Nodi di carta

“Cos'è un nodo?”.

“Un nodo… un nodo è… un nodo è un nodo!”.

“Certo. Un Vero Matematico non sarebbe molto contento di questa definizione”.

“I Veri Matematici non sono mai contenti di nulla. Come lo definiscono un nodo, loro?”.

“Direbbero che un nodo è una curva semplice chiusa nello spazio”.

“Ah”.

“Ma se vai nel dettaglio, la definizione potrebbe risultare leggermente più incomprensibile”.

“Naturalmente”.

“Per esempio, se vai a vedere la voce sulla Wikipedia in italiano, trovi una frase che afferma che sarebbe sbagliato definire un nodo come l'immagine di una funzione continua dalla circonferenza nello spazio, perché così tutti i nodi risulterebbero equivalenti”.

“Interessante”.

“Se vai sulla analoga voce in inglese, invece, trovi scritto: a knot is an embedding of a circle in 3-dimensional Euclidean space, considered up to continuos deformations”.

“Eh? Ma è esattamente quello che la voce in italiano segnala come sbagliato”.

“Appunto”.

“Roba da matti”.

“Insomma, dato che non dobbiamo fare teoria dei nodi, a noi basta sapere che un nodo è una cosa di questo tipo. Questo si chiama nodo trifoglio”.

“Ok”.

“Mentre questo non è un nodo”.

“E perché no?”.

“Perché non è una curva chiusa. Un finto nodo come questo puoi sempre scioglierlo, mentre un nodo vero come quello della prima immagine non può essere sciolto, in modo da formare una circonferenza non annodata. Devi tagliarlo”.

“Ah, ecco. Ammesso che gli estremi non siano collegati in qualche modo, questo puoi scioglierlo, e farlo diventare un segmento”.

“Proprio così. Ricordi che abbiamo lavorato con una striscia di carta, un po' di tempo fa?”.

“Ricordo”.

“Ora proviamo a annodarla con un nodo semplice, ma non incolliamo gli estremi”.

“Insomma, proviamo a fare una cosa che tutte le persone appartenenti al mondo normale, eccetto quindi i Veri Matematici, chiamano nodo”.

“Esatto. Ecco una simulazione di nodo, con la quale puoi giocare”.



“Ah, vedo. Mi aspettavo qualcosa di curvo, mentre vedo dei segmenti”.

“Se tu prendi una vera striscia di carta e provi a annodarla, è vero che la incurvi. Ma a un certo punto puoi decidere di schiacciare tutta la carta su un piano, formando delle pieghe. La sostanza del nodo non cambia”.

“Ah, va bene. Vedo che posso cambiare dei parametri, ma non capisco quello che sto facendo”.

“Puoi cambiare lo spessore della carta, e puoi anche cambiare gli angoli secondo i quali pieghi la carta”.

“Ah, ecco, vedo che posso fare nodi magrolini e nodi più pieni”.

“Sì. Puoi pensare di annodare una striscia sottile lasciando spazio intorno alle anse del nodo, oppure puoi pensare di stringere il nodo più che puoi. In questa simulazione, invece di stringere il nodo allarghiamo la striscia di carta”.

“Capisco: è la stessa cosa. Come se guardassimo il nodo con uno zoom regolabile, in modo da tenere costante la dimensione del nodo”.

“Proprio così. Ora, una domanda: qual è la figura più simmetrica che puoi ottenere?”.

“Fammi provare… Il foglio di carta si piega tre volte, devo cercare di fare in modo che i tre angoli siano uguali, uhm”.

“Gioca un po' con i parametri che puoi regolare”.

“Ah, ecco! Se impongo che i due angoli siano di 36 gradi, salta fuori una bella figura simmetrica”.

“Bene, ora allarga più che puoi lo spessore del foglio di carta”.

“Ok… Bello! Se allargo al massimo si vede che riesco a riempire un pentagono”.

“Un pentagono regolare, esatto”.

“Perché?”.

“Gli angoli con i quali hai giocato, e che ora misurano 36 gradi, sono gli angoli secondo i quali è stata piegata la carta. Se osservi bene la figura, noterai che il lato della striscia, prima di essere piegato, è parallelo a un lato del pentagono; dopo la piega, è ancora parallelo a un altro lato”.

“Ah, vedo: la striscia è parallela a un lato, si piega su un secondo lato, adiacente al primo, e dopo la piega è parallela al lato adiacente al secondo”.

“E questa è proprio una caratteristica del pentagono: gli angoli interni di un pentagono regolare misurano 108 gradi, e l'angolo formato da due lati non consecutivi è proprio di 36 gradi”.

“Davvero?”.

“Guarda questa figura”.

“Ah, ok, vedo”.

“Quindi se tu prendi una striscia di carta e l'annodi, in modo da non lasciare spazi vuoti intorno alle pieghe, la figura che ottieni è un pentagono regolare”.

“E questo, però, non è un vero nodo matematico”.

“No, perché i capi del nodo sono liberi, e puoi sempre scioglierlo. Però, se i capi sono molto lunghi, puoi continuare a piegarli intorno al pentagono con regolarità”.

“Uhm, in che modo?”.

“Un capo parallelo a un lato del pentagono, dopo la piega, sarà parallelo a un altro lato del pentagono: puoi continuare a piegare seguendo i lati. Ogni piega segue un lato, e puoi continuare finché hai carta”.

“In modo da fare un blocchetto pentagonale”.

“Esatto. Questo è quello che fanno in Giappone, per esempio, quando piegano le cinture”.

“Ehh?”.

“Guarda qua”.

Strisce

“Oh, cos'è?”.

“Mi sto divertendo a piegare fogli di carta”.

“Ah, fai degli origami?”.

“Mh, no, niente di complicato. Mi stavo chiedendo come funziona la piegatura di una strisciolina di carta”.

“Non ti basta semplicemente piegarla, vero?”.

“Eh eh, sì, mi basterebbe anche. Però, vedi, se cominci a piegarla più volte saltano fuori delle belle forme, e allora uno vorrebbe provare a capire cosa c'è sotto”.

“Capirai”.

“Non è facile vedere le cose in tre dimensioni, e questo è un bell'esercizio”.

“Ah, vedo. Quindi, cos'hai scoperto?”.

“Beh, per prima cosa una striscia di carta è definita dai suoi due bordi”.

“E fin qua ci siamo”.

“Poi, vedi che per piegare la striscia si deve effettuare una rotazione intorno alla piega”.

“Sì. Io faccio però fatica a capire cosa si può fare e cosa non si può fare, quando si piega della carta”.

“Cioè?”.

“Il problema è che la carta non è rigida, ma non è nemmeno gomma. Quindi ci sono movimenti che sono permessi, e movimenti che invece non sono permessi”.

“Esatto, puoi piegarla ma non puoi allungarla o accorciarla. Puoi fare rotazioni, ma le lunghezze dei segmenti devono rimanere invariate”.

“Sì, la teoria è abbastanza semplice. Il difficile qua è vedere quello che succede. Per esempio, di quanto risulta inclinata la striscia dopo la piega?”.

“Ah, ottima domanda. Come faresti per rispondere?”.

“Eh, qui sta il punto. Io prenderei in mano una striscia vera e proverei”.

“Ottimo inizio: c'è chi si diverte a fare geometria senza figure, ma noi non siamo tra questi”.

“Meno male. Però, dopo aver giocato con la carta, non saprei andare avanti”.

“Bisognerebbe riuscire a passare dalla figura tridimensionale a una figura bidimensionale, così le cose diventerebbero molto più semplici”.

“Ah, certo. Però, ora che ci penso, se faccio una piega completa arrivo a una figura bidimensionale…”.

“Vai avanti”.

“Il foglio iniziale è piano, no? Poi lo piego, e non rimango più su un piano. Ma se la piega compie una rotazione di 180 gradi…”.

“Ottimo, concludi”.

“Se la piega consiste in una rotazione di 180 gradi, il risultato finale è ancora un piano. Schiaccio il foglio su sé stesso.”.

“Giusto”.

“Ora dovrei capire come risulta la figura finale, però”.

“Hai già capito molto: hai detto che ruoti di 180 gradi intorno a un asse”.

“Sì”.

“E questo è come dire che stai facendo una simmetria assiale”.

“Mh, suppongo di sì, sì. A dir la verità, non mi risulta facile nemmeno vedere come funziona una simmetria di una retta rispetto a un'altra retta”.

“Beh, questo è molto semplice: l'angolo formato tra le due rette non cambia”.

“Ah, già, vedo. La retta blu viene trasformata nella retta rossa, vero? I due angoli formati dalle due rette con l'asse di simmetria non cambiano”.

“Sì. Naturalmente puoi anche dire che è la retta rossa che viene trasformata nella retta blu”.

“Giusto, certo. Posso piegare il foglio da sopra a sotto o da sotto a sopra, non importa”.

“Ok. Ora ti mostro l'applicazione di questa semplice regola a una striscia di carta”.

“Oh, quanti colori”.

“Sì, potevo fare ricorso a una maggiore sobrietà. Però così si distinguono tutte le parti”.

“Ok, vedo la striscia verticale”.

“Esatto”.

“Che poi viene piegata lungo la linea tratteggiata. Riconosco anche gli angoli uguali come mi hai fatto vedere prima, sono quelli verdi”.

“Molto bene”.

“Poi ci sono altri angoli, però”.

“Sì, qui ho fatto un passo avanti. Se la piega fosse perpendicolare ai bordi della striscia, si avrebbe una figura poco interessante: la striscia si ripiegherebbe completamente su sé stessa, e tanti saluti allo studio degli angoli”.

“Ok”.

“Allora la domanda è: se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, di un certo angolo…”.

“Quello evidenziato di rosso, giusto?”.

“Proprio quello. Se la piega è inclinata, rispetto all'orizzontale, dell'angolo colorato di rosso, di quanto risulta inclinata la striscia?”.

“Non è una risposta facile, mi pare”.

“Diventa facile se osservi una sola cosa: l'angolo rosso e l'angolo verde sono legati da una certa relazione”.

“Uhm. Vedo un triangolo che li contiene entrambi”.

“Esatto”.

“Ah! Un triangolo rettangolo! Quindi l'angolo rosso e quello verde sono complementari”.

“Giusto, e adesso tutti gli angoli segnati in figura dovrebbero essere evidenti”.

“Lo sono, sì. Hai tracciato, in grigio, la perpendicolare all'asse di simmetria, quindi ecco un altro angolo retto, ed ecco i due angoli complementari”.

“Ecco fatto, quindi”.

“Mi pare, allora, che l'angolo con cui la striscia viene deviata, per così dire, sia il doppio dell'angolo rosso”.

“Ed è così”.

“E adesso?”.

“Adesso facciamo un nodo”.