono definire i numeri reali? No, la strada per diventare un Vero Matematico è lunga e piena di ostacoli”.