Una costante universale

In questo periodo natalizio di scambio di regali, mi torna alla mente un vecchio quesito di Rudi Mathematici.

Prendete due pezzi di Lego del tipo 1×x (con x maggiore di 1), attaccateli in modo che abbiano un solo attacco in comune, e fateli ruotare in modo da ottenere un angolo acuto che sia il più piccolo possibile.

Bene: quanto misura questo angolo?

Il testo è tutto qui, non ci sono altri dati; per essere più precisi, non è necessario cercare altri dati, la risposta è unica, purché si tenga conto di un dettaglio costruttivo (facilmente verificabile andando a recuperare due mattoncini dei Lego): l'incastro a forma di cilindretto utilizzato per attaccare i pezzi uno sopra l'altro ha il raggio più grande possibile. Un pezzo di Lego “da uno”, una volta incastrato su un qualunque altro pezzo, può ruotare su sé stesso liberamente, sfiorando i cilindretti che gli stanno intorno.

Mi sono divertito a costruire la figura di due pezzi 1×2 incastrati uno sull'altro e ruotati come richiesto dal quesito. Il fatto notevole è che questa costruzione può essere effettuata con riga e compasso, senza numeri.

Eccola qua:

A suo tempo feci il calcolo dell'ampiezza dell'angolo. Il risultato è:

E questa è, senza dubbio, una costante universale.

I greci non erano normali — 26: epilogo

Ho trovato gran parte delle informazioni sulla storia delle costruzioni con riga e compasso su questo libro:



Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them, Dover Publications, 8.37 €.

È un libretto di 112 pagine, con la storia delle costruzioni tanto amate dai greci. Non tutti i teoremi sono dimostrati, di alcuni dei più difficili vengono dati solo i riferimenti ai lavori originali. Il libro contiene, inoltre, molti esercizi: man mano che la teoria viene sviluppata il lettore può verificare la sua comprensione provando a rispondere ad alcune domande poste dall'autore; nella parte finale del testo tutti gli esercizi vengono risolti.

Mancano, naturalmente, i dialoghi tra il Vero Matematico e l'apprendista…

I greci non erano normali — 25: Fermat si era sbagliato

«Nel 1732 Eulero riuscì a dimostrare che F₅ = 2²⁵+1 = 2³²+1 = 4294967297 è un numero composto».

«Ha fatto la divisione?».

«Non proprio: se ricordi, fattorizzare un numero è un'operazione molto lenta, perché bisogna fare un numero molto alto di divisioni».

«Eulero poi non aveva la calcolatrice».

«Infatti: oggi per fattorizzare F₅ ci mettiamo un attimo».

«E Eulero invece come ha fatto?».

«Ha scritto 2³²+1 come differenza:».

2³²+1 = (5⁴·2²⁸+2³²)-(5⁴·2²⁸-1)

«È certamente giusto, ma mi sfugge il senso».

«Porta pazienza. Ora, consideriamo il primo dei due termini che devono essere sottratti».

«Quello che alle elementari si chiamava minuendo».

«Proprio lui. Se raccogliamo a fattor comune 2²⁸, otteniamo che 5⁴·2²⁸+2³² = 2²⁸(5⁴+2⁴)».

«Vabbé».

«Ora analizziamo il secondo termine».

«Il sottraendo».

«Esatto. Osserva questa catena di scomposizioni:».

5⁴2²⁸-1 =
 = (5²·2¹⁴+1)(5²·2¹⁴-1)
 = (5²·2¹⁴+1)(5·2⁷+1)(5·2⁷-1)

«Io osservo, ma non capisco».

«Ancora un momento. Quanto fa 5⁴+2⁴?».

«Fammi fare il conto… fa 641».

«Bene. E quanto fa 5·2⁷-1?».

«Vediamo… ancora 641».

«Ottimo. Ora trai una conclusione intelligente».

«Ehm».

«Dai, il nostro numerone è stato espresso come una differenza tra altri due numeri. Poi abbiamo lavorato separatamente sui due numeri e abbiamo scoperto che entrambi possono essere scritti come 641 per qualcosa. Cosa possiamo dire, a questo punto?».

«Eh, possiamo dire che entrambi sono divisibili per 641. Ah, ma allora 641 è un fattore comune ai due termini, quindi è un fattore del nostro F₅».

«Ed ecco un controesempio alla congettura di Fermat: non è vero che tutti i numeri di Fermat sono primi».

«Grande Eulero!».

«Eulero ha poi dimostrato un risultato generale: ogni fattore di F_n deve avere la forma di k·2ⁿ⁺¹+1».

«E quindi Fermat si è sbagliato».

«Pare che Fermat fosse a conoscenza di questa proprietà dei divisori di F_n».

«E allora come mai non ha trovato il fattore 641? Non è tanto grande».

«Si pensa che abbia fatto un errore di calcolo. Dato che era così convinto della sua congettura, non ha controllato i calcoli per una seconda volta».

«Ed è rimasto fregato».

«Già. Adesso coi computer si fa molto presto, e si possono controllare numeri di Fermat sempre più grandi».

«E non ne hanno ancora trovato un altro primo?».

«Eh, no. Ad oggi sono arrivati a controllare tutti i numeri fino a F₃₂, e nessuno è primo. Inoltre sono stati fatti alcuni test su numeri mostruosi, che hanno qualche strana proprietà che permette di rendere i calcoli accessibili».

«Per esempio?».

«Per esempio sappiamo che F_2543548 non è primo, perché è divisibile per 9·2^2543551+1».

«Interessantissimo».

«Non fare dello spirito, sai che in matematica non si butta via niente.Gli algoritmi sviluppati per questo tipo di calcoli verranno utilizzati certamente per svolgere calcoli che ti piaceranno di più. In questa pagina, comunque, c'è un riassunto di tutto quello che sappiamo sui numeri di Fermat. Finora non ne sono stati trovati altri che siano primi. E qui trovi l'elenco di tutti coloro che hanno lavorato su questi numeri, da Fermat in poi».

«E quindi, fino a che non troveremo un altro numero primo di Fermat, non avremo altri poligoni costruibili con riga e compasso?».

«Esatto. E, se ne troveremo altri, avranno talmente tanti lati che il nostro 65537-gono sembrerà spigolosissimo.

E così per adesso finiamo qui».

I greci non erano normali — 24: costruzioni improponibili

«Abbiamo parlati dei numeri primi di Fermat, ma ci siamo fermati a F₂».

«Già, F₂ = 17, mi hai raccontato del giovane Gauss e dell'eptadecagono».

«Sai che Gauss era così orgoglioso della sua scoperta che avrebbe voluto che un eptadecagono fosse scolpito sulla sua tomba?».

«E l'hanno accontentato?».

«No, lo scalpellino si è rifiutato, ha detto che sarebbe stato confuso con una circonferenza».

«Ma poveretto».

«Ora andiamo avanti nell'analisi dei numeri primi di Fermat».

«Siamo a F₃ = 2²³+1 = 2⁸+1 = 256+1 = 257. Duecentocinquantasette lati?».

«Già, se era indistinguibile da un cerchio quello di 17 lati, figurati questo. Devi sapere che Gauss ha solo dimostrato la costruibilità di tutti questi poligoni, ma non ha spiegato come fare per realizzare la costruzione geometrica. In fondo è un esercizio banale, almeno per quelli come Gauss».

«Ah, ho visto quanto è banale la costruzione dell'eptadecagono, quella animazione non finiva più…».

«Ecco, sappi allora che c'è stato qualcuno che ha spiegato come fare per costruire effettivamente il 257-gono, ma per questo ti lascio alla pagina su wikipedia (tra l'altro, gli inglesi non ce l'hanno nemmeno, una voce sul 257-gono)».

«Roba da matti».

«Ma andiamo avanti con i numeri di Fermat».

«Il prossimo è F₄ = 2²⁴+1 = 2²⁶+1 = 65536+1 = 65537. Argh».

«Un 65537-gono».

«Non dirmi che qualche pazzo furioso ha provato a costruirlo davvero».

«Certo. Pare che abbia impiegato dieci anni per completare la sua opera. Duecento pagine di calcoli».

«Incredibile».

«Naturalmente, la costruzione è del tutto teorica, ma irrealizzabile a mano».

«Ci credo».

«Non solo perché per disegnare 65537 lati ci vuole un po' di tempo, ma anche per le dimensioni del disegno: se il poligono fosse inscritto in un cerchio di raggio un centimetro, il lato del poligono sarebbe lungo 0.0009587 millimetri, mentre uno dei primi cerchi necessari per risolvere la prima equazione di secondo grado avrebbe raggio uguale a 81.91 metri».

«E quindi l'autore di questa meravigliosa impresa è stato pagato per dieci anni per trovare un metodo irrealizzabile?».

«Ehm, già. E non è finita qui: Conway, nel 1997, ha messo in dubbio la validità della costruzione».

«Pure!».

«Sì. Propose a uno dei suoi studenti la costruzione del 65537-gono, e si accorse che l'impresa era molto ardua. Ci ha lavorato un po', e sostiene che la sua idea di dimostrazione potrebbe riempire una ventina di pagine scritte fitte, e il valore esatto del lato del 65537-gono potrebbe essere calcolato facilmente con un computer, oggi».

«Vedo che su wikipedia c'è una figura che descrive la prima parte della costruzione».

«Sì, ed è già molto complicata così: è quella parte che serve per costruire il famoso cerchio di raggio 81.91 metri. Comunque, ora abbandoniamo il 65537 e parliamo dei successivi numeri di Fermat».

«Avevi detto che ce ne sono solo cinque».

«Le cose stanno così: i numeri di Fermat sono naturalmente infiniti, ma non tutti sono primi. Noi abbiamo parlato dei primi cinque, che lo sono. Fermat congetturò che lo fossero tutti, ma si sa che Fermat le sparava un po', ogni tanto».

«Non è riuscito a dimostrarlo, quindi?».

«No».

«E dopo Fermat, che è successo?».

«È arrivato Eulero».

I greci non erano normali — 23: il giovane Gauss, 19 anni

«Racconta Gauss che la mattina del 29 marzo 1796 (era un martedì), durante una vacanza a Braunschweig, riuscì a vedere chiaramente la relazione giusta tra le diciassette radici dell'unità, relazione da utilizzare per dimostrare la costruibilità dell'eptadecagono».

«Fenomeno…».

«Lo sai che Gauss è il Chuck Norris della matematica».

«Voi. Siete. Pazzi».

«Bé, comunque la dimostrazione di Gauss è complicatina. Cominciamo dalla figura».

«Mh, hai colorato i vertici con due colori, perché?».

«Eh, perché questa volta non possiamo accoppiare a due a due le radici e costruire un'equazione. Dato che abbiamo 8 coppie, avremmo 8 incognite, e un'equazione di ottavo grado non è molto gestibile. Gauss allora fa una serie di raggruppamenti: il primo è quello che vedi in figura: le radici rosse vanno sommate tra loro, e quelle blu anche».

«Quindi Gauss fa una cosa del genere?».

y₁ = R+R¹⁶+R²+R¹⁵+R⁴+R¹³+R⁸+R⁹,
y₂ = R³+R¹⁴+R⁵+R¹²+R⁶+R¹¹+R⁷+R¹⁰.

«Esatto».

«Ma perché?».

«Aspetta e vedrai. Per prima cosa bisogna calcolare y₁+y₂».

«Bé, questo è facile: è la somma di tutti gli R, vale -1. Ormai ho imparato».

«Molto bene. Ora bisogna calcolare y₁y₂».

«Uhm, qua mi sa che non si finisce più… potresti dirmi direttamente il risultato».

«Viene -4».

«Oh, bene. Immagino che ora si debba costruire un'equazione che abbia come soluzione questi due valori».

«Esatto, sai farlo?».

«Certo: y²+y-4 = 0».

«Bene. Vorrei farti presente che non abbiamo ancora risolto il problema, perché la conoscenza di questi due valori di y non ci consente ancora di costruire R. Per poter avere R direttamente, avremmo dovuto utilizzare solo la somma di R + R¹⁶, ad esempio, in analogia con quanto avevamo fatto per il pentagono».

«Ok, allora come andiamo avanti?».

«Facciamo una nuova costruzione:».

z₁ = R+R¹⁶+R⁴+R¹³,
z₂ = R²+R¹⁵+R⁸+R⁹.

«È come se avessimo spezzato a metà y₁: sono gli stessi elementi, divisi in due gruppi».

«Proprio così, quindi z₁+z₂ è uguale a y₁».

«Ma perché abbiamo suddiviso proprio y₁?».

«No, non c'è niente di speciale in y₁, ora facciamo la stessa cosa con y₂. Costruiamo altre due variabili:».

w₁ = R³+R¹⁴+R⁵+R¹²,
w₂ = R⁶+R¹¹+R⁷+R¹⁰.

«Ah. Qui abbiamo che w₁+w₂ = y₂».

«Giusto. E ti dirò anche che z₁z₂ = -1, e pure w₁w₂ = -1».

«Grazie per avermi risparmiato i calcoli. A questo punto suppongo che si debbano costruire altre due equazioni».

«Già. Una avente come soluzioni le due z…».

«Che sarà z²-y₁z-1 = 0».

«E l'altra avente come soluzioni le due w».

«Eccola: w²-y₂w-1 = 0».

«Ma non siamo ancora arrivati: conoscere i valori delle z o delle w non è sufficiente, non ci permette di trovare R».

«E quindi?».

«E quindi facciamo un'altra costruzione:».

v₁ = R+R¹⁶,
v₂ = R⁴+R¹³.

«Gulp, non si finisce più».

«Pensa a Gauss, che ha avuto l'illuminazione mentre era in vacanza».

«Roba da matti. Immagino che si debba costruire un'altra equazione, vero?».

«Eh, sì».

«Però devi dirmi quanto valgono la somma e il prodotto delle v».

«La somma è ovvia, no?».

«Sì, è vero, v₁+v₂ = z₁».

«Bene, ed ecco il genio di Gauss: il prodotto v₁v₂ = w₁».

«Magari ci è arrivato senza nemmeno fare qualche prova su un foglio di carta?».

«Questo la storia non lo dice. Comunque lui ci è arrivato, e ora puoi costruire una nuova equazione».

«Ecco qua: v²-z₁v+w₁ = 0».

«E questa ha come soluzioni v₁ e v₂. Ora ti faccio notare che v₁ è il termine che ci interessa: è la somma di R + R¹⁶: da v₁ possiamo ricavare finalmente R. Giusto per essere espliciti fino in fondo, R è una soluzione di r²-v₁r+1 = 0».

«L'ultimo termine dell'equazione è 1 perché è uguale al prodotto di R per R¹⁶, vero?».

«Esatto. Quindi, per trovare R, dobbiamo risolvere una serie di equazioni di secondo grado. Te le riassumo, risparmiandoti le varie considerazioni che si devono fare sui segni, per fare in modo che R sia proprio la radice dell'unità che vogliamo noi, e non una delle altre 15».

«Ok, vai».

«Primo passaggio: y₁ = (√17 - 1)/2».

«Ok».

«Secondo passaggio: y₂ = (-√17 -1)/2».

«Ah, giusto, ci serve anche y₂ per poter trovare w».

«Esatto. Terzo passaggio: z₁ = y₁/2 + √(1+y₁²/4)».

«Carino».

«Quarto passaggio: w₁ = y₂/2 + √(1+y₂²/4)».

«Finito?».

«Quasi: ora ci basta trovare v₁, che è la radice maggiore dell'equazione v²-z₁v+w₁ = 0. A questo punto abbiamo R».

«Mamma mia. Ma alla fine quanto risulta, questo benedetto lato dell'eptadecagono?».

«Risulta questo:».

I greci non erano normali — 22: il Risultato Definitivo

«Abbiamo visto alcuni esempi di poligoni, alcuni costruibili e alcuni no. Ora siamo pronti per il risultato generale».

«Oh, bene».

«Risultato che conferma, naturalmente, i tre esempi che abbiamo visto. Allora, eccolo: un poligono di n lati è costruibile se n è uguale a 2^h+1, e n è primo. In questo caso l'equazione ciclotomica è di grado 2^h, ed è anche irriducibile. Se invece n è uguale a 2^h+1, ma non è un numero primo, allora l'equazione ciclotomica è riducibile e il poligono non è costruibile».

«Oh, quindi si tratta di vedere se n è primo oppure no».

«E se è nella forma 2^h+1, altrimenti non va bene».

«Ah, ecco, si tratta quindi di provare».

«Non è necessario provare tutti i numeri primi, perché c'è un altro teorema che dice che se n = 2^h+1 è primo, allora h è una potenza di 2, cioè h = 2^m, con m maggiore o uguale di zero. Questo non è difficile da dimostrare».

«Uhm».

«Se h non fosse una potenza di 2, avrebbe un fattore dispari».

«Giusto».

«Allora proviamo a scrivere h = rs, con r e s positivi, e supponiamo che sia s il fattore dispari».

«Bene».

«Allora 2^h+1 = 2^rs+1 = (2^r)^s+1».

«Mh».

«Non è una brutta espressione: se la guardi bene è una somma di potenze dispari».

«Ah, hai ragione. È come se fosse A^s+1, con s dispari».

«Esattamente. E, come sai, le somme di potenze dispari si scompongono».

«Vero: A^s+1 diventa (A+1) per l'equazione ciclotomica».

«Eh, no, attenzione ai segni: ottieni l'equazione ciclotomica se provi a scomporre A^s-1».

«Ah, e qui cosa ottengo, allora?».

«Un'espressione analoga all'equazione ciclotomica, ma con i segni alterni».

«Fammi un esempio che mi sto perdendo».

«Ti faccio vedere direttamente il risultato:».

2^h+1 = 2^rs+1 = (2^r)^s+1 = (2^r+1)(2^r(s-1)-2^r(s-2)+…+1).

«Bene, direi di aver capito. Come andiamo avanti?».

«Siamo arrivati alla fine: abbiamo scomposto in fattori 2^h+1, che quindi non può essere primo. Questo è un assurdo».

«Ah! Allora non è vero che h ha almeno un fattore dispari».

«Esatto, quindi h è una potenza di 2, come volevasi dimostrare. Quindi ecco il risultato fondamentale: un poligono di n lati è costruibile se n è primo ed è scrivibile nella forma 2^2m+1. Quindi non abbiamo bisogno di analizzare tutti i numeri primi, ma solo quelli fatti in quel modo».

«Che avranno un nome, immagino».

«Esatto: si chiamano numeri primi di Fermat».

«Saranno comunque un'infinità».

«Quelli noti ad oggi sono cinque».

«Cosa?».

«Eh, già. Di solito si indicano così: F_m = 2^2m+1. Prova a cominciare a fare un elenco, partendo fa F₀».

«Allora, vediamo, F₀ = 2²⁰+1 = 2¹+1 = 2+1 = 3. Ok, è primo».

«Perfetto, questo è il triangolo. Andiamo avanti».

«F₁ = 2²¹+1 = 2²+1 = 4+1 = 5. Ecco il pentagono».

«Bene, avanti».

«F₂ = 2²²+1 = 2⁴+1 = 16+1 = 17. Uh, un eptadecagono? Si può costruire?».

«Sì, il primo a dimostrarlo fu il giovane Gauss, 19 anni».

I greci non erano normali — 21: l'ennagono

«Vediamo un ultimo esempio, l'ennagono».

«Nove lati».

«Vai avanti nell'analisi».

«Allora, l'equazione dei vertici è x⁹-1 = 0, che si riduce nel prodotto (x-1)(x⁸+x⁷+…+x+1) = 0. L'equazione ciclotomica è quindi di ottavo grado, 8 è una potenza di 2, quindi siamo a posto, l'ennagono è costruibile. Fatto».

«Sbagliato».

«Perché?».

«Hai dimenticato un particolare: l'equazione deve avere come grado una potenza di 2, è vero, ma deve anche essere irriducibile, altrimenti non puoi concludere niente».

«E questa non è irriducibile?».

«No, e lo si può vedere facilmente: possiamo interpretare il polinomio x⁹-1 come una differenza di cubi».

«Giusto, se lo scompongo ottengo x⁹-1 = (x³-1)(x⁶+x³+1)».

«Continua nella scomposizione, anche x³-1 è una differenza di cubi».

«Vero, si scompone in (x-1)(x²+x+1)».

«Se mettiamo tutto insieme, abbiamo che».

x⁹-1 = (x-1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1).

«Ah, ho capito, l'equazione ciclotomica di grado 8 è stata scomposta, non è irriducibile».

«Esatto. Ora concentriamoci sull'equazione x⁶+x³+1 = 0».

«Posso dire che ha le stesse soluzioni dell'equazione ciclotomica da cui siamo partiti, da cui però devo togliere le soluzioni di (x-1)(x²+x+1) = 0».

«Che sono poi le soluzioni di x³-1 = 0, cioè le tre radici cubiche dell'unità».

«Ah, è vero. Se chiamiamo R la prima soluzione non banale dell'equazione ciclotomica, abbiamo allora che le soluzioni di x⁶+x³+1 = 0 sono R, R², R⁴, R⁵, R⁷ e R⁸».

«Esatto, abbiamo lasciato indietro 1, R³ e R⁶ che corrispondono alle radici cubiche di 1. Ora le accoppiamo come in questa figura:».

«Ah, hai messo in evidenza anche le radici cubiche».

«Sì, ma quelle non vanno considerate. Accoppiamo le altre costruendo tre nuove variabili:».

y₁ = R+R⁸,
y₂ = R²+R⁷,
y₃ = R⁴+R⁵.

«Ora dobbiamo fare quei calcoli noiosi, vero?».

«Sì, se vuoi ti abbrevio il calcolo e ti dico il risultato».

«Benissimo».

«Allora, se provi a calcolare la somma y₁+y₂+y₃, risulta R+R²+R⁴+R⁵+R⁷+R⁸».

«Uhm, e quanto fa?».

«È la somma delle radici di x⁶+x³+1 = 0».

«Vero. Ma quanto fa?».

«Data un'equazione, è possibile calcolare la somma delle sue radici senza calcolare tutte le radici».

«Ah, sì, basta prendere il coefficiente del secondo termine».

«E cambiargli di segno».

«Vero. Ma nella nostra equazione il secondo termine non è x³, no? Dovrebbe essere x⁵, ma non c'è».

«Dunque il suo coefficiente è zero».

«Ah, ma allora la somma delle radici è zero, e quindi anche y₁+y₂+y₃ = 0».

«Bene. Ora passiamo al calcolo di y₁y₂+y₁y₃+y₂y₃. Ti dirò che il risultato è -1+2(R³+R⁶), cioè -1+2(-1), cioè -3».

«Ok, rimane ora da calcolare y₁y₂y₃».

«Qui il risultato è -1».

«Ok, perfetto. Allora, dovrei costruire un'equazione di terzo grado in y con questi coefficienti…».

«…ricordati di prendere i segni alterni».

«Giusto. Allora, i coefficienti sono 0, -3, +1. L'equazione è y³-3y+1».

«Che è irriducibile, e di terzo grado».

«Ah, ma allora i nostri y non possono essere costruiti».

«No, e quindi nemmeno l'ennagono. Il grado 8 non era sufficiente, per poter applicare il teorema serviva anche l'irriducibilità dell'equazione ciclotomica».

«Poveri greci».

I greci non erano normali — 20: l'ettagono

«Ora vediamo un esempio di poligono non costruibile con riga e compasso, l'ettagono».

«Sette lati. Dobbiamo analizzare l'equazione x⁷-1 = 0, suppongo».

«Sì, in particolare dobbiamo analizzare la solita equazione ciclotomica, che in questo caso ha grado 6».

«Facciamo come con il pentagono? Dobbiamo accoppiare le soluzioni?».

«Esatto. Indichiamo con R, R², …, R⁶ le soluzioni dell'equazione ciclotomica, e accoppiamo le complesse coniugate».

«Fammi dare un'occhiata alla figura: accoppiamo R con R⁶, vero?».

«Sì, indichiamo con y₁ la somma R+R⁶».

«Provo ad andare avanti: indichiamo con y₂ la somma R²+R⁵ e con y₃ la somma R³+R⁴».

«Proprio così».

«E adesso?».

«Adesso cominciamo a calcolare un po' di somme di prodotti di valori di y».

«Uhm, vediamo se mi ricordo: prima di tutto calcolo y₁+y₂+y₃, giusto?».

«Giusto, vai».

«Bé. è facile, mi viene la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, così come era successo col pentagono. La somma di tutte queste potenze è uguale a -1, me lo dice la famosa equazione ciclotomica».

«Molto bene, quindi y₁+y₂+y₃ = -1».

«Adesso devo prendere gli y a due a due, moltiplicarli e sommare tutto, se ben ricordo».

«Sì, in formule devi calcolare y₁y₂+y₁y₃+y₂y₃».

«Noioso».

«E devi anche ricordarti che le potenze di R funzionano come i numeri dell'orologio: R⁷ = 1, R⁸ = R, e così via».

«Ancora più noioso».

«Se vuoi ti dico il risultato».

«Sì, è meglio».

«Allora, risulta la somma di tutte le potenze di R, tranne 1, contate due volte».

«Sono dodici termini, mamma mia».

«Sì, giusto».

«Vediamo, dato che la somma delle potenze di R, escluso 1, vale -1, quella somma varrà -2».

«Certo. Quindi, riassumendo, y₁y₂+y₁y₃+y₂y₃ = -2».

«Ora dovrei calcolare il prodotto di tutti gli y, se non sbaglio».

«Non sbagli».

«Noioso anche questo».

«Ti dico anche questo risutato: se moltiplichi y₁y₂y₃, ottieni la somma di tutte le potenze di R, questa volta da 1 fino a R⁷».

«Dato che la somma di tutte le potenze di R, da 1 fino a R⁶, è uguale a zero (grazie all'equazione ciclotomica), mi rimane R⁷».

«Che è uguale a?».

«Che è uguale a 1».

«Ottimo. Quindi y₁y₂y₃ = 1».

«E adesso cosa dobbiamo fare?».

«Dobbiamo costruire un'equazione che abbia, come soluzioni, i tre valori y₁, y₂, y₃».

«E come facciamo?».

«Utilizziamo quella generalizzazione della regola della somma e del prodotto che abbiamo visto l'altra volta».

«Ah, ecco a cosa serve. Devo scrivere un'equazione in y, i cui coefficienti siano uguali ai numeri che abbiamo trovato adesso…».

«Coi segni alterni!».

«Giusto, è vero. E il primo segno è negativo. Vediamo se ho capito bene, questa è l'equazione:».

y³+y²-2y-1 = 0.

«E questa è una equazione irriducibile nei razionali».

«E come facciamo a saperlo?».

«Risposta breve: guarda le soluzioni su wolfram alpha».

«Ah, vedo. C'è anche una risposta lunga?».

«Sì, una equazione polinomiale come la nostra può avere, come soluzioni razionali, solo i numeri che si ottengono prendendo i divisori del termine noto».

«Ma il termine noto è -1».

«Appunto. Se quella equazione avesse soluzioni razionali, queste potrebbero essere solo o +1 o -1».

«E ci basta provare a sostituire per vedere che quei due numeri non sono soluzioni, ho capito».

«E allora siamo di fronte a un'equazione di terzo grado irriducibile, e quindi le soluzioni (che pure esistono) non sono costruibili con riga e compasso».

«Ok».

«E questo conferma anche il teorema di cui ti avevo parlato: un poligono è costruibile se l'equazione ciclotomica ha come grado una potenza di due ed è irriducibile».

«Mentre, in questo caso, il grado è 6, che non è una potenza di 2».

«E tanti saluti all'ettagono».

I greci non erano normali — 19: il pentagono

«Ora vediamo come funzionano i teoremi che ti ho raccontato la volta scorsa, prendendo come esempio la costruzione del pentagono. Prima, però, serve un altro teoremino algebrico».

«Uffa».

«Che riguarda il famoso legame tra le radici e i coefficienti di un'equazione di secondo grado».

«Non ne avevamo già parlato?».

«Sì, ora generalizziamo».

«Andiamo bene».

«Prendiamo un'equazione di grado n, e per comodità facciamo in modo che il coefficiente del termine di grado massimo sia uguale a 1».

«Se non lo è, possiamo sempre dividere tutti i termini per quel valore».

«Proprio così. Scriviamo l'equazione in questo modo: xⁿ+a₁x^n-1+a₂x^n-2+…+a_n = 0».

«Bleah».

«E indichiamo con r₁, r₂, …, r_n le sue radici, eventualmente multiple, eventualmente complesse».

«D'accordo».

«Allora, il teorema dice questo: la somma di tutte le radici è uguale a -a₁».

«Come nel caso del secondo grado: avevamo indicato il coefficiente di x con -S, cioè la somma cambiata di segno».

«Giusto, anche se qui non stiamo parlando del coefficiente di x, ma di x^n-1».

«Ah, ok».

«Il teorema va avanti, e dà un significato a tutti i coefficienti. Per esempio, la somma di tutti i prodotti del tipo r_ir_j, con i minore di j, è uguale a a₂».

«Uhm».

«La somma di tutti i prodotti del tipo r_ir_jr_k, con i minore di j e di k, e j minore di k, è uguale a -a₃».

«Vedo che questi a hanno i segni alterni, è così sempre, andando avanti?».

«Esatto, i segni sono sempre alterni, e si parte dal segno meno. Ogni coefficiente si ottiene sommando tutti i prodotti ottenuti moltiplicando tra loro due, tre, quattro radici, e così via».

«Alla fine cosa ho?».

«L'ultimo termine è un unico prodotto, di tutte le radici, che è uguale in valore assoluto a a_n. Il segno dipende dal valore di n: se è pari, il segno è positivo, altrimenti è negativo».

«Ok, non conoscevo questa generalizzazione».

«Infatti, a scuola non si spiega. Finalmente siamo pronti per vedere un esempio concreto, il pentagono».

«Oh, bene».

«Per prima cosa, rappresentiamo le radici dell'equazione x⁵-1 = 0 in questo modo: 1, R, R², R³, R⁴».

«Ricordo che avevamo parlato di questa notazione. Avevi anche detto che queste radici formano un gruppo».

«Ottimo. Ora le accoppiamo in questo modo:».

y₁ = R+R⁴,
y₂ = R²+R³.

«Perché in questo modo?».

«Osserva la figura: gli accoppiamenti sono fatti tra radici che hanno la stessa parte reale, e parte immaginaria opposta».

«Sono radici complesse coniugate, vero?».

«Esatto, si chiamano così. Se le sommi, sparisce la parte immaginaria e rimangono solo numeri reali».

«Ah, ecco. Quindi i nostri y sono numeri reali, bene».

«Ora prova a calcolare la somma y₁+y₂».

«Dovrebbe risultare R+R⁴+R²+R³».

«Quanto fa?».

«Boh, come faccio a saperlo?».

«Guarda quello che hai sommato: sono tutte le radici dell'equazione iniziale, tranne quella uguale a 1».

«E quindi?».

«E quindi sono le soluzioni dell'equazione ciclotomica».

«Non vorrei ripetermi, ma quindi questo a cosa mi serve?».

«Se sostituisci R al posto di x nell'equazione ciclotomica del pentagono, cosa ottieni?».

«Uhm, viene R⁴+R³+R²+R+1 = 0. Ehi, ho capito, se porto 1 a destra dell'uguale, ottengo che la somma che voglio calcolare è uguale a -1».

«Molto bene, quindi y₁+y₂ = -1. Ora prova a calcolare il prodotto y₁y₂».

«Pronti. Mi viene R³+R⁴+R⁶+R⁷. Non mi piace».

«Ricordati quello che abbiamo detto sulle radici dell'unità. Quanto fa R⁶?».

«Dovrebbe essere uguale a R, funziona come le lancette dell'orologio, mi ricordo».

«Benissimo. E quanto fa R⁷?».

«R². Ma allora il prodotto risulta uguale alla somma, sempre -1».

«Sì. Quindi il nostro problema diventa: trova due numeri y₁ e y₂ la cui somma sia uguale a -1 e il cui prodotto sia ancora uguale a -1».

«Mi basta la regola delle equazioni di secondo grado, non ho bisogno della tua generalizzazione».

«Per questo esempio, no. Per il prossimo sì: allora, che equazione devi risolvere?».

«Questa: y²+y-1 = 0».

«Che è una equazione irriducibile di secondo grado, quindi possiamo costruire con riga e compasso le sue soluzioni. Da lì, sappiamo trovare tutti gli R, e quindi il pentagono è costruibilie».

«Ma questo lo sapevano fare anche i greci, senza equazioni ciclotomiche».

«Già. E noi, utilizzando un altro metodo più complicato, abbiamo ottenuto lo stesso risultato. Non è meraviglioso che tutto torni?».

«Tu non sei normale».

I greci non erano normali — 18: alcuni risultati algebrici

«Ora vediamo alcuni risultati algebrici utili per capire come funziona la faccenda della costruzione dei poligoni regolari con riga e compasso. Abbiamo già detto che queste costruzioni sono legate alle quattro operazioni e alla radice quadrata».

«Giusto».

«Ora siamo interessati a capire quali equazioni hanno radici costruibili con riga e compasso».

«Quelle di secondo grado, no?».

«Certo, ma non solo».

«Ma abbiamo visto che le radici cubiche non sono costruibili, quindi se aumenti il grado dell'equazione e passi al terzo, non costruisci più niente».

«Dimentichi, ad esempio, equazioni del tipo x³-1 = 0».

«Ah, già. Le tre radici cubiche dell'unità si costruiscono. Uhm, mi sfugge qualcosa».

«Il fatto è che l'equazione x³-1 = 0 è riducibile».

«Cioè?».

«Cioè si scompone nel prodotto di una equazione di primo grado con una di secondo grado».

«Ah, già. Se l'equazione si riduce, non è più necessaria la costruzione di radici cubiche».

«Esatto. Il risultato generale che ci interessa è il seguente: le radici di una equazione irriducibile si possono esprimere in termini delle quattro operazioni e della radice quadrata solo se l'equazione è di grado n =2^h, con h maggiore o uguale di zero».

«Ah, quindi possiamo avere anche gradi alti».

«Sì, purché siano potenze di due vere, cioè non riducibili in gradi più bassi, che magari possono essere numeri diversi da potenze di due».

«Ok. Ecco perché si possono costruire le soluzioni di x³-1 = 0, perché si può scomporre in una equazione di primo grado e in una di grado 2 irriducibile».

«Proprio così. Ora vediamo come applicare questo risultato ai poligoni regolari: abbiamo detto che, per costruirne uno, bisogna saper costruire le soluzioni dell'equazione xⁿ-1 = 0».

«Che però è sempre riducibile».

«Sì, si riduce sempre nel prodotto dell'equazione di primo grado x-1 = 0 e nell'equazione ciclotomica di grado n-1».

«Quindi dobbiamo capire come si comporta l'equazione ciclotomica».

«Ecco il teorema che ci interessa: un poligono di n lati è costruibile solo se l'equazione ciclotomica è irriducibile, e di grado 2^h».

«E quindi il poligono avrà 2^h lati».

«No, dimentichi la soluzione ovvia x = 1: il poligono avrà 2^h+1 lati».

«Ah, già».

«E quindi vorremmo sapere quando l'equazione ciclotomica è riducibile, e quando non lo è».

«Lo sappiamo?».

«Sì, eccoti un altro teorema: se n = 2^h+1 è un numero primo, allora l'equazione ciclotomica è irriducibile, se invece n non è un numero primo, allora l'equazione è riducibile e il poligono non si può costruire».

«Ma dai, c'entrano i numeri primi anche qua? Incredibile».

«Bello, eh?».

I greci non erano normali — 17: poligoni costruibili dai greci

«I greci sapevano costruire poligoni regolari di 2ⁿ (con n qualunque naturale), 3 e 5 lati».

«Mh, non sono sicuro di saperlo fare».

«Per quanto riguarda i poligoni di 2ⁿ lati, ti basta saper fare la bisettrice di un angolo. Tracci un diametro di una circonferenza, e hai un poligono di 2 lati».

«Che non esiste».

«Infatti, è un segmento, ma se lo chiamiamo poligono non abbiamo bisogno di specificare che n deve essere maggiore di 1».

«Ma dai».

«Trucchi da Vero Matematico».

«Lasciamo stare…».

«E se poi comincio a costruire bisettrici, ottengo poligoni di 4, 8, 16 lati, eccetera».

«Va bene. Per quanto riguarda i 3 lati, cioè il triangolo equilatero, direi di sapere come si fa».

«Vediamo».

«Ecco qua».

«Ottimo. Parti da un punto su una circonferenza, e con apertura uguale al raggio tracci un po' di punti».

«Se vado avanti, riesco a costruire anche un esagono».

«Certo, dopo parliamo di questo fatto, ora rimane il pentagono».

«Ecco, il pentagono proprio non so farlo».

«Mi autocito dicendoti che il lato del decagono è la sezione aurea del raggio della circonferenza».

«E dato che la sezione aurea è (√5-1)/2, possiamo costruirla con riga e compasso».

«Perfetto. E se sai costruire un decagono, sai anche costruire un pentagono, basta prendere un vertice sì e uno no».

«Ok».

«Ecco, un altro risultato interessante ottenuto dai greci è questo: se sai costruire due poligoni, uno di a lati, uno di b lati, con a e b primi tra loro, sai costruire anche un poligono di ab lati».

«E come si fa?».

«Mi autocito di nuovo: con l'algoritmo di Euclide».

«Uhm».

«Facciamo un esempio facile, consideriamo il poligono di 15 lati».

«So costruire quello di 3 e quello di 5 lati, e 3 e 5 sono primi tra loro».

«Bene. L'algoritmo di Euclide ci permette di trovare due numeri k e l tali che ka+lb = 1, se a e b sono primi tra loro».

«Nel nostro caso, 3k+5l = 1».

«Sì, e non c'è nemmeno bisogno dell'algoritmo di Euclide per trovare i valori di k e di l».

«Uhm, no?».

«Bé, non è difficile: k = 2 e l = -1».

«Ah, già. Risulta 6-5, che fa 1, sì».

«Allora, costruire un poligono di a lati significa costruire un angolo al centro di 360/a gradi».

«Giusto. E col poligono di b lati costruisco un angolo al centro di 360/b gradi».

«Ora possiamo costruire dei multipli di questi angoli, affiancandoli più volte».

«Certo».

«Quindi costruiamo 360l/a e 360k/b».

«Ok».

«E li affianchiamo. Cosa otteniamo?».

«Un angolo al centro pari a 360l/a+360k/b».

«Fai il denominatore comune».

«(360lb+360ka)/(ab)».

«Cioè 360(ka+lb)/(ab)».

«E dato che ka+lb fa 1, ho costruito un angolo al centro di 360/(ab) gradi».

«Cioè il lato di un poligono di ab lati».

«Bello».

«Quindi, riassumendo, i greci sapevano costruire poligoni con 2ⁿ3^r5^s, con n non negativo e r e s uguali a 0 oppure a 1».

«E basta?».

«Basta».

I greci non erano normali — 16: l'equazione ciclotomica

«Mh, il titolo di oggi mi inquieta».

«Perché?».

«Ciclotomica? Sembra una roba chirurgica».

«In un certo senso, lo è: l'equazione ciclotomica è quella che serve per dividere il cerchio».

«Come abbiamo fatto per la ricerca delle radici dell'unità?».

«Esattamente. Prendiamo il caso facile, le radici quadrate dell'unità. L'equazione che vogliamo risolvere è x² = 1».

«Sì, e come risultato abbiamo +1 e -1».

«Certo, ma lasciami scrivere l'equazione in un altro modo: x²-1 = 0».

«Cosa cambia?».

«Nulla, ma così possiamo poi generalizzare. Ricorderai che l'espressione x²-1 si può scomporre».

«Sì, in prima superiore mi hanno spiegato la differenza tra due quadrati (anche in terza media, a dir la verità, ma arrivato in prima non ricordavo più nulla)».

«Eh, succede spesso… Allora, sei d'accordo sul fatto che si può scrivere x²-1 = (x-1)(x+1)?».

«Sì».

«Ora, la prima parentesi, (x-1), si annulla quando x = 1. Questa è la soluzione ovvia: radice di uno è uguale a uno».

«Giusto. L'altra parentesi, invece, si annulla per x = -1, l'altra soluzione dell'equazione».

«Perfetto. Ora passiamo alle radici cubiche. Vogliamo risolvere l'equazione x³-1».

«Va bene, possiamo scomporre anche qui?».

«Certo, se ti ricordi la scomposizione della differenza di due cubi».

«Dovrebbe essere questa: x³-1 = (x-1)(x²+x+1)».

«Esatto. Come vedi, hai sempre la parentesi (x-1), che si annulla per x = 1».

«La soluzione ovvia».

«Già. E poi hai un'equazione di secondo grado, che è impossibile da risolvere nei reali, ma ha due soluzioni complesse».

«Fammi provare. Dovrebbe risultare questo:».

«Esatto. Riconosci questi valori?».

«Uhm… ehi! Sono gli stessi valori che mi hai detto tu quando mi hai mostrato le due radici cubiche dell'unità complesse!».

«Sono loro, ottimo. Quella equazione, x²+x+1, si chiama equazione ciclotomica perché è proprio quella che ci serve per dividere il cerchio in n parti uguali. Naturalmente c'è anche la soluzione ovvia, x = 1, ma quella c'è sempre e non abbiamo bisogno di risolvere una equazione per trovarla. Quindi, in generale, l'equazione che ci serve per dividere un cerchio in n parti uguali è xⁿ-1 = 0, ma questa contiene anche il termine (x-1), che è sempre presente e possiamo metterlo da parte».

«E cosa rimane, quindi?».

«L'espressione generale è questa: xⁿ-1 = (x-1)(x^n-1+x^n-2+…+x²+x+1). L'espressione lunga tra parentesi è l'equazione ciclotomica. Lunga da scrivere, ma molto semplice da ricordare: tutti i coefficienti sono uguali a 1».

«Sì, è un po' monotona».

«Adesso considera la prima soluzione di quella equazione».

«Cioè x = 1?».

«No, quella è la soluzione ovvia, che non è soluzione dell'equazione ciclotomica. Considera quella successiva, sul cerchio, andando in senso antiorario».

«Ok, credo di aver capito, ma se facciamo un esempio è meglio».

«Esempio facile: prendiamo x⁴-1 = 0».

«Che si scompone in (x-1)(x³+x²+x+1) = 0».

«Sì, proprio così. Lasciamo da parte (x-1) = 0, che ci dà la soluzione ovvia x = 1».

«Quindi dovrei prendere la prima soluzione di x³+x²+x+1 = 0. Come faccio?».

«Ricordati che le soluzioni le abbiamo già viste: stiamo parlando delle radici quarte dell'unità».

«Ah, è vero, le quattro soluzioni sono +1, +i, -1, -i, andando in senso antiorario».

«E dunque la prima soluzione non ovvia è +i. Indichiamola, in generale, con R».

«Bene, e adesso?».

«Adesso cominciamo a fare un po' di potenze. Quanto fa R²?».

«Vediamo, i² = -1».

«Perfetto, e così lo hai calcolato in modo algebrico. Ti avevo anche spiegato un altro modo, legato alla forma polare dei numeri complessi».

«Ah, è vero, devo elevare il modulo e raddoppiare l'argomento».

«Già. Quanto è il modulo di i?».

«Uno. E quindi se lo elevo al quadrato rimane tale e quale».

«Bene. Quanto è invece l'argomento?».

«90 gradi. Se lo raddoppio, ottengo 180 gradi, cioè vado a finire su -1. Bene, tutto torna».

«Ora calcola R³».

«Mi viene un angolo di 270 gradi, cioè finisco su -1. È vero, i³ fa -i».

«E infine, calcola R⁴».

«Faccio un giro completo e ottengo di nuovo 1».

«Bene, ti riassumo quello che abbiamo: un insieme di quattro elementi, che possiamo indicare con 1, R, R², R³».

«O anche R, R², R³, R⁴».

«Giusto, dato che R⁴ = 1. Se noi prendiamo due qualsiasi di questi elementi e li moltiplichiamo tra di loro, otteniamo sempre uno di quegli elementi, non usciamo dall'insieme».

«Fammi fare una prova: R³ moltiplicato R² fa R⁵».

«Che è uguale a R⁴R».

«Ah, ci sono! Dato che R⁴ è uguale a 1, rimane R. Sono come i numeri dell'orologio!».

«Esatto, questi calcoli sono identici a quelli che si fanno nell'aritmetica modulare. E non è finita qua: ogni elemento ammette un reciproco».

«Tipo 1/R?».

«Sì, prova a calcolare: quale elemento del nostro insieme è 1/R?».

«E come faccio?».

«Devi pensare a come esprimere 1/R in altri termini, che non contengano l'operazione di divisione, ma solo la moltiplicazione».

«Per esempio, 1/R è quel numero che moltiplicato per R dà 1».

«Bene. Quale dei nostri elementi, moltiplicato per R, dà 1?».

«Ah, R³. Quello moltiplicato per R dà R⁴, cioè 1».

«Perfetto, quindi 1/R = R³».

«Quindi potrei dire che 1/R² = R²?».

«Certo. E quanto sarà 1/R³?».

«Ah, sarà R. Ho capito, tutti gli elementi ammettono un reciproco».

«Manca il reciproco di 1, che comunque è facile da calcolare: è sempre 1».

«Giusto».

«Si dice allora che l'insieme composto da 1, R, R², R³ è un gruppo. Per essere precisi, un gruppo gode delle seguenti proprietà: è chiuso rispetto all'operazione considerata (che nel nostro caso è la moltiplicazione)».

«Giusto, l'abbiamo visto».

«L'operazione gode della proprietà associativa».

«Mi pare corretto».

«Lo è: le nostre moltiplicazioni sono rotazioni intorno all'origine, e puoi farle nell'ordine che preferisci. Poi deve esistere un elemento neutro per l'operazione».

«C'è, è 1. Moltiplicare per 1 è come non fare niente».

«Infatti. Potremmo anche dire che l'argomento di 1 è zero gradi, e ruotare di zero gradi è come non fare niente».

«Vero anche questo».

«E infine, deve esistere l'inverso di ogni elemento — nel caso della moltiplicazione, l'inverso è il reciproco».

«E abbiamo visto che ogni elemento ha il suo reciproco. Bene, e adesso?».

«Adesso, prima di tutto notiamo che questa proprietà di essere gruppo non vale solo per le radici quarte dell'unità, ma per le radici n-esime, qualunque sia il valore di n».

«Va bene, ma avrò più elementi nel gruppo, no?».

«Certo, il gruppo è formato da 1, R, R², …, R^n-1».

«Bene. E poi?».

«E poi applichiamo queste cose allo studio della costruibilità dei poligoni regolari».

I greci non erano normali — 15: radici dell'unità

«Parliamo di radici dell'unità».

«Eh? Ma poi, cosa significa? Radice di uno è uno, fine del problema».

«Eh, magari. Allora, per prima cosa per radice dell'unità si intende qualunque numero che sia soluzione dell'equazione xⁿ = 1. Per essere più precisi, quei numeri si chiamano radici n-esime dell'unità».

«E dai, ma perché usi il plurale? Ah, no, aspetta, ho capito, quando n è un numero pari anche -1 è soluzione dell'equazione. Quando n è dispari però no. Anche se io insisto sul fatto che radice di uno sia uguale a uno, e basta».

«Vero, radice di uno è uno. Ed è anche vero che se n è pari, allora -1 elevato alla n è uguale a 1, ma noi ora ci mettiamo nei numeri complessi».

«Uhm. Quella roba con la i?».

«Esatto».

«Con i² = -1?».

«Proprio quelli. Ti ricordi quando abbiamo esteso i numeri razionali introducendo radici di numeri che non sono quadrati perfetti?».

«Sì, avevamo ad esempio creato numeri del tipo a+b√2».

«Giusto. Ora, quello che si fa per creare i numeri complessi è la stessa cosa: si aggiunge i al campo dei numeri reali, e si ottengono numeri del tipo a+bi».

«Che formano un campo pure loro?».

«Certo, non cambia nulla rispetto a quanto abbiamo detto quando abbiamo esteso i razionali con le radici. Ora utilizziamo uno strumento molto comodo per visualizzare i numeri complessi: il piano complesso».

«Se ben ricordo, è come il piano cartesiano».

«Sì, solo che invece di avere un asse delle x e uno delle y, ha un asse reale e un asse immaginario. Se il numero che vuoi rappresentare è a+bi, allora metti in ascissa a e in ordinata b».

«Come se io volessi rappresentare il punto (a,b)».

«Proprio così. Ora torniamo alle radici n-esime dell'unità: in campo complesso sono sempre n».

«Mh, io ne vedo una sola, al massimo due».

«Per capire come mai ce ne siano n, bisogna che parliamo un momento dei due modi di rappresentare un numero complesso su un piano. Uno è quello che abbiamo detto poco fa, il numero a+bi diventa il punto (a,b)».

«E l'altro?».

«L'altro non usa le coordinate cartesiane, ma quelle polari. Invece di dirti “muoviti in orizzontale di a e in verticale di b”, ti dice “ruota di un certo angolo θ rispetto all'orizzontale e cammina di una certa lunghezza ρ”».

«Ok, mi pare di aver capito. Servono sempre due numeri».

«Sì, i numeri complessi stanno su un piano, quindi servono sempre due numeri per definirli».

«E perché ci piace questa forma polare?».

«Perché gode di una interessante proprietà che riguarda le potenze. Se tu vuoi elevare alla n un certo numero complesso, ti basta elevare alla n la sua lunghezza ρ (che si chiama modulo) e moltiplicare per n il suo angolo θ (che si chiama argomento)».

«Ah, quindi in un certo senso questi numeri ruotano nel piano».

«Sì, esatto. Allora, per fare la radice n-esima, ti basta fare il contrario: fai la radice n-esima del modulo e dividi per n l'argomento».

«E questo mi serve per le radici dell'unità?».

«Sì, ora ti spiego. Per prima cosa, l'unità ha modulo uguale a 1, quindi se la elevi o se ne estrai la radice, il suo modulo rimane tale e quale».

«Ok, fin qua ci sono. Quindi ci rimane da ragionare sulle rotazioni».

«Sì. Partiamo da un esempio semplice: avevi detto che 1 e -1 sono radici quadrate dell'unità».

«Vero».

«Questo significa che se le eleviamo al quadrato, otteniamo 1. Allora, se vogliamo verificare la proprietà che ti ho raccontato prima, dobbiamo rappresentarle sul piano complesso e raddoppiare il loro argomento».

«E fare il quadrato del modulo».

«Ma il modulo è uguale a 1, quindi rimane 1».

«Giusto. Bé, se considero 1, quello ha argomento uguale a zero».

«E se moltiplichi zero per due rimane zero. Quindi la radice 1 al quadrato fa effettivamente 1».

«Se prendo -1, invece, quello ha argomento uguale a 180 gradi».

«Esatto. Se moltiplichi per due l'argomento, cosa ottieni?».

«Ottengo 360 gradi, che è come dire 0 gradi. Quindi anche -1 al quadrato fa 1. Ok, ci sono».

«Se osservi la figura, il punto rosso rappresenta il numero -1. Se lo elevi al quadrato, raddoppi il suo argomento: fai cioè fare un altro mezzo giro al punto, portandolo sul punto blu, che è 1».

«Ho capito. Ancora non riesco a capire, però, perché ci debbano essere n radici n-esime. Se prendo n = 3, dovrei avere tre radici cubiche, ma io ne vedo solo una, quella ovvia, cioè 1. Dove sono le altre due?».

«Te le faccio vedere».

«Uh, fammi capire».

«Nella figura vedi tre punti. Quello blu è il solito 1, non abbiamo bisogno di verificare che 1 alla terza fa 1».

«Ok».

«Quelle rosse sono le altre due radici dell'unità. Cioè sono altri due numeri che, elevati alla terza, danno 1. I segmenti tratteggiati servono solo per capire che le tre radici si trovano sui vertici di un triangolo equilatero, non servono per il calcolo».

«Allora, l'argomento di A dovrebbe essere 120 gradi, giusto?».

«Giusto. Se elevi A alla terza, come dovresti modificare il suo argomento?».

«Dovrei moltiplicarlo per tre, e 120 moltiplicato 3 fa 360, quindi vado a finire sul punto blu. Perfetto, anche A elevato alla terza fa 1. E B, invece?».

«Qual è l'argomento di B?».

«Uhm, 240 gradi?».

«Sì, che moltiplicato per 3…».

«…fa 720 gradi! Ho capito, faccio due giri e torno su 1. Bello!».

«Con un po' di calcoli che ti risparmio, si possono calcolare sia la parte reale che quella immaginaria di A e B».

«Dimmi come risultano».

«Ecco qua:».

«Bruttine».

«Sì, ma se provi ad elevare alla terza, risulta proprio 1 in entrambi i casi».

«E allora per le radici quarte avrò un quadrato?».

«Certo. Quali sono i numeri complessi che elevati alla quarta danno 1?».

«Allora, vediamo 1 e -1 di sicuro».

«Poi?».

«Forse i? Fammi pensare: i alla seconda fa -1, quindi alla quarta fa (-1)², cioè 1. Ho capito, le altre due radici sono i e -i».

«Ottimo. Eccole rappresentate sul piano complesso».

«Ah, ma certo, gli angoli sono di 90, 180 e 270 gradi. Se moltiplico per 4, arrivo sempre su 1».

«Sì, facendo un giro solo nel caso di i, due giri nel caso di -1 e tre giri nel caso di -i».

«E quindi tutte le radici dell'unità si possono trovare disegnando un poligono regolare?».

«Esatto. E qui ritrovi anche il risultato che avevi anticipato tu: se il poligono ha un numero pari di lati, un vertice cade su -1, altrimenti no. Questo significa che le radici n-esime dell'unità sono tutte complesse tranne una, se n è dispari, mentre sono tutte complesse tranne due, se n è pari».

«E quelle due sono 1 e -1. Perfetto, ho capito. Ma perché abbiamo parlato di questo argomento?».

«Per introdurre un ultimo argomento che stava a cuore ai greci: la costruzione di poligoni regolari mediante l'uso della riga e del compasso».

I greci non erano normali — 14: in matematica non si butta via niente

«E siamo arrivati al terzo periodo, quello che conclude la storia del pi greco».

«Siamo oltre l'analisi?».

«Bé, non oltre, ma ora l'analisi viene usata in maniera più approfondita. Partiamo da Hermite, che nel 1873 dimostrò che e è un numero trascendente».

«Eh? Cosa sarebbe?».

«Un numero è trascendente se non è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi».

«Di qualunque grado?».

«Già. La radice cubica di 2, per esempio, non è trascendente, perché è soluzione di x³ = 2».

«Ok. E se un numero non è trascendente, cosa è?».

«Un numero che non è trascendente si dice algebrico. I numeri reali vengono divisi in queste due grandi categorie; naturalmente i numeri razionali sono tutti algebrici, possiamo sempre scrivere un'equazione a coefficienti interi che abbia come soluzione una frazione del tipo n/d».

«Sì, è vero. Per esempio, dx = n».

«Infatti. Perciò la distinzione tra algebrico e trascendente diventa interessante quando parliamo di numeri irrazionali».

«Va bene, Il fatto che e sia trascendente cosa ha a che fare con π?».

«Eh, ora ci arriviamo. Nel 1882 Lindemann generalizzò il risultato di Hermite, dimostrando che in una equazione del tipo a₀ + a₁e^p₁ + a₂e^p₂ + … = 0 non solo i coefficienti e gli esponenti non possono essere interi, ma non possono essere nemmeno tutti algebrici».

«Quindi almeno uno deve essere trascendente?».

«Sì. E se applichiamo questo risultato all'equazione 1 + e^iπ = 0, dato che 1 è un numero algebrico, allora possiamo concludere che iπ deve essere trascendente».

«Ci sono. Immagino che ora dovremmo togliere quella i, si può?».

«Sì, si può, perché i numeri algebrici formano un campo. Questo significa che il prodotto di due numeri algebrici è algebrico. Ora ti domando: i è algebrico o trascendente?».

«Uhm, i, in effetti, è soluzione di una equazione facile».

«Quale?».

«x² = -1».

«Giusto, è una equazione a coefficienti interi».

«Quindi i è algebrico».

«E dato che iπ è trascendente, mentre il prodotto di due numeri algebrici è algebrico…».

«Allora π è trascendente!».

«Ottimo. Quindi π non è radice di nessuna equazione polinomiale, e dunque non può essere espresso mediante somme, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni di numeri razionali, né può essere il risultato di un quadrato o di una radice quadrata».

«E quindi non è costruibile con riga e compasso».

«Esatto. E allora non si può costruire un quadrato equivalente a un cerchio, utilizzando solo riga e compasso».

«Poveri greci».

I greci non erano normali — 13: arriva l'analisi

«Il secondo periodo della nostra storia vede personaggi come Newton, Fermat, Wallis, Eulero alle prese con lo studio di pi greco».

«Oh, gente famosa».

«I nuovi metodi dell'analisi hanno permesso a questi matematici di esprimere il valore di π come risultato di somme infinite, prodotti infiniti, frazioni continue».

«Tutta roba che i greci si sognavano».

«Già. Nel 1849 Jakob de Gelder, un matematico che esiste solo nella wikipedia olandese…».

«… che dice anche che nel 1849 il matematico era già morto…».

«Eh, le fonti qua non sono molto concordi… comunque, nel diciannovesimo secolo questo matematico, utilizzando le frazioni continue, arrivò a questa approssimazione:».

«Bleah».

«No, non è brutta. Devi sapere che la frazione 355/113 è molto importante: è la migliore frazione che approssima pi greco avente numeratore e denominatore di tre cifre».

«Non si può fare di meglio?».

«No, con tre cifre meglio di così non si fa. Anzi, se vuoi una frazione che migliora l'approssimazione fatta da 355/113, devi passare a 103993/33102».

«Gulp».

«Ma il nostro Jakob non si è fermato qua: ha anche spiegato come ottenere quella approssimazione utilizzando riga e compasso».

«Sarà complicatissimo».

«Un po'. Guarda questa figura:».

«Io la guardo, ma bisogna che me la spieghi».

«La circonferenza ha raggio 1, e il segmento OD è lungo 7/8».

«E già qui i numeri cominciano a essere brutti».

«Aspetta, allora. Congiungi A con D, e costruisci il segmento AF lungo 1/2».

«Mh, poi?».

«Poi traccia FG, perpendicolare ad AB, congiungi G con D e, finalmente, da F traccia la parallela a GD».

«E trovo il punto H».

«Ecco fatto. Se provi a fare i calcoli (che ti risparmio, però li ho fatti e ti assicuro che è vero), risulta che».

«E quindi mi basta aggiungere 3 per avere quella frazione che approssima pi greco tanto bene».

«Esatto».

«Però questo non dimostra che pi greco è irrazionale».

«No, ancora no. La dimostrazione del fatto che π è irrazionale è opera di Lambert. Lo dimostrò nel 1761. Anche se questo ancora non significa nulla, se vogliamo sapere se pi greco è costruibile con riga e compasso».

«Già. Con riga e compasso si possono costruire anche numeri irrazionali piuttosto brutti».

«Sì, è vero. Ma i matematici si stavano avvicinando alla soluzione. In particolare, un grosso passo avanti è stato fatto da un certo Eulero, con la sua apparentemente inutile formula più bella della matematica».

«Quale? e^iπ + 1 = 0?».

«Proprio quella».

I greci non erano normali — 12: approssimazioni con poligoni

«E siamo arrivati alla quadratura del cerchio».

«Che sarebbe?».

«Sarebbe la costruzione di un quadrato equivalente a un cerchio dato».

«Difficile?».

«Impossibile. Ma la scoperta dell'impossibilità della quadratura del cerchio, naturalmente usando solo riga e compasso, è stata una vicenda lunga e sofferta».

«Addirittura».

«Sì, ci è voluto molto tempo. Possiamo dividere la storia in tre grandi capitoli, che sono poi la storia di pi greco».

«Ah. Sì, in effetti immagino che pi greco c'entri, dato che parliamo di cerchi…».

«Eh, bé, sì. Prendi un cerchio di raggio 1, tanto per semplificare i conti. La sua area sarà π».

«E quindi io vorrei costruire un quadrato di lato √π».

«Esatto. Il nostro scopo è capire se la radice di pi greco possa essere costruita utilizzando solo riga e compasso».

«Va bene. Avevi parlato di tre periodi?».

«Sì. Il primo finisce a metà del diciassettesimo secolo».

«E parte?».

«Parte con Archimede. Il quale aveva calcolato le aree di tanti poligoni inscritti e circoscritti in una circonferenza, allo scopo di ottenere almeno una approssimazione decente per π».

«E ci è riuscito?».

«È arrivato a ragionare su poligoni di 96 lati…».

«Quanti?».

«Eh, hai capito bene, 96.».

«Ci assomiglia abbastanza, a un cerchio, eh».

«Già. Archimede ha trovato questa approssimazione:».

«Uhm, fammi fare i calcoli: pi greco risulta compreso tra 3.1408 e 3.1429. Meglio di quanto facciano gli studenti delle elementari».

«E delle medie… Da Archimede passiamo a Ludolph van Ceulen, sedicesimo secolo».

«Ah, e in mezzo ai due nessuno ha fatto progressi?».

«No, ci sono stati altri matematici che hanno migliorato un po' il risultato di Archimede, o che lo hanno ricavato in maniera autonoma, comunque sempre approssimando il cerchio con poligoni. Ludolph van Ceulen arrivò a 17 cifre dopo la virgola, e poi migliorò ancora i calcoli fino ad arrivare a 35 cifre, uilizzando poligoni con 2³⁰ lati. Era così orgoglioso del suo risultato, che volle che fosse inciso sulla sua lapide».

«Un altro pazzo furioso».

«Comunque, anche se erano stati fatti dei passi avanti dal punto di vista pratico, non si poteva dire altrettanto per la teoria. Ancora non si conosceva la natura di pi greco, non sapevano nemmeno se fosse razionale o irrazionale. E qui termina il primo periodo della nostra storia».

«E dopo che è successo?».

«Dopo è arrivata l'analisi».

I greci non erano normali — 11: la quadratura dei poligoni

«I greci erano in grado di costruire un quadrato equivalente a un qualunque poligono dato».

«Indipendentemente dal numero dei lati del poligono?».

«Sì, con un procedimento molto bello e generale».

«Mh, interessante».

«Tutto è basato sul fatto che triangoli aventi la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti».

«Cioè hanno la stessa area?».

«Sì, anche se il concetto di equivalenza è un po' più astratto. Quando parli di area, usi i numeri, quando parli di equivalenza no».

«E cosa uso?».

«Niente. Cioè, usi il concetto di avere la stessa estensione, occupare la stessa superficie. Un concetto che, senza numeri, non è ulteriormente definibile. Negli Elementi di Euclide è un concetto primitivo, cioè non ulteriormente definibile. Ma se vuoi parlare di area, va benissimo».

«Sì, ho parlato di area perché mi è venuto in mente che l'area di un triangolo dipende proprio solo dalla base e dall'altezza».

«Infatti, è così, la formula per il calcolo dell'area di un triangolo funziona proprio perché tutti i triangoli aventi stessa base e stessa altezza sono equivalenti, e quindi l'area è sempre quella».

«Va bene. Vediamo questo procedimento, allora».

«Ecco qua, prendiamo un poligono qualsiasi, composto da un certo numero di lati. In questa figura, ne prendiamo cinque».

«Ok, un pentagono irregolare. Adesso?».

«Adesso scegliamo due vertici non adiacenti, ma tali che se percorriamo il bordo della figura, ci sia un solo vertice tra i due».

«Per esempio A e C?».

«Esatto: tra A e C abbiamo solo il vertice B. Congiungiamo A con C e, a partire da B, tracciamo una parallela ad AC».

«Ok, fin qua ci sono. So che con riga e compasso si riesce a tracciare una parallela a una retta data».

«Infatti. Ora prolunghiamo il lato DC verso C, fino ad incontrare la retta che abbiamo tracciato prima. Chiamiamo F il punto di intersezione».

«Ok, adesso?».

«Adesso abbiamo finito: il poligono AFDE è equivalente al precedente».

«Perché?».

«Perché i due triangoli ABC e AFC hanno la stessa base e la stessa altezza, mentre la parte composta dal poligono ACDE non è stata toccata dalla nostra costruzione».

«Ah, ecco. Sì, è vero, ma perché dici che abbiamo finito?».

«Perché questo è il procedimento: siamo partiti dal poligono ABCDE, cinque lati, e siamo arrivati al poligono AFDE, quattro lati».

«Ah! Quindi possiamo partire da un poligono di n lati, e arrivare a un poligono di n-1 lati».

«Certo, poi possiamo proseguire così fino ad arrivare a un poligono di tre lati, cioè un triangolo. E lì ci fermiamo».

«Bene, ci sono. Cioè, no, non avevi detto che dovevamo costruire un quadrato?».

«Sì, è vero. Per ora abbiamo ricondotto tutti i poligoni ai triangoli, e questo è già un passo notevole. Ora ricordati che puoi ricondurre un triangolo a un parallelogramma».

«Mmmh?».

«Guarda questa figura:».

«Ah, vedo. Però è un parallelogramma grande il doppio del triangolo».

«Esatto, poi ci ricorderemo di dividerlo a metà, ma non sarà un problema. Ora facciamo un passo avanti: ogni parallelogramma è equivalente a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza, giusto?».

«Giusto, è una proprietà dei parallelogrammi».

«E anche il rettangolo è un parallelogramma. Quindi il nostro triangolo sarà equivalente a un rettangolo avente per base metà della base del triangolo, e la stessa altezza».

«Oppure la stessa base e altezza metà».

«Esatto. Quindi, riassumendo, per ora siamo in grado di passare da qualunque poligono a un rettangolo».

«Giusto. Rimane il passaggio da rettangolo a quadrato».

«Che possiamo fare utilizzando il secondo teorema di Euclide, che avevamo anche già usato in precedenza per estrarre la radice quadrata».

«Vediamo, in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa».

«Esatto. Eccoti la figura:».

«Uh, fammi capire».

«Partiamo dal rettangolo blu».

«Ok».

«Riportiamo l'altezza BC lungo il lato DC».

«Ok, lo facciamo col compasso».

«Esatto. Poi costruiamo la semicirconferenza di diametro DF».

«Sempre col compasso».

«Naturalmente. Ora troviamo il punto di intersezione della retta BC con la semicirconferenza, e abbiamo il triangolo rettangolo al quale applicare il teorema di Euclide».

«Il triangolo DFG. Se applico il teorema, risulta che CG² = DC·CF».

«Proprio così. Quindi il quadrato rosso è equivalente al rettangolo blu».

«Ah, ottimo. Quindi tutti i poligoni sono riconducibili a quadrati: molto bello».

«E così i greci erano a posto. Il passo successivo è stato quello di fare lo stesso giochino con la più semplice figura con i lati curvi, cioè la circonferenza».

«E ci sono riusciti?».

«No».

I greci non erano normali — 10: la trisezione dell'angolo

«Amici ateniesi!».

«Dicci, Sommo Matematico!».

«Siamo o non siamo i maestri della geometria?».

«Sììì!».

«Siamo noi in grado di realizzare costruzioni mirabolanti con riga e compasso?».

«Sììì!».

«Siamo noi i maestri della dimostrazione? Gli alfieri della logica? Abili scopritori dei segreti matematici?».

«Sììì, lo siamo!».

«Siamo noi in grado di prendere un angolo, e di dividerlo a metà?».

«Sììì!».

«E allora, cosa ci vuole a dividerlo in tre parti? Coraggio!».

«…».

«Perché non rispondete?».

«Eehhm».

«Cosa?».

«Non siam capaci».

«Vergogna! Venite, ragioniamo ancora un po' su queste dimostrazioni, portate nuove righe, portate altri compassi! Appuntite quelle matite! Coraggio, costruiamo!».





«Ci sono riusciti?».

«Eh, no, ».

«Non c'erano mica tanto con la testa, eh».

«Eh, magari erano ancora sotto gli effetti dell'epidemia che li aveva colpiti ai tempi della duplicazione del cubo».

«Ma smettila… Quindi anche questo è uno dei problemi irrisolvibili con riga e compasso, eh?».

«Già. Tagliare a metà un angolo è facile, in tre impossibile, anche se la dimostrazione è un po' più complicata rispetto a quella della duplicazione del cubo».

«Vediamo, vah».

«Va bene. Partiamo da questa formula di trigonometria:».

cos(3α) = 4cos³α - 3cosα.

«Mi fido».

«Ora consideriamo un angolo di 60 gradi, e lo sostituiamo al posto di 3α».

«Ok, quindi α sarebbe 20 gradi».

«Esatto».

«Ecco, dovrebbe essere così:».

cos(60°) = 4cos³(20°) - 3cos(20°).

«Bene, ricordati che il coseno di 60 gradi è noto, vale 1/2».

«Ah, già».

«Ora applica questa sostituzione: x = 2cos20°».

«Uh, ok. Diventa così: 1/2 = x³/2- 3x/2».

«E, se moltiplichiamo tutto per 2 e portiamo da una parte, otteniamo questa equazione:».

x³ - 3x - 1 = 0.

«Dobbiamo risolverla?».

«Sì, e dobbiamo capire se il risultato è un numero costruibile con riga e compasso».

«Ah, ma sappiamo risolvere un'equazione di terzo grado?».

«Sì, le formule sono note, ma non sempre sono utili».

«Perché?».

«Perché a volte usano numeri immaginari anche quando le soluzioni sono reali, e allora il risultato potrebbe essere poco chiaro ed evidente».

«Eh?».

«Guarda, se applichiamo la formula risolutiva (possiamo farlo fare a wolfram alpha, dato che siamo pigri), otteniamo queste bellezze:».

«Argh!».

«Ma, se facciamo i conti, otteniamo questi tre numerini:».

x₁ = -1.53209…
x₂ = -0.347296…
x₃ = 1.87939…

«Ah, ora capisco cosa intendi con risultato poco chiaro ed evidente. Così è meglio».

«Così è meglio, sì, ma ancora non sappiamo rispondere alla domanda iniziale: possiamo trisecare l'angolo?».

«Allora, un momento, fammi fare il punto: abbiamo scritto un'equazione valida per tutti gli angoli α».

«Giusto».

«Poi abbiamo sostituito α con 20 gradi».

«Sì».

«Abbiamo quindi una equazione valida in particolare per l'angolo di 20 gradi».

«Giusto anche questo».

«Poi abbiamo fatto una sostituzione, ed è sparito l'angolo α, mentre è comparso x».

«Sì. Tieni presente che x è legato all'angolo α, in realtà x è il doppio del coseno di 20 gradi. Tieni anche presente che se sappiamo costruire un angolo, allora sappiamo anche costruire il suo coseno, e viceversa. Sono costruzioni facilissime da fare con riga e compasso».

«Va bene. Quindi, dobbiamo capire se x è costruibile?».

«Esatto. Noi abbiamo elencato tre soluzioni dell'equazione di terzo grado, in realtà quella che ci interessa è quella positiva, perché il coseno di 20 gradi è un numero positivo».

«Va bene. Come facciamo allora a sapere se è costruibile?».

«Ecco, qua viene il difficile. Per prima cosa, si usa questo teorema: se una equazione di terzo grado ha una radice razionale, allora le sue radici sono costruibili. Altrimenti nessuna delle radici è costruibile».

«Ah. E questa è difficile da dimostrare?».

«Non è difficile, ma è noiosa. Non ti spiego tutta la dimostrazione, ma cerco di farti capire come funziona. La formula risolutiva generale per le equazioni di terzo grado contiene delle radici cubiche…».

«Che a noi non piacciono».

«Se non si semplificano, no, infatti. Allora, se una delle soluzioni è razionale, allora l'equazione di terzo grado si abbassa di grado facilmente e si ottiene un'equazione di secondo grado».

«Che noi sappiamo costruire».

«Esatto».

«Se invece l'equazione di terzo grado non ha una soluzione razionale, allora quelle radici cubiche rimangono, e non si semplificano».

«Va bene. Quindi a noi rimane da capire se la nostra equazione ammette una soluzione razionale?».

«Esatto. Supponiamo che esista questa benedetta soluzione, chiamiamola x = a/b, con a e b numeri interi, primi tra loro, e naturalmente b diverso da zero».

«Ok. Suppongo che tu stia facendo una dimostrazione per assurdo, vero?».

«Esatto. Prova a sostituire quindi x = a/b nell'equazione».

«Pronti: (a³/b³) - (3a/b) - 1 = 0».

«Bene. Eliminando i denominatori, abbiamo a³ - 3ab² = b³, cioè b³ = a(a² - 3b²)».

«E questo cosa ci dice?».

«Ci dice che a divide b³. Dato però che a e b sono primi tra loro, allora a deve essere uguale a +1 oppure a -1».

«Capisco».

«Ma possiamo anche scrivere l'uguaglianza precedente in modo diverso: a³ = b²(b + 3ab)».

«Quindi b² divide a³, giusto?».

«Certo, e questo significa che anche b è uguale a +1 oppure a -1. Ma allora se la nostra equazione ammette una soluzione razionale, questa deve essere +1 oppure -1».

«E ci basta sostituire per capire che non è vero».

«Esatto. Quindi niente soluzioni razionali, niente costruibilità con riga e compasso per il coseno di 20 gradi. Quindi abbiamo trovato almeno un angolo che non è divisibile in tre parti uguali».

«Nonostante gli sforzi dei poveri greci».

I greci non erano normali — 9: la duplicazione del cubo

Gli ateniesi si rivolsero all'oracolo di Delo allo scopo di far cessare l'epidemia che aveva colpito la città. L'oracolo rispose che essi avrebbero dovuto duplicare l'altare di Apollo, che aveva forma cubica. Gli ateniesi costruirono così un nuovo altare, avente il lato lungo il doppio di quello precedente, ma l'epidemia non si placò.

Gli ateniesi si rivolsero allora nuovamente all'oracolo, il quale disse: «Stolti! Non sapete nemmeno fare le moltiplicazioni? L'altare che avete costruito è grande otto volte il precedente, io vi avevo detto di costruirne uno grande il doppio!».

E gli ateniesi, avviliti, risposero: «Ma come si fa? Noi non siamo capaci di farlo».

E l'oracolo concluse: «Polli! Se vi ostinate a usare riga e compasso, non ce la fate di certo. Vedete un po' voi, o usate qualche altro strumento, oppure vi tenete l'epidemia».




«Bé?».

«Cosa?».

«E come è andata a finire?».

«La storia non lo racconta, probabilmente perché gli ateniesi sono morti tutti in seguito all'epidemia».

«Ma dai!».

«Comunque sia, questo è uno dei problemi classici che non si possono risolvere con riga e compasso».

«Si tratta di costruire un cubo di lato uguale al primo, moltiplicato per radice cubica di 2, no?».

«Esatto, ma abbiamo detto che la radice cubica di due è un numero che non si può costruire con riga e compasso. Non si può creare una radice cubica utilizzando solo radici quadrate».

«E quindi gli ateniesi non ci sono riusciti».

«Già. Bé, a loro mancava tutta la teoria algebrica, quindi non sapevano che quello fosse un problema impossibile da risolvere. Ci hanno provato in vari modi, ma quelli che funzionavano non utilizzavano solo riga e compasso».

«Poveretti».

«Già, tutti morti per non aver voluto cedere alla tentazione di usare altri strumenti, oltre a quelli leciti».

«Allora! La smettiamo?».