Verso l'infinito, ma con calma - contare

Anche l'atto del contare quanti sono ha una definizione matematica. Ora, ci si potrebbe domandare se c'è proprio bisogno di dare una definizione a un'attività che si impara intorno ai due anni, ma i Veri Matematici son tipi molto precisi.

Quindi, cosa significa contare? Dice il De Mauro: numerare progressivamente persone, animali o cose per determinarne la quantità. Numerare. Cioè segnare con numeri progressivi.

Eccoci al punto: per contare si associano dei numeri progressivi agli oggetti. E siamo anche in grado di formalizzare questa frase in termini matematici.

“E come si fa?”.

“Beh, abbiamo già parlato di oggetti che permettono di fare associazioni, cioè permettono di mettere in relazione elementi appartenenti a due diversi insiemi”.

“Ah, certo, le relazioni, appunto”.

“Sì. Però una relazione non va bene, in generale, per contare. Immagina di avere un insieme composto da quattro elementi. Per esempio, le prime quattro lettere dell'alfabeto: {a,b,c,d}”.

“Ok. Ora serve una relazione che leghi dei numeri a queste quattro lettere”.

“Sì. Te ne propongo una: 1-a, 2-b, 1-c”.

“Cosa significa?”.

“Ho associato 1 alla a. Poi 2 alla b, e di nuovo 1 alla c”.

“Non mi sembra un gran bel modo di contare, questo”.

“No, infatti. Riesci a scoprire quali sono i problemi?”.

“Vediamo... Prima di tutto, hai ripetuto 1 due volte. Non si può contare in questo modo. A 1 deve corrispondere un solo elemento”.

“Giusto. Ma una relazione mi permette di associare 1 a quanti elementi voglio”.

“Ho capito! Non va bene usare una relazione. Serve una funzione”.

“Perfetto. Poi, noti altri problemi?”.

“Sì. Non hai associato nessun numero a d”.

“Esattamente. Ma è possibile che una funzione non prenda in considerazione tutti gli elementi dell'insieme di arrivo”.

“Ok, ci sono: serve una funzione suriettiva”.

“Bene. Nient'altro? Può, questa funzione, non essere iniettiva?”.

“Mh, vediamo. Basta provare, forse. Una funzione non iniettiva ma suriettiva potrebbe essere 1-a, 2-b, 3-a, 4-c, 5-d. No, non va bene: Ho contato a due volte. Ok, ci sono. Per contare serve una funzione sia iniettiva che suriettiva, cioè biunivoca!”.

“Molto bene. Contare, allora, significa mettere in corrispondenza biunivoca un insieme numerico con l'insieme di cui vogliamo contare gli elementi”.

“Ho capito. Eh, però bisogna essere precisi”.

“Vedo che stai entrando nella mentalità del Vero Matematico. Cosa dovremmo precisare?”.

“Qual è l'insieme numerico”.

“Bravo. Non possiamo contare un insieme di tre elementi partendo, che so, dal cinque. Se al primo elemento associamo 5, al secondo 6 e al terzo 7, arriveremmo a concludere che l'insieme è composto da 7 elementi”.

“Dobbiamo dire, allora, che l'insieme numerico è quello dei primi n numeri naturali. Si parte da 1, e si va avanti fino a che ci sono elementi nell'altro insieme”.

“Ottimo”.

“I Veri Matematici fanno proprio così?”.

“Ehm”.

“Cosa, ehm?”.

“Non proprio”.

“Ma come? Prima mi spieghi tutte queste cose, dici che bisogna contare, che non si può partire da cinque, io dico che bisogna partire da uno, tu dici ottimo, e poi dici che i matematici fanno in un altro modo? E come fanno, di grazia?”.

“Ecco, hai presente quell'insieme che abbiamo preso come esempio all'inizio?”.

“Quale? L'insieme {a,b,c,d}?”.

“Quello. I Veri Matematici contano così: zero, uno, due, tre”.

“...”.

“Il numero di elementi dell'insieme è il primo numero non nominato, cioè quattro”.

“Sono Pazzi Questi Matematici”.

“E non è tutto qua”.

“Cosa c'è ancora?”.

“Eh, in effetti ci sono due modi di contare, anche nella vita normale”.

“Hai fatto bene a dire normale, vedo che qua si stanno complicando a dismisura cose semplici, non mi sembra mica tanto normale questa cosa. Quali sarebbero questi due modi?”.

“Allora, se io ti dico che l'insieme {a,b,c,d} ha quattro elementi, intendo descrivere una proprietà dell'insieme che potremmo chiamare grandezza”.

“Non oso chiedere come la chiamano i Veri Matematici”.

“Cardinalità. Questo è il primo modo di contare”.

“Ok, pensavo peggio”.

“I numeri usati per contare in questo modo li chiamo numeri cardinali”.

“E l'altro modo?”

“Ecco, con l'altro modo voglio anche tener conto dell'ordine con cui compaiono gli elementi che sto contando. Non mi accontento di dire che {a,b,c,d} ha quattro elementi, ma li conto e li ordino uno per uno. In questo caso, dico che sto utilizzando dei numeri ordinali”.

“Credo di aver capito. In pratica diresti che a è il primo elemento, b il secondo, c il terzo, e d il quarto?”.

“Ecco, quasi”.

“Uffa. Cosa ho sbagliato?”.

“Direi che a è il zeresimo elemento, b il primo, c il secondo, d il terzo. Totale, quattro elementi”.

“Roba da matti. E poi non esiste la parola zeresimo”.

“Invece sì”.