Inferno, canto XX

“Eccoci alla quarta bolgia di Malebolge, quella dove scontano la loro pena gli indovini. Che poi non scontano tecnicamente nulla, dato che la pena è eterna, tant'è che Dante chiama i dannati sommersi. Sono già sotto, e non torneranno più su”.

“Amen”.

“Ed ecco come se la passano questi poveracci”.

e vidi gente per lo vallon tondo
venir, tacendo e lagrimando, al passo
che fanno le letane in questo mondo.

“Camminano e piangono in silenzio. Che tristezza”.

“E non basta: la pena specifica per queste anime è quella di camminare con la testa completamente girata all'indietro. Le lacrime, osserva Dante, scendono quindi lungo la schiena arrivando a quella che i nostri amici di madre lingua inglese chiamano, con una perifrasi, la scollatura dell'idraulico, e che il nostro poeta indica semplicemente come lo fesso”.

“Ma benissimo. E qual è la colpa di questi dannati?”.

“Sono nientemeno che indovini”.

“L'hai detto, quindi sono ciarlatani?”.

“Eh, mica tanto, alcuni sono ciarlatani, ma altri sono astrologi”.

“Quindi ciarlatani”.

“No, no, allora la dottrina cristiana ammetteva l'esistenza degli influssi delle stelle. Quindi questi erano indovini veri, che predicevano il futuro”.

“E perché sarebbe una colpa?”.

“Perché la visione del futuro è consentita solo a Dio, e nessun uomo può prendere il posto di Dio”.

“Mah”.

“C'è anche sotto la dottrina del libero arbitrio: come puoi essere libero se già conosci il futuro? Su queste idee Dante insisterà più avanti, ma l'insegnamento della chiesa è chiaro: l'uomo è dotato di libero arbitrio, lui sceglie di compiere il bene o il male, lui ne è responsabile. Come può essere libero di scegliere se già conosce il futuro?”.

“Ok”.

“E quindi oggi parliamo di viaggi nel tempo”.

“Oh”.

“Quale migliore occasione degli indovini per parlare dei viaggi nel tempo? O, almeno, nel futuro?  Quello che sappiamo oggi è che i viaggi nel tempo non si possono fare. Se si potessero fare, ci sarebbero dei paradossi da risolvere, già analizzati in lungo e in largo da tutto il mondo della fantascienza, spesso con risultati molto interessanti, e a volte con buchi nella trama incolmabili. Un po' per colpa dei paradossi che vanno risolti in un qualche modo, un po' perché gestire i viaggi nel tempo è difficilissimo. Una sola citazione: la clessidra giratempo di Harry Potter”.

“Questo era un esempio di buco nella trama, vero?”.

“Purtroppo sì”.

“Però queste sono tutte opere di fantasia, non c'è niente di vero, quindi in un certo senso vale tutto”.

“Vero. Parliamo allora di scienza”.

“Oh, bene”.

“I fisici si dividono in due categorie: i teorici e gli sperimentali. I teorici sono matematici con idee strampalate su come funziona il mondo, gli sperimentali sono quelli che dicono ai teorici che si stanno inventando le cose”.

“Ehm”.

“Ok, lo dico meglio perché ho molti amici fisici”.

“EHM!”.

“Allora, il metodo scientifico funziona così: si formulano teorie e si prova a verificarle. Se l'osservazione mostra risultati diversi da quelli previsti dalla teoria, vuol dire che la teoria è sbagliata e si prova a costruirne un'altra”.

“E se i risultati coincidono?”.

“Diciamo bello! e proviamo a progettare altri esperimenti, ma non possiamo dire che la teoria sia giusta. Non potremo mai dire che una teoria è giusta, potremo solo falsificarla. Certo, i risultati che confermano la teoria sono entusiasmanti, ma i fisici sono contenti anche se arrivano risultati in contrasto con la teoria, così possono inventarsi qualcos'altro”.

“Non abusare della pazienza dei tuoi amici fisici”.

“Ma è così, i risultati degli esperimenti alimentano la teoria, e viceversa la teoria dà l'idea per fare nuovi esperimenti. È il bello della fisica, ed è proprio quello che manca nell'insegnamento della fisica a scuola”.

“Capirai”.

“Eh, a scuola servono laboratori, spazi, soldi per costruire entrambi”.

“Soldi che non arrivano”.

“No, e quindi la fisica diventa una serie di esercizi sempre più complicati di applicazione delle formule. Che non sono una cosa brutta, beninteso, i problemi teorici possono essere molto belli, ma se manca la parte sperimentale che fisica è? Che differenza c'è tra questa fisica e la matematica applicata?”.

“Giusto l'ambientazione dei problemi, temo”.

“Eh, e qualche formula in più da imparare. Ma torniamo ai viaggi nel tempo”.

“È meglio”.

“Tutto parte da Einstein”.

“Tante cose partono da Einstein, mi pare di capire”.

“Già. Ricordo ancora la prima lezione di teoria della relatività all'università, durante l'insegnamento di Fisica 1. Il prof comincia a raccontare un po' di cose, e arriva in fretta a dire che il tempo non è un assoluto e che è possibile che due orologi si muovano a velocità diverse. E io ero lì che ascoltavo a bocca aperta e mi chiedevo se stavo capendo bene perché questo signore stava dicendo cose evidentemente false”.

“Eh eh”.

“Poi, visto che insisteva su questo fatto della non sincronizzazione degli orologi, ho cominciato a dirmi ma allora è vero? E intanto lui stava parlando anche di righelli che possono cambiare lunghezza a seconda della velocità con cui si muovono e allora boom, si è aperto un mondo nuovo”.

“Che bello”.

“Bellissimo, sono quelle sensazioni che non ti dimentichi più”.

“E il prof si è messo a parlare di viaggi nel tempo?”.

“Non subito, ma dopo qualche lezione, studiando le equazioni che erano state ricavate nel frattempo, ha fatto notare il fatto che esse impedivano a qualunque corpo dotato di massa di raggiungere e superare la velocità della luce, ma non impedivano l'esistenza di particelle che si muovono a velocità superiori a quelle della luce, a cui le equazioni impedirebbero però di rallentare troppo. Come se il mondo fosse diviso in due parti che non possono comunicare tra loro: il mondo delle cose lente, il nostro, e il mondo delle cose veloci, dei tachioni”.

“Ed è subito Star Trek”.

“Ovviamente. E qui entra in gioco il metodo scientifico: dato che le equazioni non impediscono moti a velocità superiori a quelle della luce, siamo in grado di progettare esperimenti per osservare queste ipotetiche particelle? Siamo in grado di passare di là, in quel mondo? Io poi ho studiato matematica, e il programma non prevedeva lo studio della teoria della relatività generale, di cui ho sentito parlare solo anni dopo, durante un esame dell'ultimo anno, ma il fatto è che non è solo la velocità che permette di fare viaggiare il tempo in modo diverso e che permette alle lunghezze di contrarsi, ma c'è di mezzo anche la gravità”.

“Ed ecco Interstellar”.

“Esatto, per citare un solo esempio. Quindi i fisici si sono presi le equazioni di Einstein e si sono chiesti cosa succederebbe se? Esistono soluzioni che permettono i viaggi nel tempo? Possiamo vedere nel futuro, come gli indovini di Dante? E magari sperando nella clemenza di Dio, nel frattempo?”.

“E hanno avuto risposta, almeno per la prima parte?”.

“Risposte teoriche ne esistono, ma sono reali? Si possono verificare, almeno? Il fisico sperimentale riuscirà a costruire una vera macchina del tempo?”.

“Eh, cominciamo dall'inizio”.

“Allora, le risposte teoriche ci sono. Se accettiamo l'idea che la gravità curva lo spazio — e finora tutti gli esperimenti l'hanno confermato — e accettiamo l'idea che lunghezze e tempo sono misure locali, che possono cambiare a seconda della velocità dell'osservatore — e finora tutti gli esperimenti l'hanno confermato — allora è possibile curvare lo spazio così tanto da creare delle curve spaziotemporali chiuse. Questo dice la teoria, ma nessun esperimento ha mai verificato la cosa”.

“Cosa sono queste cose?”.

“Sono un modo matematico per dire che un oggetto, o una persona, può osservare il proprio orologio scorrere normalmente ma, nello stesso tempo, può compiere un percorso che ritorna alla condizione iniziale, cioè nella stessa posizione e nello stesso tempo dal quale la persona era partita”.

“Eh?”.

“Non so dirlo meglio. Fai un giro e torni all'inizio, dove per inizio si intende non solo la stessa posizione ma anche lo stesso istante”.

“Che roba. Ed è vero?”.

“Boh? Cosa è la verità?”.

“Dai”.

“Nessun esperimento l'ha confermato”.

“Ok”.

“Se fosse vero, ci sarebbero tutti i problemi dei paradossi temporali di cui si parla nella fantascienza. Posso tornare indietro e uccidere Hitler, cambiando la storia? Se potessi uccidere Hitler, la storia poi cambierebbe davvero? Posso uccidere mio nonno? Esisterò ancora dopo? Molti paradossi riguardano la morte, e questo ci dice tante cose”.

“Già”.

“Si possono fare anche paradossi meno cruenti, comunque. Eccone uno: se io lancio una palla da biliardo in una macchina del tempo che risputa fuori la stessa palla in modo tale che essa urti con la copia di sé stessa che sta ancora cercando di entrare nella macchina, deviandola, cosa succederà? Se avviene la deviazione, la palla non entrerà nella macchina, ma allora non potrà nemmeno uscirne, e quindi non ci sarà la deviazione, e allora la palla entrerà, ma quindi poi uscirà e produrrà la deviazione, ma allora…”.

“Ok, ok, ho capito”.

“L'ideale sarebbe questo: costruiamo una di queste macchine, poi proviamo a vedere cosa succede. E quindi i fisici hanno cominciato a progettarne una. Ma finora hanno trovato dei problemi insormontabili”.

“Tipo?”.

“Tipo il fatto che per piegare lo spazio così tanto da creare delle curve spaziotemporali chiuse servono delle masse molto, molto elevate. Infinite, qualunque cosa ciò significhi”.

“Cosa che non si può fare”.

“Si potrebbe fare con dei buchi neri”.

“Oh”.

“Già. L'idea, per realizzare l'esperimento, sarebbe quella di avere due automobili contenenti due buchi neri, una che viaggia velocissima rispetto all'altra: in quel caso si potrebbero realizzare quelle famose curve chiuse. L'alternativa sarebbe quella di usare delle masse negative, che appaiono ancora più esotiche”.

“Ma esistono?”.

“Boh, se si entra nel mondo della meccanica quantistica forse si potrebbe dare un significato all'idea di massa negativa, ma la risposta al momento è boh”.

“Quindi niente viaggi nel tempo”.

“Una possibilità reale esiste, invece, e che risolve anche i paradossi”.

“Davvero?”.

“Sì, ma con un prezzo che non so quanti siano disposti a pagare: si tratta di un viaggio di sola andata, nel futuro”.

“Già noi stessi stiamo tutti viaggiando nel futuro, dato che il tempo passa. Stai parlando di questo?”.

“No, sto parlando di una velocità maggiore. La teoria della relatività dice che se un corpo viaggia ad alta velocità, il suo tempo locale scorre più lentamente rispetto a un corpo che viaggia a velocità minore”.

“La tua prima lezione di fisica”.

“Esatto. Questo è un fatto verificato: hanno preso degli orologi atomici, li hanno sincronizzati, ne hanno tenuto uno a terra e hanno caricato l'altro su un aereo. Poi hanno fatto viaggiare l'aereo per un po' di tempo, e quando è tornato a terra hanno verificato che gli orologi non erano più sincronizzati”.

“Ah”.

“Gli effetti della teoria della relatività sono reali, sono misurabili, e bisogna tenerne conto nelle attuali applicazioni tecniche. C'è un esempio particolare che tutti conosciamo e che senza gli studi sulla relatività non funzionerebbe”.

“Quale?”.

“Il GPS”.

“Ma dai?”.

“Sì, la tecnica si basa sulla ricezione di un segnale orario spedito dai vari satelliti in orbita. L'orario deve essere precisissimo se vogliamo che il GPS non ci faccia sbagliare strada, dato che a volte basterebbero pochi metri. E allora bisogna tener conto di due aspetti: i satelliti viaggiano ad alta velocità, e quindi il loro tempo proprio viaggia più lento del nostro, ma si trovano lontani dalla terra, quindi risentono meno della gravità, e allora il loro tempo proprio viaggia più veloce del nostro”.

“Ma come, viaggia più lento o più veloce?”.

“Due aspetti diversi lottano tra loro, ma non si cancellano esattamente. Quindi bisogna tener conto di entrambi gli effetti per poterli bilanciare correttamente, in modo che gli orologi lassù e quelli quaggiù siano perfettamente sincronizzati. Senza la teoria della relatività generale ci perderemmo per strada”.

“Che roba. E quindi questa variazione della velocità degli orologi ci permette di viaggiare nel tempo?”.

“Sì, in questo modo. Noi saliamo su un'astronave, partiamo, ci facciamo un viaggetto di qualche settimana o qualche mese, e quando torniamo ci accorgiamo che sulla terra sono passati dei secoli”.

“Quanti?”.

“Dipende da quanto andiamo veloci. Più siamo veloci, più la differenza di tempo aumenta. Bisogna dire che oggi astronavi di questo tipo non esistono ancora, ma questa è una limitazione tecnica, non scientifica. Questo fenomeno, che in piccolo è verificato dall'esperimento degli orologi atomici di cui parlavamo prima, viene detto paradosso dei gemelli: il gemello che rimane sulla terrà sarà molto più vecchio del gemello che tornerà dal viaggetto in astronave. E così si potrà viaggiare nel futuro. Il gemello giovane scenderà dall'astronave e darà un'occhiata al futuro”.

“Ma non potrà tornare indietro”.

“No, non si torna. Non si potranno fare profezie”.

“Niente quarta bolgia”.

“E niente testa girata in stile esorcista”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — risonanza

“Il bimbetto dell'altra volta, quello che voleva essere spinto sull'altalena, dopo un po' si è scocciato e ha cominciato a giocare con la terra e il fango”.

“Ottimo”.

“A un certo punto è ora di andare a casa, verso la quale lo trasciniamo perché naturalmente lui vorrebbe stare ancora in mezzo alla terra fino a che non è tutta finita”.

“Benissimo”.

“E, necessariamente, deve farsi il bagno”.

“Oh, finalmente parliamo di vasche da bagno. O lo mettiamo sotto la doccia?”.

“Eh, questa volta vasca”.

“Ottimo”.

“Mentre la vasca si riempie il bimbo si prepara per entrare, raccattando tutti i giochi che gli sono necessari per questa importante attività”.

“Certamente”.

“Poi mette una mano dentro l'acqua, e sente che è troppo calda”.

“Aggiungiamone di fredda, allora”.

“Lo facciamo, ma dopo un po' il bimbo ancora si lamenta perché, con la sua manina, sente ancora caldo nella zona lontana dal rubinetto”.

“Mescolala un po', santo cielo”.

“Hai pronunciato le parole magiche, e il bimbetto si mette a mescolare. Mescolando mescolando, si accorge che riesce a produrre delle belle onde che attraversano la vasca in tutta la sua lunghezza”.

“Oh oh”.

“Queste onde accarezzano la sua mano, che si fa trasportare avanti e indietro, avanti e indietro…”.

“Ahi”.

“Il bimbo, naturalmente, non se ne sta fermo, e anche lui accarezza le onde, a ritmo”.

“Disastro!”.

“Improvvisamente, dopo un ultimo leggero colpetto della mano innocente, si alza uno tsunami che vuota mezza vasca e allaga il pavimento”.

“È successo anche a me da piccolo, coff coff”.

“Credo che sia successo a tutti. Una esperienza divertente, se non fosse per le conseguenze”.

“Ehm”.

“La dura vita dello scienziato: a volte sperimenti senza sapere come andrà a finire”.

“Povero bimbo”.

“Ma proviamo a capire cosa è successo: il bimbo non ha tanta forza da vuotare mezza vasca con una sola manata”.

“Certamente no”.

“E quindi?”.

“Eh, mi sa che ha spinto al momento giusto: questa volta è riuscito ad andare a tempo”.

“Esattamente. Anche questo è un oscillatore forzato smorzato, con una grossa differenza: la frequenza con cui la forza esterna agisce sull'acqua è quella giusta. La piccola quantità di energia che il bimbo fornisce all'acqua contribuisce sempre a aumentare l'ampiezza delle onde della vasca. E a forza di piccoli trasferimenti…”.

“… arriva l'onda anomala”.

“Esatto. Nel caso più semplice di tutti, cioè quello dell'oscillatore senza attriti, non ci sono perdite di energia, mentre tutta l'energia proveniente dall'esterno contribuisce soltanto ad aumentare l'ampiezza delle oscillazioni. Quella modulazione che avevi notato prima ora è in sincronia con le oscillazioni proprie del sistema, che teoricamente potrebbero aumentare di ampiezza all'infinito. Questo è il fenomeno della risonanza”.

“Uh, aumenta sempre di più”.

“Sì, dopo una fase transitoria iniziale, l'oscillazione si stabilizza in frequenza e aumenta sempre di più in ampiezza”.

“Ho capito. Però in realtà non esistono oscillatori senza attriti, no?”.

“In realtà un po' di dispersione c'è sempre, infatti. In questo caso non si verificherà una risonanza pura come quella di questo esempio, in cui l'ampiezza cresce infinitamente: quello che si osserva, e che ha osservato anche il bambino, è che se si verificano opportune condizioni l'ampiezza aumenta molto”.

“Quanto?”.

“Eh, non si può dire a priori: dipende da quanto è l'attrito e quanto è la frequenza propria del sistema. In ogni caso: quanto basta per allagare un bagno”.

“Già”.

“Qui sotto puoi giocare con un oscillatore. Hai tre parametri che puoi modificare:

• k rappresenta la forza di attrito: se lo poni uguale a zero, hai un oscillatore senza attriti,
• a è l'ampiezza della forza esterna: se lo poni uguale a zero hai un oscillatore non forzato,
• b rappresenta invece la frequenza della forza esterna: se trovi il valore giusto puoi fare le onde nella vasca da bagno.

Attento a non allagare”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni forzate

“Aggiungiamo alla nostra altalena uno che spinge”.

“Oh, bene”.

“Come sai, se non spingi l'altalena nel modo giusto non ti diverti”.

“Eh, sì. I bimbi piccoli chiedono sempre di essere spinti perché non sono capaci di tenere il tempo”.

“Tenere il tempo è proprio l'espressione giusta, infatti. Il fatto è che un'altalena, e più in generale un oscillatore, ha una sua frequenza di oscillazione”.

“In che senso?”.

“Nel senso che non puoi decidere tu il modo in cui oscilla”.

“Ma io posso decidere se andare più forte o più lentamente!”.

“Certo, ma non puoi decidere la durata di ogni oscillazione. Questo fenomeno si chiama isocronismo del pendolo, una scoperta fatta da Galileo”.

“Ah”.

“In realtà è una legge che vale se le oscillazioni sono abbastanza piccole, se sono troppo grandi non è più vera, ma se lasciamo perdere questo piccolo particolare possiamo dire che tutti gli oscillatori si comportano in questo modo: la frequenza delle oscillazioni non è legata alla loro ampiezza. Vale anche per le corde della chitarra, per esempio”.

“Uh?”.

“Ogni corda emette, oscillando, una nota. Se tu pizzichi la corda con più o meno forza, ottieni solo un cambiamento nel volume della nota, cioè nell'ampiezza dell'oscillazione. Ma la nota rimane sempre quella”.

“Ah, giusto. Ma quindi tu mi stai dicendo che se metto un bambino su un'altalena, oppure se ci salgo io, entrambi andiamo alla stessa velocità?”.

“Non velocità: frequenza. Entrambi battete il tempo allo stesso modo: se tu spingi più forte significa che vai più in alto, con maggiore velocità. Le due cose si compensano: sei più veloce ma devi fare più strada; del resto, gli orologi a pendolo si basano su questo principio.”.

“Pure!”.

“Pure loro, sì. Il pendolo batte sempre il tempo alla stessa frequenza, sia che oscilli molto sia che oscilli poco. In realtà lo si fa oscillare poco perché, come dicevamo prima, per i pendoli questa legge non è del tutto esatta. Se l'angolo di oscillazione cresce molto, non è più vera”.

“E quindi come si fa a regolare un orologio a pendolo?”.

“Si cambia la lunghezza: gli orologi a pendolo hanno un contrappeso in fondo che può essere spostato verso l'alto o verso il basso. In questo modo modifichi la posizione del baricentro e, sostanzialmente, ottieni un pendolo più o meno lungo. Le oscillazioni dipendono solo dalla lunghezza del pendolo”.

“Ah”.

“In realtà dipendono anche dal valore dell'accelerazione di gravità del pianeta su cui il pendolo oscilla, ma direi che possiamo pensare di stare con i piedi per terra”.

“Sono d'accordo”.

“Torniamo allora alla nostra altalena, spinta da qualcuno che non conosce la frequenza di oscillazione”.

“Ma nessuno conosce la frequenza di oscillazione delle altalene!”.

“Vero, ma appena ci sali sopra, o ti metti a spingerla, ti accorgi del modo giusto di farlo, se hai fatto un po' di pratica da bambino”.

“Ah, questo è vero”.

“Ecco, supponiamo che qualcuno che non ha mai visto un'altalena voglia spingerla con una certa frequenza decisa da lui, che non è quella giusta. Che succede?”.

“Boh? Immagino che chi spinge faccia molta fatica a farlo”.

“Sicuramente, perché si troverà spesso fuori sincrono con le oscillazioni, per cui a volte spinge mentre l'altalena va indietro”.

“Deve stare attento a non farsi del male”.

“Pensa a quello che fa un bambino piccolo le prime volte in cui sale su un'altalena: si siede e comincia a muovere all'impazzata le gambe avanti e indietro. Che succede all'altalena?”.

“Niente”.

“Bé, non proprio niente”.

“Sì, va bene, un pochino si muove”.

“Esatto: un pochino oscilla avanti e indietro, seguendo il moto dato dal bimbo, ma senza quelle belle oscillazioni che il bimbo vorrebbe”.

“Già”.

“E che succede se tu gli dai una spinta, all'inizio, e poi lo lasci andare?”.

“Eh, succede che l'altalena oscilla un pochino, e pian piano si smorza”.

“Bene, hai descritto perfettamente il comportamento di un oscillatore forzato e smorzato”.

“Forzato?”.

“Sì, con uno che spinge, insomma. C'è una forza esterna che imprime una oscillazione”.

“Ah. Ma non ho ben capito cosa ho descritto…”.

“Hai descritto questo: l'oscillatore ha una sua frequenza di oscillazione, che pian piano si smorza a causa dell'attrito. Quello che rimane è dovuto soltanto alla forza esterna, che oscilla a una frequenza che non è quella giusta e che, quindi, provoca soltanto piccoli movimenti”.

“Ma la forza esterna c'è anche all'inizio, quando l'oscillatore è ancora in grado di oscillare secondo la sua frequenza propria, no?”.

“Certo: i due tipi di oscillazione sono sempre presenti; all'inizio, però, prevale l'oscillazione propria (cioè prevale la grossa spinta che dai all'altalena in modo da fare divertire il bimbo che non è capace di spingersi), e in seguito prevale l'oscillazione forzata (cioè il bimbo che sgambetta e fa oscillare di poco l'altalena). Eccoti un disegno di esempio”.

“Ah, ecco, sembra una modulazione”.

“Lo è! L'oscillazione smorzata dell'altalena viene modulata dalle piccole oscillazioni impresse dal bimbo. Alla fine rimangono solo quelle e il bimbo si scoccia”.

“Bello. Questo comportamento si verifica anche nel caso dell'altalena arrugginita?”.

“Quello della modulazione? Sì. Naturalmente nel caso dell'altalena arrugginita non c'è nemmeno una qualche oscillazione iniziale e quindi il bimbo si scoccia subito”.

“E quand'è che insegniamo al bimbo ad andare in altalena?”.

“La prossima volta”.

“Con anche la vasca da bagno?”.

“Con anche la vasca da bagno”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — oscillazioni

“Parliamo di altalene meno arrugginite, oggi?”.

“Sì. Tutto è come prima, ma c'è meno attrito. Tu sali sull'altalena, ti lasci andare, man mano che scendi vieni sottoposto a una forza sempre più piccola, come succedeva prima, con una importante differenza”.

“La forza è sempre più piccola, ma non troppo piccola”.

“Esatto. La forza ti permette di arrivare in un tempo finito alla posizione più bassa dell'altalena, e con ancora abbastanza velocità da poter salire dall'altra parte”.

“Un po' meno in alto rispetto alla quota dalla quale ero partito, però”.

“Esatto, perché l'attrito ti fa perdere un po' di energia. Però, dato che riesci a risalire dall'altra parte, poi puoi tornare indietro, e di nuovo passi dalla posizione più bassa con ancora abbastanza velocità da poter risalire dall'altra parte”.

“E così via”.

“E così via. E questo, in matematica, significa che oscillerai per sempre, con ampiezza sempre più piccola”.

“Ma in pratica dopo un po' mi fermerò, no?”.

“Sì, nel mondo fisico a un certo punto non apprezzi più nessuna oscillazione, mentre dal punto di vista matematico puoi pensare a oscillazioni di ampiezza sempre più piccola, ma non nulla”.

“Ok”.

“Ti faccio vedere il grafico anche di questo secondo caso, eccolo”.

“Bello, oscillazioni sempre più piccole”.

“Questo viene detto moto oscillatorio smorzato, o sottosmorzato”.

“Perché è smorzato troppo poco, giusto? Mentre l'altalena arrugginita era sovrasmorzata”.

“Esatto”.

“E il terzo caso, quindi? Sarebbe una via di mezzo tra il moto sottosmorzato e quello sovrasmorzato?”.

“Proprio così, lo smorzamento del caso rimanente si chiama smorzamento critico. Sarebbe quello di un'altalena che ha la giusta quantità di attrito per non farti oltrepassare lo zero, ma non di più. Non ti frena troppo, ma neanche troppo poco”.

“Mi frena il giusto, insomma”.

“Sì, ti fa arrivare in fretta alla posizione più bassa, ma non troppo in fretta. Mh, in realtà non sono stato preciso: anche in questo caso alla posizione di riposo ci arrivi in un tempo infinito, però scendi più velocemente rispetto a quello che facevi prima. Ma se scendessi con una velocità ancora superiore, anche se di pochissimo, passeresti dall'altra parte e cominceresti a oscillare. Ecco il disegno”.

“Mi sembra uguale al primo caso”.

“No, in realtà questo moto scende più velocemente. Guarda, te li sovrappongo sulla stessa figura”.

“Ah, ecco, ora è chiaro”.

“Il mio prof di fisica diceva che, quando devi tarare gli ammortizzatori di un'automobile, devi cercare lo smorzamento critico. Se le molle sono troppo dure, sei nel caso sovrasmorzato e l'auto si adatta male alle buche, e chi è a bordo sente troppi contraccolpi. Viceversa, nel caso sottosmorzato l'auto comincia a oscillare e a chi è a bordo viene il mal di mare”.

“Bello, ho capito. Mi manca un'ultima cosa, però”.

“Cosa?”.

“La vasca da bagno”.

“Porta pazienza”.

Di altalene, molle e vasche da bagno — attriti

“Vasche da bagno?”.

“E altalene, e molle”.

“E cosa c'entrano con la matematica?”.

“A parte il fatto che, volendo, tutto c'entra con la matematica, in questo caso parliamo di un fenomeno preciso: le oscillazioni”.

“Quindi parliamo di fisica”.

“Eh, dipende dal punto di vista: la matematica fa da modello per i fenomeni fisici, oppure è l'alfabeto nel quale Dio ha fcritto l'univerfo?”.

“…”.

“Ma non addentriamoci in queste questioni filosofiche”.

“Ecco, meglio”.

“Parliamo di equazioni matematiche che vengono usate in fisica per studiare le oscillazioni, e lo facciamo ponendo l'accento sulla parte matematica, senza però tralasciare riferimenti alla vita quotidiana”.

“Come la vasca da bagno”.

“Esatto”.

“Cosa c'entra, poi, la vasca da bagno?”.

“Vedrai, vedrai. Ma partiamo dall'inizio: in fisica esistono fenomeni oscillatori di tanti tipi, da quelli generati dai circuiti elettrici che vengono usati, tanto per fare un esempio, in tutti i nostri dispositivi wi-fi alle oscillazioni prodotte da una massa collegata a una molla, o quelle di un pendolo, o di un'altalena”.

“Ok”.

“E il bello è che le equazioni che descrivono questi fenomeni sono sempre le stesse: cambiano certamente le grandezze in gioco e le unità di misura, ma la forma dell'equazione è quella. Che siano elettroni che si muovono lungo un conduttore, o masse sottoposte alla forza di gravità, o a forze elastiche, si ha sempre a che fare con lo stesso tipo di equazione”.

“Che sarebbe?”.

“Eh, purtroppo è un'equazione complicata: i Veri Matematici la chiamano equazione differenziale”.

“Roba di cui non ho assolutamente idea”.

“E che non cerco di spiegarti adesso: servono troppe conoscenze matematiche per farti vedere come si può risolvere. Posso però cercare di darti un'idea intuitiva”.

“Proviamo”.

“In questo tipo di equazioni l'incognita non è un numero, ma una funzione”.

“Uhm”.

“La funzione che ti dà la posizione, istante per istante, del pendolo, o dell'altalena, o della massa attaccata alla molla, o della quantità di carica elettrica che attraversa un filo conduttore”.

“Ah”.

“Inoltre, questo tipo di equazioni contiene informazioni sul modo in cui varia la funzione incognita, e questo è il difficile”.

“Infatti non ho capito niente”.

“Pensa a una molla fissata in terra, e a te che ci sali sopra”.

“Bene, come un tappeto elastico”.

“Esattamente. L'incognita è la posizione dell'estremo della molla che si muove”.

“Quello attaccato a me, insomma?”.

“Esatto”.

“E perché è una funzione?”.

“Perché la posizione non è fissa, ma dipende dal tempo”.

“Ah, ok”.

“Ora pensa a quello che succede: se tu sali sulla molla, questa si comprime”.

“Giusto”.

“Ma comprimendosi esercita una forza verso l'alto, cioè verso di te”.

“Anche questo è vero”.

“E allora l'effetto della tua salita sulla molla sarà un po' mitigato da questa forza contraria”.

“Giusto”.

“E quindi la tua azione di compressione sarà meno efficace, e la molla farà sempre più fatica a accorciarsi”.

“Sì, è così, infatti non la posso comprimere all'infinito, a un certo punto mi bilancerà”.

“Benissimo. Il fatto interessante è che questa azione di bilanciamento non si manifesta all'improvviso: man mano che comprimi la molla senti una forza contraria sempre più grande che ti impedisce di comprimerla con la stessa intensità. Insomma, la velocità con cui la molla si comprime varia nel tempo, fino a che non si arriva alla massima compressione. Anzi, può succedere che tu venga poi spinto via, cioè verso l'alto”.

“Come succede effettivamente nei tappeti elastici”.

“Certo. L'equazione che descrive questo comportamento tiene conto di tutto: cioè tiene conto della tua posizione e del fatto che più comprimi, maggiore è la forza esercitata dalla molla su di te. Forza che a sua volta produce una variazione nella tua velocità”.

“Uh, complicato”.

“Eh, sì. Si dice che un'equazione differenziale dà una descrizione locale di un fenomeno”.

“Locale?”.

“Locale in senso matematico, cioè in questo caso circoscritta a un istante di tempo. In sostanza ti dice: guarda che adesso le leggi che governano il tuo moto sono queste, ma tra un po' saranno diverse perché la molla non sarà più nella stessa posizione e quindi eserciterà una forza diversa su di te”.

“Una roba del tipo adesso la molla spinge poco, tra un po' spingerà di più, e così via?”.

“Più o meno… Quello che ti dice l'equazione è ciò che succede istante per istante, quello che devi fare tu per risolverla è ricostruire il comportamento globale. È come se tu fossi all'interno di un'automobile con i vetri oscurati, assieme a un navigatore che ti dice, istante per istante, che strada devi prendere. Tu, oltre a fidarti delle indicazioni, devi ricostruire il percorso”.

“Ah, bello, così ho quasi capito”.

“Bene, mi fa piacere. Allora, risolvendo l'equazione si possono verificare tre casi, che adesso provo a descriverti”.

“Vai”.

“Il primo caso è quello senza oscillazioni”.

“Ma come?”.

“Eh, ricordi che ti ho parlato di altalene?”.

“Certo, quelle oscillano”.

“Non sempre: immaginati un'altalena molto arrugginita”.

“…”.

“Dico sul serio: immagina che ci sia una grande forza di attrito. Puoi immaginarti un'altalena arrugginita, oppure una molla che fa strisciare un corpo molto rugoso e pesante sul pavimento”.

“Uhm”.

“A fatica sollevi il seggiolino dell'altalena, ti ci siedi sopra, e ti lasci andare. Con un grande cigolio di cardini pian piano scendi verso il basso, ma sempre più lentamente”.

“Prima o poi arrivo in fondo”.

“Dal punto di vista fisico, in una situazione reale, prima o poi ci arrivi. Nel nostro modello matematico la tua velocità diminuisce sempre di più man mano che scendi, in modo tale che ti ci vorrebbe un tempo infinito per arrivare in basso”.

“Ah”.

“Ora provo a farti vedere un disegno: sull'asse orizzontale metto il tempo, sull'asse verticale invece metto l'angolo che l'altalena forma con una immaginaria retta verticale che rappresenta la condizione di riposo”.

“Uh, tutto qua?”.

“Eh, sì, un'altalena arrugginita non è tanto divertente”.

“Cosa rappresentano i numeri sugli assi?”.

“Niente di speciale, immagina delle unità di misura arbitrarie, scelte per comodità. Quello che conta è che la posizione dell'altalena si avvicina molto lentamente allo zero”.

“E più si avvicina, più è lenta, giusto?”.

“Esatto, è proprio così, questo è quello che dice l'equazione differenziale. Più sei vicino alla posizione verticale, più sei lento negli spostamenti”.

“Ho capito. Ma questo è uno solo dei tre casi, vero?”.

“Sì, è quello che viene detto moto aperiodico smorzato, o sovrasmorzato”.

“In pratica, c'è troppo attrito, niente oscillazioni”.

“Esatto”.

“E gli altri due casi?”.

“Li vediamo la prossima volta”.

Scienziaggini

Mix, allonimo di Cristiano Micucci, non lo conoscevo mica prima di iniziare a frequentare l'ex socialino dell'odio (che dopo la chiusura è rinato e ogni giorno ha qualcosa di nuovo e tu lo guardi crescere come se fosse un bambino, poi ti rendi conto di stare per cadere nel ridicolo e allora smetti, ma non per molto).

Dicevo, Mix non lo conoscevo, e quando ho saputo che sarebbe uscito un suo elettrolibro per i tipi di 40k mi sono detto: ma pensa, non sapevo che fosse un matematico.

E infatti non lo è.

In realtà a Mix piace scrivere, e in questo libro lo fa parlando di cose di scienza, ma non come lo farebbe un Vero Scienziato. Lo fa in modo umoristico, che quando leggi ti sembra che sia una cosa seria e poi, zac, ti trovi in un altro universo in cui è possibile viaggiare nel tempo (ma solo in modalità base base), in cui abbiamo avuto un primo contatto con una specie extraterrestre, in cui la siepe di cui Leopardi parla nella sua L'infinito è… beh, oh, non posso mica dire tutto sennò spoilero troppo.

Bene, il titolo del libro è Scienziaggini, lo potete trovare su amazon o bookrepublic, costa 1.99 euro. Leggetelo, ha anche una prestigiosa prefazione scritta da un Vero Scienziato.

Particelle familiari

Recensione breve: ho letto il libro Particelle familiari di Marco Delmastro e mi è piaciuto, leggetelo.

Recensione lunga: Marco Delmastro è un fisico che lavora a ATLAS, uno degli esperimenti del CERN che ha osservato il (un?) bosone di Higgs. In questo libro racconta cosa fa un fisico sperimentale, come fa a osservare particelle così piccole e elusive che anche solo il termine "osservare" assume significati nuovi.

Il libro è dedicato a chi non sa niente di fisica e vorrebbe saperne qualcosa di più, vorrebbe capire: non contiene formule, non contiene figure, non contiene spiegoni complicati. Le figure, però, Marco le mette sul suo blog, assieme a spiegazione più dettagliate per i più curiosi (con anche qualche formula, sì). Più che una relazione scientifica (cosa che non vuole essere), è un racconto, che parla della famiglia e degli amici di Marco, cioè gente normale (nel senso positivo del termine, se esiste, e se non esiste ho sbagliato termine) che cerca di capire cose speciali. Speciali e stranissime come quelle descritte dalla meccanica quantistica, per la quale onde e particelle sono un po' la stessa cosa e tu, ogni volta che leggi questa cosa, continui a chiederti ma come è possibile, ma cosa vorrà poi dire davvero questa cosa qui?

E a te piacciono tanto, le domande di questo tipo, che vorresti sapere tutto, e vorresti anche che LHC, l'acceleratore di particelle che spacca tutto, non fosse mai spento, e vorresti che ne accendessero uno ancora più grande, e che le scoperte eccezionali venissero annunciate più spesso. Poi ti dici che non sarebbero più eccezionali, e quindi pazienza. E allora arrivi alla fine del libro, spinto da questo desiderio di conoscenza, e ti trovi un capitolo finale che si intitola A che cosa serve? e che ti spiega qual è il senso della ricerca fondamentale. Che assomiglia un po' al senso della ricerca in matematica (che, in effetti, matematica e fisica teorica non sono mica tanto diverse, poi i matematici vincono perché non hanno bisogno di verificare nessuna teoria, e il metodo scientifico lo lasciano ai fisici, appunto, che costruiscono macchine gigantesche e meravigliose per capire se le cose sono proprio così come pensavano oppure no, mentre i matematici li stanno a guardare sogghignando con aria di giusta superiorità). Assomiglia anche alle domande che ti fanno gli studenti, quando dicono prof ma a cosa ci serve questa roba nella vita di tutti i giorni? E, poi, qua non ti sbagli, passano le generazioni ma ti fanno sempre quell'esempio, non lo cambiano mai, ti chiedono a cosa serve il quadrato di binomio quando vai a fare la spesa, e tu tiri un sospiro e cominci la tua predica.

E ti fermeresti anche qua, in questa recensione un po' strana, ma poi è successo che prima che tu finissi di leggere il libro è arrivato Peppe che ha scritto pure lui una recensione, che ti ha stupito nella sua parte finale, perché in quel momento non la capivi del tutto. Poi hai finito anche tu il libro, e sarà magari per la tua particolare e strana situazione personale in cui ti trovi in questo momento, sarà l'anzianità che ormai si fa avanti e ti rende sensibile a cose che prima non ti facevano né caldo né freddo, sarà il caldo, sarà Ulisse, fatto sta che la parte più bella ti è sembrata proprio la fine, quella delle navi volanti che arrivano fino alle stelle, del respiro profondo e del sorriso, che prima o poi arriverà, sicuro.

Se non si è capito, pazienza, leggete il libro. Costa 13 euro e 60, da Amazon.

Il senso di Newton per le cose piccole (e in movimento)

Newton era uno di quelli che ha sviluppato le basi dell'analisi matematica senza utilizzare il calcolo dei limiti (e per questo andrebbe venerato da tutti gli studenti di matematica) — l'altro era Leibniz. Questi due signori giocavano in modo non tanto rigoroso con gli infinitesimi e gli infiniti, procurandosi anche qualche critica da parte di alcuni colleghi. Eppure le cose funzionavano, e anche bene.

Per esempio, dice Newton, prendiamo il Sole e un pianeta che gli orbita intorno: la Terra, se volete. E facciamo subito un disegnino. Ah, prima che mi dimentichi, sapete tutti che due triangoli che hanno la stessa base e la stessa altezza hanno anche la stessa area, vero?

Mh, no, l'avevamo soltanto accennato alle elementari, risponde uno studente casuale che passava di lì. Vabbé, adesso lo sai, risponde Newton fulminandolo con lo sguardo.

E, dato che conosce i suoi polli, Newton fa anche un disegno:

Ecco, siamo d'accordo? Il triangolo rosso e quello blu hanno la stessa area, giusto? Bé, no, dice lo studente che si è svegliato in quel momento, è evidente che quello blu è più grande.

Ma no! urla Newton, lanciandogli una copia degli Elementi di Euclide dritta sul naso, a occhio forse vedi che il perimetro del triangolo blu è maggiore, ma a scuola hai anche dimostrato che questi due triangoli hanno la stessa area! E senza tirare fuori le dimostrazioni di Euclide, ti ricorderai almeno come si calcola l'area di un triangolo, vero?

Ehm, certo, sì, base per altezza…

…

Ehm.

Diviso due!

Diviso due, stavo per dirlo!

Bene. Quindi se due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza, siamo d'accordo sul fatto che hanno la stessa area?

Eh, sì.

Stabilita questa importante verità matematica, Newton procede nel suo ragionamento, disegnando il Sole e la Terra. Poi continua dicendo ecco, vedete, noi dobbiamo immaginare che il Sole non eserciti in continuazione la sua forza attrattiva. Immaginiamo per un momento che il Sole agisca per impulsi.

Impulsi? Domanda il pubblico.

Sì, ogni tanto il Sole dà uno strattone alla Terra, zacchete, poi per un po' di tempo è come se non ci fosse, poi un nuovo strattone, e così via.

Ah, va bene, ma ogni quanto? Perché non è mica così che funziona, gli domandano.

Ogni poco, fate finta che il tempo tra un impulso e l'altro sia infinitesimo.

E cosa vuol dire? Cosa sono mai questi infinitesimi? Sono quantità reali? Sono zeri?

Senta, lei, signor vescovo, con tutto il rispetto, la battuta sui fantasmi di quantità defunte l'ha già fatta, mi lasci lavorare che le cose funzionano bene anche se la matematica che lei ha in mente non si è ancora adattata. Allora, guardate un po' questa figura: qui abbiamo la Terra che si muove per un po' di moto rettilineo uniforme, dato che su di essa non agiscono forze.

Dopo che ha percorso un po' di strada…

Un tratto infinitesimo, ah!

Sì, è così, un tratto infinitesimo, e la smetta di intervenire, sa? Dopo questo tratto il Sole manda il suo impulso, che disegno qua in rosso. Senza questo impulso la Terra proseguirebbe ancora di moto rettilineo uniforme, ma l'impulso fa deviare la traiettoria, che rappresento in questo modo. Ecco, vedete? La Terra finirebbe qui, dove la disegno in azzurro chiaro, ma la presenza della forza attrattiva la fa finire qui, dove disegno la freccia rossa.

E adesso? Domanda il pubblico.

E adesso vi disegno un po' di triangoli. Vedete questi due triangoli blu? Hanno la base uguale, formata dai due vettori blu, e la stessa altezza. Uhm, vedo dall'espressione spenta dello studente là nell'ultimo banco che non ha mica capito. Aspetta che disegno anche l'altezza comune. Si capisce, adesso?

Lo studente annuisce silenzioso, e Newton continua: bene, abbiamo quindi due triangoli con la stessa area. State attenti adesso, eh? Ora tengo in evidenza uno di questi due triangoli, quello più in alto, e ne disegno un altro, in arancione. Guardate bene: anche questi due triangoli hanno la stessa base e la stessa altezza. A beneficio del nostro studente che si è addormentato di nuovo disegno anche qui l'altezza (povero me): ecco fatto, questi due segmenti verdi sono uguali, e sono le due altezze dei triangoli.

Il triangolo arancione ha dunque la stessa area del triangolo blu. Riassumendo il tutto in questa nuova figura, possiamo dire che il triangolo blu inferiore e quello arancione hanno la stessa area:

Da cui possiamo dedurre la legge nota come seconda legge di Keplero: il segmento che unisce il centro del Sole con il centro della Terra (o di qualunque altra coppia di corpi celesti) descrive aree uguali in tempi uguali.

Perché, come potete ben immaginare, se noi ripetiamo questo procedimento per infiniti istanti di tempo infinitesimi, riusciamo a ricostruire tutta l'orbita del pianeta.

Argh!

Portate i sali al vescovo, mi sembra che sia svenuto.

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Mi perdonino Newton e il vescovo Berkeley. Tutto questo post nasce dall'aver trovato un'animazione fatta da un mai abbastanza lodato wikipediano, LucasVB, che ho già citato in passato. Eccola qua, una bella dimostrazione senza parole.

Sensori in tasca

Come accade ormai da alcuni anni, ho accompagnato una delle mie classi in visita di istruzione a Mirabilandia. Non ridete, ha davvero una parte istruttiva niente male.

Quest'anno la classe con cui ero io ha seguito il percorso matematico, applicando lo studio dell'ellisse alla ruota panoramica (con un po' di dispiacere da parte degli studenti, dato che la ruota non è che sia questa gran attrazione. Poco male, comunque, dato che i ragazzi hanno avuto tutto il tempo, sia prima che dopo la lezione, per divertirsi su tutte le attrazioni da giovani che volevano).

Bene, durante l'attività ho scoperto che a partire da quest'anno Mirabilandia offre anche un percorso di fisica utilizzando, come strumento di misura, il cellulare. Quindi ho subito installato l'app necessaria sul mio telefono e mi sono divertito a fare un po' di misure.

Ecco, ad esempio, il grafico della pressione in funzione del tempo, misurata da una cabina della ruota.

Una sinusoide niente male… Dice l'internet che una variazione di pressione 10 hPa corrisponde a una variazione di altitudine di 80 metri. In effetti i dati reali riportano, per la ruota, un diametro di circa 90 metri.

Mi sono divertito anche a misurare le accelerazioni su attrazioni un po' più movimentate (anche se quelle davvero movimentate non le ho fatte, temo per il mio stomaco). Ecco, ad esempio, il Divertical:

Questi non sono i dati grezzi: ho calcolato il modulo del vettore accelerazione a partire dai dati lungo tre direzioni ortogonali, e li ho integrati un po' con una media trascinata. Sull'asse verticale c'è l'accelerazione, e l'unità corrisponde a un g.

Una botta più secca (e successiva lavata) la si ha sul Niagara:

Qui probabilmente ci sono pochi dati sull'asse dei tempi, le oscillazioni che si vedono sono dovute anche alla troppa discretizzazione. La prossima volta provo a aumentare un po' la velocità di raccolta dei dati.

Se siete ardimentosi e avete fatto misure sul Katun o sull'Ispeed, sarei curioso di vederle…

Sui pregiudizi concettuali, ovvero Newton che si ribalta nella tomba

«E, dunque, dato che l'ellisse, la parabola e l'iperbole si ottengono tutte sezionando un cono in vari modi, queste curve vengono dette coniche».

«Ma, prof, di fronte a un grafico che ne mostra solo una parte è difficile distinguerle, vero?».

«Eh, sì, si assomigliano molto. Per esempio, vi ricorderete dalla fisica che avete studiato al biennio che se prendete un sasso e lo lanciate, cadrà lungo una traiettoria parabolica^{[citation needed]}».

«Uhm, può darsi».

«Ma sì, dai, una componente ha moto uniforme, l'altra moto uniformemente accelerato, la curva è una parabola, avrete pure calcolato la gittata, cose così».

«Ah, sì, è vero».

«Ecco, in realtà non è così. Se io faccio un disegnino non in scala, ecco… questa è la terra, questo è il sasso che cade da una torre altissima, la traiettoria in realtà è ellittica».

«Ah, ma allora abbiamo imparato cose sbagliate?».

«Ma no, in un mondo piatto in cui l'accelerazione di gravità è costante, la traiettoria è davvero parabolica. Se non lanciamo un sasso da un'altezza incredibile, ma ci limitiamo a quote normali, non riusciamo a distinguere la parabola dall'ellisse: si assomigliano molto. Se invece lanciamo il sasso da molto in alto e molto lontano potrebbe anche entrare in orbita, ad esempio».

«Uhm».

«Naturalmente se trascuriamo tutto ciò che possiamo, cioè se non consideriamo l'aria, ci mettiamo in una situazione ideale, eccetera. In teoria potremmo lanciare il sasso, girarci indietro, aspettare un po' e riprenderlo al volo. Il sasso è diventato un satellite. Per renderlo geostazionario, come i satelliti che usiamo per le trasmissioni televisive, dobbiamo invece portarlo molto distante dal centro della terra. Sapete come funzionano i satelliti geostazionari?».

«Sono fermi».

«Bé, diciamo che sono fermi rispetto a un osservatore che si trova sulla terra, in realtà ruotano insieme alla terra».

«No, no, prof, io volevo dire che sono proprio fermi».

«Ma no! Scusa, come fanno a stare fermi?».

«Eh, sono lontani, dove non c'è gravità, stanno fermi».

«…».

«Prof, perché mi puntina?^[1] Cosa ho detto?».

«Ma i satelliti non sono fermi! Se fossero fermi cadrebbero, no?».

«No, prof, non cadono perché non c'è gravità».

«Ma come fa a non esserci gravità?».

«Eh, oh, non c'è aria, non c'è gravità, scusi».

«NOAOAOAO».

«No?».

«Proprio no! Secondo te per mettere un satellite in orbita si spara un missile in verticale, si arriva alla posizione giusta, ci si ferma, si molla lì il satellite e si torna indietro?».

«Certo, c'è un altro modo?».



Ecco.

Breve storia del Nobel per la chimica 2011 in quattro punti, con una meravigliosa dimostrazione senza parole animata

Punto 1.

Intorno alla metà degli anni '70 Roger Penrose, matematico/fisico/filosofo inglese, scoprì come creare un mosaico aperiodico, cioè una tassellatura del piano che non si ripete mai. Per essere ancora più precisi: comunque la trasliamo, non riusciremo mai a sovrapporla all'originale.

L'esistenza di tassellature non periodiche del piano era nota dal 1964. Il logico cinese-americano Hao Wang (nato in cina e cittadino americano) aveva notato una connessione tra l'Entscheidungsproblem e le tassellature del piano, e formulò il seguente problema: dato un insieme di tessere quadrate, con i bordi colorati in un certo modo, è sempre possibile ricoprire tutto il piano in modo tale che siano rispettate le regole del domino, cioè che i bordi adiacenti abbiano lo stesso colore? Il problema è oggi noto come Domino problem (suppongo che in italiano sia problema del domino, anche se wikipedia non ha ancora una voce a riguardo).

Se questo problema fosse risultato indecidibile, scoprì Wang, allora sarebbe dovuto esistere un insieme di tessere quadrate in grado di ricoprire in modo aperiodico il piano. Data la stranezza della cosa, Wang congetturò che tutto ciò fosse impossibile.

Nella sua tesi del 1964 uno studente di Wang, Robert Berger, dimostrò che il problema del domino era davvero indecidibile, e riuscì a costruire un insieme di tessere in grado di ricoprire il piano proprio nel modo che Wang riteneva impossibile. L'insieme era composto da 20426 tessere.

Il numero venne poi ridotto a 104 e, nel 1968, Knuth lo ridusse ulteriormente a 92. Nel 1971 Raphael Robinson, matematico americano, lo ridusse a 6.

Nel 1974 Penrose propose un diverso insieme di tessere aventi la stessa proprietà: prendendo ispirazione da Keplero (che aveva tassellato il piano utilizzando pentagoni, pentragrammi, decagoni e compagnia varia), fornì un insieme di 6 tessere basate sul pentagono regolare.

Successivamente, Penrose ridusse l'insieme a sole 2 tessere. Anzi, trovò due insiemi diversi, ma strettamente legati tra loro, ciascuno composto da 2 sole tessere.

Tutto ciò è magistralmente riassunto in un filmato, realizzato da Maurizio Paolini e Alessandro Musesti presso il dipartimento di matematica e fisica dell'Università Cattolica del Sacro Cuore di Brescia.

È bellissimo, è stato fatto utilizzato esclusivamente software libero, e se andate sul loro sito ci sono pure i sorgenti.

Mettetelo a tutto schermo, in alta definizione, e guardatelo:

Punto 2.

Nel 1982 Alan Mackay, chimico cristallografo inglese, giocò con la tassellatura di Penrose. Immaginò di mettere degli atomi in ogni sua intersezione, costruì un modello in cui ogni atomo era un cerchietto opaco, illuminò il tutto e ottenne una figura di diffrazione a simmetria decagonale. Bella roba, si disse, chissà se questi cristalli esistono davvero?

Punto 3.

Nel 1982 Dan Schechtman, fisico israeliano, giocando col suo microscopio elettronico, scoprì una figura che apparentemente violava le leggi fisiche: una figura di diffrazione a simmetria decagonale. Eyn chaya kazo, disse tra sé e sé. Che non vuol dire quello che pensate, ma una creatura del genere non può esistere. 

Punto 4.

Nel 1984 Paul Steinhardt, fisico americano, e Dov Levine, di cui non si trova traccia nemmeno su wikipedia (!), fecero uno più uno, collegando la teoria di Mackay con la pratica di Schechtman, riuscendo a spiegare la struttura dei cristalli di Schechtman con le tassellature aperiodiche del piano di Penrose.

Nel 2011 Schechtman ottenne il premio Nobel per la chimica per la scoperta dei cosiddetti quasicristalli.

Come funziona il gps (in teoria)

«La teoria della relatività generale, addirittura?».

«Eh, sì. Partiamo dall'inizio: in orbita intorno alla terra ci sono tanti satelliti che, in sostanza, sono degli orologi molto precisi».

«Oltre a essere dei trasmettitori, immagino».

«Certo, ogni satellite trasmette a terra un codice che lo identifica, l'ora in cui il segnale è stato trasmesso, e le sue effemeridi».

«Effemeridi?».

«Sì, dice a tutti chi è e dove si trova in ogni istante: ciao, sono il satellite Marvin, se non mi colpisce un meteorite mi trovo su questa orbita con questi parametri, che noia».

«Ehm».

«Poi trasmette anche altre informazioni, perché il mondo non è perfetto, la ionosfera fa un po' quello che vuole… ma non complichiamo».

«Forse è meglio; allora, noi a terra col nostro ricevitore gps riceviamo tutte queste informazioni. Poi come facciamo a capire dove ci troviamo? Dobbiamo comunicare col satellite?».

«Impossibile, non abbiamo abbastanza potenza, e non abbiamo l'antenna giusta. Il nostro ricevitore deve cavarsela con quello che riceve».

«E come fa?».

«Prima di tutto, deve conoscere l'ora esatta».

«Vabbé, questo non è difficile».

«Poi ne parliamo, per adesso supponiamo che sia facile. Conoscendo l'ora esatta, il ricevitore può calcolare la distanza dal satellite: il segnale trasmesso viaggia alla velocità della luce, sappiamo quando è stato inviato, sappiamo che ore sono quando lo riceviamo, calcoliamo il tempo impiegato dal segnale per arrivare fino a noi, e da lì ricaviamo la distanza».

«Cosa ce ne facciamo della distanza dal satellite?».

«Ci permette di stabilire una cosa: la nostra posizione si trova sulla superficie di una sfera centrata sul satellite e di raggio uguale alla distanza appena calcolata».

«Una informazione un po' vaga, no?».

«Infatti. Prendiamo allora un secondo satellite, e rifacciamo i calcoli con i suoi dati».

«Otteniamo un'altra sfera?».

«Sì. La nostra posizione allora è in un qualche punto che appartiene sia alla prima che alla seconda sfera. Cioè?».

«Cioè su un qualche punto di una circonferenza! L'intersezione tra le due sfere è una circonferenza, vero?».

«Esatto».

«È ancora un po' vago, però. Ci serve un terzo satellite?».

«Proprio così: col terzo satellite otteniamo una terza sfera, e se la intersechiamo con la circonferenza che già abbiamo…».

«Otteniamo… due punti?».

«Già».

«Ma non va bene».

«Bé, uno dei due punti è quello giusto, e l'altro potrebbe trovarsi sotto terra, oppure in cielo, vai a sapere. Un'idea della nostra posizione dovremmo già averla».

«Non mi piace mica tanto questa imprecisione, però».

«Hai ragione, ma non è un problema, perché c'è un problema più grosso».

«Quale?».

«La precisione del nostro orologio. Per quanto la tecnologia di un aggeggino che costa alcune decine di euro sia avanzata, quanto deve essere preciso?».

«Boh?».

«Prova a calcolare quanto spazio percorre la luce in un microsecondo».

«300 mila chilometri al secondo, per un microsecondo, fa 300 metri… oh, non sono mica pochi».

«Soprattutto se devi capire se, alla rotonda, devi prendere la seconda o la terza uscita».

«Ma quindi i nostri ricevitori gps hanno degli orologi così precisi?».

«Assolutamente no: per questo ci serve il quarto satellite».

«E perché?».

«Perché il quarto satellite produrrà una nuova sfera, e intersecandola con i due punti dovremmo essere in grado di ricavare la nostra posizione, se gli orologi fossero sincronizzati. Dato che non lo sono, la quarta sfera non passerà per nessuno dei due punti».

«E quindi?».

«Quindi sarà il nostro ricevitore, dotato di orologio non in punto, che farà i conti necessari per fare sì che la quarta sfera passi per il punto giusto: dovrà cioè mettere in punto l'orologio, in modo che i conti tornino. Insomma, ci sono quattro incognite da trovare — le tre coordinate spaziali più il tempo — e quattro equazioni fornite dai quattro satelliti».

«Ah, bello».

«Ma tutto questo ancora non basta».

«E perché?».

«Perché c'è la teoria della relatività in ballo».

«Uh».

«I satelliti non sono fermi, ma si muovono. Secondo la teoria della relatività speciale, per un corpo in movimento si verifica il fenomeno della dilatazione dei tempi».

«Ma il corpo deve andare molto veloce, no? I satelliti hanno una velocità così alta?».

«L'hanno abbastanza alta per accumulare un ritardo di 7 microsecondi in un giorno. Robetta, se non fosse per il fatto che la luce ha questa brutta abitudine di andare molto veloce».

«Eh, 300 metri al microsecondo, dopo un giorno il navigatore chissà dove ci porta».

«E non è tutto».

«No? Cosa c'è ancora?».

«La relatività generale: lo spaziotempo nella zona in cui orbitano i satelliti è meno curvo rispetto a quello in cui si trova la superficie della terra; la relatività generale prevede dunque un anticipo degli orologi in orbita, rispetto a quelli che si trovano sulla terra».

«Quindi la relatività ristretta prevede un ritardo e quella generale un anticipo? Allora gli errori si correggono da soli, no?».

«Magari. L'anticipo è di 45 microsecondi, quindi di entità maggiore rispetto al ritardo. Sommando i due errori, abbiamo un anticipo di 38 microsecondi».

«Cominciano a diventare tanti, sono 11 chilometri e 400 metri in un giorno».

«Sono quasi 500 metri in un'ora, quasi 8 al minuto: se anche metti in punto molto precisamente il tuo orologio sulla terra, dopo qualche minuto sei già fuori strada. E quindi le correzioni relativistiche sono necessarie, altrimenti il gps non funzionerebbe».

«Pensa un po', io pensavo che fosse solo roba teorica, questa faccenda della teoria della relatività».

«E invece non è così. A dir la verità, il gps funzionerebbe ugualmente anche senza la comprensione della relatività: gli ingegneri sono abituati a lavorare con errori sistematici, a cercarli e a ridurli al minimo. Anzi, pare che sia successo proprio questo: inizialmente non era stata compresa a pieno la portata degli effetti relativistici, e gli errori furono corretti senza conoscerne la causa. Poi è arrivato qualche teorico che ha spiegato la natura degli errori».

«Bravi, questi ingegneri».

«Non esageriamo, eh?».

«Scusa».

Il problema del fabbricante di tachimetri

«Ma quindi, prof, il tachimetro di un'automobile calcola le derivate?».

«In un mondo ideale, sì: calcola lo spazio percorso in un tempo infinitesimo, fa il rapporto, ed ecco la velocità istantanea. Naturalmente nella realtà no: si basa sui giri che fanno le ruote, o magari sui sottomultipli di un giro, e calcola una velocità media. Comunque, è meglio il gps».

«Per calcolare le velocità?».

«Eh, sì, è più preciso».

«Ma dai, anche i tachimetri sono precisi, non è che siano così tanto scarsi».

«Eppure, basta tenere le gomme più o meno gonfie, oppure averle un po' troppo consumate, e si sbagliano anche loro».

«Massé».

«Proviamo a fare un calcolo».

«Capirai».

«Per calcolare la velocità, o anche lo spazio percorso, ci serve sapere la lunghezza della circonferenza della gomma».

«Uh?».

«Altrimenti come fai a calcolare quanta strada hai fatto, se non sai quanta strada percorri con un giro di ruote?».

«Anche questo è vero».

«Quindi, ci serve il raggio di una ruota. Facciamo circa trenta centimetri?».

«Più o meno, se non prendiamo un SUV».

«Lasciamo perdere i SUV: allora, la lunghezza di una circonferenza di raggio trenta centimetri è circa… 188.5 centimetri. Per fare 100 chilometri, quanti giri fa una ruota?».

«Aspetti che faccio la divisione: viene 53050 giri».

«Bene. Adesso facciamo consumare le gomme, diciamo che dopo molta strada abbiamo perso 5 millimetri di spessore».

«Così tanti?».

«Eh, succede. Poi magari abbiamo anche le gomme un po' sgonfie…».

«Mh, allora il raggio diventa 29.5 centimetri».

«E la circonferenza?».

«Diventa 185.4 centimetri».

«Bene, ora calcola quanta strada fai con 53050 giri di quella lunghezza».

«Mi risulta 98.3 chilometri, possibile?».

«Eh, sì, perdi un paio di chilometri ogni cento».

«E allora anche la velocità non è più quella?».

«Eh, no: se il tachimetro segna 100 km/h, in realtà stai facendo i 98.3».

«Potrei andare più forte!».

«Potresti cambiare le gomme, anche. Comunque, come dicevo, il gps funziona meglio, ed è una tecnologia meravigliosa».

«Perché?».

«Perché senza la teoria della relatività generale non funzionerebbe».

Una vittoria epocale per la ricerca scientifica di tutto il mondo

Ecco, secondo me questa è una vittoria epocale:

Essere in grado di misurare la deriva dei continenti. Questi grafici ci mostrano la variazione della famosa distanza Cern-Gran Sasso nel corso degli anni. Sull'asse orizzontale vediamo gli anni, sull'asse verticale i metri. Dalla seconda metà del 2008 all'inizio del 2010 è stato misurato uno spostamento di 10 centimetri dovuto alla deriva dei continenti e, purtroppo, a un evento improvviso avvenuto il 6 aprile 2009: il terremoto dell'Aquila.

Il buio oltre le stelle

Ho sempre avuto una speciale attrazione per l'astronomia. Credo che sia cominciata quando, da bimbetto, mio papà mi accompagnò ai Giardini Pubblici, in una sera d'estate. Là un gruppo di astrofili aveva montato alcuni telescopi, in modo tale che il pubblico potesse osservare il cielo.

Osservai la luna ma, vabbé, la luna si vede anche a occhio nudo. Ok, si vedeva molto ingrandita, ma niente di più: non rimasi molto impressionato. Il secondo telescopio invece mi lasciò a bocca aperta: c'era Giove, ed era inequivocabilmente Giove, perché riuscii a vedere la macchia rossa.

Il terzo, poi, mi stese: Saturno. C'erano gli anelli! Erano veri, li potevo osservare coi miei occhi. Per me era una cosa incredibile.

In seguito, durante il liceo, un compagno di classe mi prestò un libro divulgativo sull'astronomia, scritto da Isaac Asimov: non ricordo più il titolo, e non riesco a trovarlo in rete, forse era questo (lo stesso compagno mi prestò anche tre libri che lui diceva essere bellissimi, li aveva chiamati Trilogia della Fondazione, sempre di Asimov, ma questa è un'altra storia). Bé, cavoli, supernove, nane bianche, stelle di neutroni, limiti di Chandrasekar: che meraviglie.

Mi interessai sempre di più alla materia, cominciai a leggere Le Scienze, mi tenevo informato. Per un po' di tempo meditai anche di iscrivermi alla laurea in astronomia, ma poi scelsi matematica (in seguito, per un tempo ancora più breve pensai se prendere una seconda laurea in astronomia, ma poi tornai coi piedi per terra).

Quando iniziai a insegnare, capitai in una scuola molto fornita di libri di astronomia, e cominciai a prenderli in prestito. Direi di essermi letto l'opera omnia di Hawking, affascinato dalle sue spiegazioni sui buchi neri (e sulla loro evaporazione, roba da matti).

Poi, nella mia ingenuità di giovane sposo che deve mettere su casa, caddi nella trappola di uno dei vari cosiddetti club di editori, quella gente che ti offriva libri in abbonamento a basso prezzo. Dato che era necessario acquistare un numero minimo di libri all'anno, e dato che molti libri non mi interessavano, capitai quasi per caso su questo libro:



George Smoot, Nelle pieghe del tempo, Mondadori.

Si tratta di un libro che racconta di come sia stato possibile scoprire le fluttuazioni della radiazione cosmica di fondo: i semi che hanno poi dato origine alle galassie, agli ammassi, e a tutta quella roba che c'è la fuori. Grazie a questi studi Smoot ha anche vinto il premio Nobel.

Questa per me era roba nuova, che non avevo mai letto prima: l'astronomia faceva passi avanti, e io la stavo seguendo.

Qualche anno fa sono poi capitato su un altro libro, di cui ho già parlato (andando a rileggermi, mi accorgo di essere come quei vecchietti che ripetono sempre le stesse cose, anche là ho parlato delle mie meditazioni riguardanti il corso di laurea in astronomia. Povero me): La musica del Big Bang, scritto da Keplero, cioè Amedeo Balbi. Che ha lavorato proprio con George Smoot.

Ora Amedeo ha scritto un nuovo libro, Il buio oltre le stelle.



Che ci racconta delle ultime novità nel campo della cosmologia, che si possono riassumere in guardate che c'è ancora molta strada da fare. Perché da un lato è incredibile quello che riusciamo a sapere sull'universo standocene qui, inchiodati sulla terra. Dall'altro sappiamo anche che tutto quello che vediamo è circa un misero 5 per cento di tutto ciò che ci dovrebbe essere. Sul restante 95 per cento possiamo fare solo ipotesi, senza nessuna prova sperimentale.

Materia oscura ed energia oscura: oggi sono questi i principali campi di indagine della cosmologia. Perché, come dice la quarta di copertina:

Tutta la storia dell'astronomia, in fondo, altro non è che una lunga lotta dell'uomo contro l'oscurità.

Riguardo il concetto di vero

Oggi gli studenti dell'ultimo anno di liceo scientifico hanno svolto la prova di matematica: forse qualcuno che di solito passa di qua ha visto i testi, ha provato a risolverli, ha letto delle polemiche riguardanti il quesito di geometria solida.

Magari non tutti sanno che, del liceo scientifico, esiste anche il cosiddetto piano nazionale informatica (detto PNI). La prova finale di matematica è, di solito, un po' diversa da quella tradizionale. A volte i problemi sono un pochino più difficili, o richiedono di lavorare un po' di più con la calcolatrice e il calcolo numerico; nei quesiti si parla un po' di più di probabilità.

Ho dato un'occhiata alla prova del PNI, e sono rimasto un po' interdetto davanti al primo quesito. Eccolo qua:

Silvia, che ha frequentato un indirizzo sperimentale di liceo scientifico, sta dicendo ad una sua amica che la geometria euclidea non è più vera perchè per descrivere la realtà del mondo che ci circonda occorrono modelli di geometria non euclidea. Silvia ha ragione? Si motivi la risposta.

In sei ore lo studente dovrebbe risolvere un problema tra i due proposti, e dovrebbe rispondere a cinque quesiti su dieci. Forse, facendo il problema in mezz'ora e quattro quesiti in un'altra mezz'ora, lo studente potrebbe anche farcela.

Il teorema della non pettinabilità della noce di cocco

Ai matematici piace dare nomi spiritosi alle cose che fanno, ma non sempre ciò che fa ridere un matematico fa ridere il resto del mondo.

C'è un teorema che afferma che non esiste un campo vettoriale continuo non banale (cioè non nullo) tangente ad una sfera. Ma i matematici spiritosi lo enunciano in un altro modo: è impossibile pettinare completamente una noce di cocco (o una palla da tennis, o una palla pelosa generica; qualcuno si spinge a parlare di palle da biliardo coi capelli, per dire). Salta sempre fuori un buchino, o una riga, o una chierica, o un ciuffetto.

Possiamo anche trasportare questo teorema nella realtà: i venti, sulla terra, possono essere rappresentati da vettori tangenti alla superficie (ammettendo che non ci sia spostamento verticale). Allora in ogni istante esiste almeno un punto sulla terra in cui non tira vento. Se consideriamo anche lo spostamento verticale, allora in quel punto l'aria potrebbe muoversi verso l'alto o verso il basso, ma non in orizzontale. Insomma: sulla terra esiste sempre almeno un ciclone o un anticiclone.

Coi teoremi non si scherza

(Nota preventiva: ciò che segue ha lo scopo di stimolare chi sa a spiegare ciò che segue)

Esiste un teorema che ha un nome un po' particolare: si chiama teorema del libero arbitrio. L'hanno dimostrato, nel 2006, Conway (sempre lui) e Simon Kochen.

Si basa su tre ipotesi, che vado ad elencare; anche queste hanno nomi un po' particolari:

Fin: esiste una velocità massima di propagazione delle informazioni (non necessariamente deve essere la velocità della luce).

Spin: se si misurano le componenti dello spin di una determinata particella di spin uno lungo tre direzioni ortogonali, e si eleva al quadrato, si ottiene sempre la terna 1, 0, 1 o una sua permutazione (questo è un risultato della meccanica quantistica).

Twin: è possibile legare tra loro due particelle elementari in modo tale che una misura di spin al quadrato fatta su una di esse darà sempre lo stesso risultato di una analoga misura, nella stessa direzione, fatta sull'altra particella, anche se le particelle si trovano ad una notevole distanza una dall'altra (e anche questo è uno dei tanti risultati sconcertanti della meccanica quantistica).

Successivamente, l'ipotesi Fin è stata un po' indebolita (irrobustendo così il teorema) ed è stata quindi sostituita dalla

Min: due sperimentatori possono scegliere quali misure effettuare in maniera indipendente uno dall'altro. Quindi non necessariamente tutta l'informazione deve viaggiare a velocità finita: ciò che ci interessa è che l'informazione riguardante le loro scelte su cosa misurare viaggi a velocità finita.

Il teorema dice, più o meno, che se noi siamo liberi di scegliere quale tipo di misura fare, relativamente allo spin di una particella, allora il risultato che otteniamo non dipende dallo stato dell'universo prima dell'esperimento.

In altre parole più ad effetto, se noi possediamo il libero arbitrio, allora anche una certa categoria di particelle elementari lo possiede. Se no, no.

Comunque stiano le cose, la faccenda mi inquieta.

Ma a cosa ci serve questa roba nella vita di tutti i giorni?

Nel tentativo di far capire a quelli di quinta che le equazioni differenziali sono un utile strumento per risolvere problemi reali (qualunque cosa ciò significhi), quest'anno ho provato ad assegnare loro, nelle verifiche in classe, un paio di esercizi non standard. Il risultato è stato fallimentare, ma io mi sono divertito molto.

Eccoli.

La kryptonite è un materiale radioattivo alieno molto dannoso per gli abitanti del pianeta Krypton. Il suo tempo di dimezzamento è pari a circa 5.55 ore (più precisamente, 8ln2 ore). Indica con t il tempo, espresso in giorni, e con Q(t) la quantità di kryptonite esistente al tempo t. Scrivi l'equazione differenziale che rappresenta il decadimento della kryptonite. Quanta massa rimarrà dopo un giorno, se la massa iniziale è di 2 Kg?

Lex Luthor ha catturato Superman e lo ha imprigionato in una stanza assieme ai 2 Kg di kryptonite dell'esercizio precedente. Per evitare che il minerale alieno si esaurisca, ha ideato una macchina che in continuazione rinnova la riserva. La macchina migliora la sua efficienza man mano che essa rimane in funzione, e perciò il primo giorno riesce a produrre un solo Kg di materiale, il secondo giorno ne riesce a produrre 2, e così via: il giorno x-esimo riesce a produrre x Kg di minerale. Scrivi l'equazione differenziale che rappresenta questa situazione e risolvila.

Nevica. Il malvagio Uomo Neve ha stretto Gotham City sotto una morsa di gelo. La neve cade dalle 5 di questa mattina, a una velocità di 30 centimetri all'ora (che indichiamo con h(t)). Alle 6 del mattino (cioè quando t=1) Batman attiva il suo bat-spazzaneve per cercare di ostacolare i piani maligni dell'Uomo Neve: la macchina si muove a una velocità inversamente proporzionale all'altezza della neve. Ricordando che la velocità è la derivata dello spazio percorso s(t) fatta rispetto al tempo, scrivi l'equazione differenziale che governa il moto del bat-spazzaneve e risolvila. Alle ore 7 Batman ha ripulito 10 Km di strada, quanti ne avrà puliti ancora quando saranno le 9?

(L'ultimo è stato fortemente ispirato da un problema dei Rudi Mathematici)

Poi dicono che la fisica è utile

In un tavolo da biliardo perfettamente piano le palle rotolano al centro.