Verso l'infinito, ma con calma - cominciamo dal basso

Abbiamo capito che ℵ₀ è il cardinale associato ai numeri naturali. Ora la domanda è questa: esistono cardinali transfiniti più piccoli?

Prendiamo un insieme A, infinito. Da esso scegliamo un elemento, e associamolo al numero 1. Poi ne prendiamo un secondo, e lo associamo al numero 2. Poi un terzo, che associamo a 3, un quarto, e così via. Non c'è mai il pericolo di non trovare un altro elemento, perché A è infinito, e quindi possiamo procedere quanto vogliamo.

In pratica abbiamo costruito una funzione che immerge tutti i numeri naturali all'interno del nostro insieme A (facciamo attenzione perché a una prima lettura potrebbe sembrare il contrario: tutti i numeri naturali vengono associati a infiniti elementi di A, ma non è detto che tutti gli elementi di A vengano presi in considerazione): questo significa che la cardinalità di A sarà maggiore o uguale alla cardinalità dei numeri naturali.

Dunque ℵ₀ è il più piccolo cardinale transfinito.

“Bè, questa mi sembra semplice, l'ho capita subito”.

“Purtroppo non è così semplice”.

“Ma come? Una volta che avevo capito!”.

“Il grosso problema è la frase da esso scegliamo un elemento”.

“Oh bella, e perché”.

“Perché scegliere un elemento tra infiniti non è immediato”.

“Ma va? Ce ne sono tanti, potrò pur sceglierne uno!”.

“Mettiamola così: scegliere un elemento tra tanti significa definire una funzione che i Veri Matematici chiamano funzione di scelta. Dato un insieme, la funzione mi dice quale elemento estrarre”.

“Va bene, se ti vuoi complicare la vita, ok”.

“Il problema è che questa funzione non sempre puoi definirla, magari puoi dire che esiste, ma se io ti domando come funziona, quale elemento restituisce, tu non puoi saperlo”.

“Boh?”.

“Ti faccio un esempio: hai presente la corriera con infiniti posti che è arrivata all'albergo di Hilbert?”.

“Sì, me la ricordo”.

“Ok. I passeggeri, stanchi per il viaggio, si sono tolti le scarpe”.

“Che puzza!”.

“E le calze. E hanno appoggiato tutto sopra al loro seggiolino”.

“Bleah”.

“Ora tu devi fare una corsa sulla corriera e portarmi una scarpa per ogni passeggero. Ce la fai?”.

“Mah, sì, tempo permettendo. Ci sono due scarpe, ne prendo una”.

“Quale prendi? Serve una regola”.

“No so, prendo la destra, va bene?”.

“Va bene, avresti potuto prendere la sinistra, oppure stabilire una regola più complicata. Che so, nei seggiolini di posto pari prendo la destra, in quelli di posto dispari la sinistra. Va bene qualunque regola”.

“Mah. Quindi la scelta posso farla”.

“Certo. Ora devi fare un altro giro e prendere una calza per ogni passeggero. Ricordati che le calze possono essere indifferentemente portate nel piede destro oppure nel piede sinistro”.

“Vabbè, ne prendo una”.

“Ma quale?”.

“Ma non lo so, una delle due! Ce ne sono due, una a caso. Sarò ben capace di prenderne una?”.

“Sarai anche capace, ma non sei capace di dirmi una regola. Se non sei capace di fare una scelta esplicita, come faccio io a sapere che hai ottenuto tutte le calze che dovevi raccogliere?”.

“Uhm, questi mi sembrano sofismi da filosofi”.

“Allora ti propongo un patto: io mi fido di te, e dico che tu in un qualche modo che non conosco riuscirai a prendere una calza per ogni persona, e tu mi permetti di esplicitare questa possibilità mediante un assioma. Voglio che sia chiaro che hai bisogno di questo assioma (chiamiamolo atto di fiducia) per poter fare la tua scelta”.

“Va bene”.

“Ecco l'assioma, che i Veri Matematici chiamano assioma della scelta: data una famiglia di scatole, ognuna delle quali contenenti almeno un oggetto, è possibile selezionare esattamente un oggetto da ogni scatola, anche se le scatole sono infinite e non esiste nessuna regola per selezionare gli oggetti”.

“Mah, evidentemente i Veri Matematici ci tengono a sottolineare l'ovvio. Mi pare una cosa inutile”.

“Quindi tu lo prenderesti per vero senza pensarci un momento”.

“Certo”.

“Senti, allora che mi dici di quest'altro, che i veri matematici chiamano principio del buon ordinamento: ogni insieme è ordinabile in modo tale che ogni suo sottoinsieme abbia minimo”.

“Mh, non è chiaro”.

“Pensa ai numeri naturali ordinati. Prendi un qualunque sottoinsieme, uno qualsiasi”.

“Boh, vediamo: {5,42,314,2718}”.

“Perfetto. È vero che ha minimo?”.

“Certo, è 5”.

“Bene, hai capito. Questa operazione la puoi fare sempre: prendi un insieme qualunque, lo riordini opportunamente, e ottieni questa proprietà. Ogni sottoinsieme ha minimo. Ti pare un teorema accettabile?”.

“Certo che no. Se prendo i numeri reali, come faccio a riordinarli in modo tale che ogni sottoinsieme abbia minimo?”.

“Devo dire che hai scelto un ottimo esempio. Nessuno, finora, è riuscito a trovare un ordinamento dei numeri reali con quella proprietà”.

“Dunque il tuo principio del buon ordinamento è falso!”.

“Invece no, è vero”.

“Eh?”.

“Anzi, si dimostra che è equivalente all'assioma della scelta, quello che tu consideravi tanto ovvio”.

“Equivalente?”.

“Sì, se è vero uno, è vero l'altro. Se è falso uno, è falso l'altro. Vanno via in parallelo”.

“Ohi ohi”.

“Oppure prendi quest'altro esempio: è possibile prendere una sfera piena, spezzettarla in piccole parti e poi ricomporle fino ad ottenere due copie identiche della sfera iniziale”.

“Ma va, via, non è possibile”.

“Si chiama paradosso di Banach-Tarski, è tutto vero, e dipende anche questo dal tuo assioma della scelta”.

“Mi gira la testa... Ma i Veri Matematici come prendono queste cose paradossali?”.

“Dipende. Alcuni prima cercano conseguenze dell'assioma della scelta, o enunciati equivalenti tipo il lemma di Zorn, che non sto nemmeno a raccontarti perché dice cose abbastanza incomprensibili”.

“E poi?”.

“Poi ci scherzano sopra, con frasi del tipo l’assioma della scelta è ovviamente vero, il principio del buon ordinamento è ovviamente falso e, circa il lemma di Zorn, chi è capace di capirci qualcosa? Oppure fanno battute sul fatto che tre enunciati equivalenti sono chiamati uno assioma, il secondo principio, il terzo lemma”.

“Carini. E gli altri matematici cosa fanno?”.

“Devo proprio dirtelo?”.

“Ah, ok, ho capito”.