mercoledì 12 settembre 2012
Considera l'aragosta
Considera l'aragosta, di David Foster Wallace, Einaudi, 14.45€ in formato cartaceo, è un'altra raccolta di saggi, o di esperienze di vita vissuta, che sto leggendo in questi giorni.
Dico che sto leggendo perché ho deciso di commentare ogni saggio subito dopo averlo finito, senza attendere di aver concluso la lettura di tutto il libro (naturalmente questo post sarà pubblicato alla fine).
Cominciamo.
Il figlio grosso e rosso
Ho un amico che è entusiasta di Las Vegas. Davvero, quando racconta degli hotel giganteschi, del vulcano finto, delle battaglie navali, della zona divertimenti per le famiglie, dei casinò e dei divertimenti un po' meno per famiglie, è sinceramente convinto della loro bellezza. Io rido, ma vabbé.
Ecco, in questo articolo si parla della visita a Las Vegas fatta da DFW in occasione degli Avn awards. Non metto link per cercare di mantenere un'aria di rispettabilità in questo blog, semmai googlate (e, se non avete il safesearch attivo, accertatevi almeno di non avere qualcuno alle vostre spalle). Bene, se anche a voi la descrizione delle bellezze di Las Vegas fatta dal mio amico vi è parsa un po' kitsch e vi ha fatto ridere, rimarrete certamente estasiati (o inorriditi, o tutte e due le cose, a seconda della vostra predisposizione d'animo) nel leggere di questo particolare aspetto di Las Vegas.
La fine di qualcosa senz'altro, verrebbe da pensare
(Su Verso la fine del tempo, di John Updike)
Nove pagine di critica abbastanza sferzante su un romanzo che non ho mai letto di un autore che non conosco. Non importa, c'è una bella descrizione del protagonista del romanzo, che si riflette in considerazioni varie sull'autore del romanzo stesso. Da leggere per poter arrivare a godere dell'ultima frase.
Alcune considerazioni sulla comicità di Kafka che forse dovranno essere tagliate ulteriormente
«Potete chiedere di immaginare che tutte le sue storie siano una specie di porta. Di immaginare noi che ci avviciniamo e battiamo a questa porta, sempre più forte, battiamo e battiamo, non solo perché vogliamo entrare, ma perché ne abbiamo bisogno; non sappiamo cosa sia ma possiamo sentirlo, questo desiderio disperato e assoluto di entrare, e battiamo e spingiamo e calciamo. Finché ecco che la porta si apre… e si apre verso l'esterno — eravamo già dove volevamo essere sin dal principio. Das ist komisch».
Autorità e uso della lingua (ovvero, politica e lingua inglese è ridondante)
Un saggio sull'uso della lingua inglese. All'inizio una pagina scritta dalla traduttrice avverte delle difficoltà incontrate durante la traduzione in italiano di un saggio riguardante l'uso dell'inglese. Segue una pagina scritta in corpo 4, immagino (65 righe e due titoli), di testo non tradotto riportante una serie enorme di errori.
Da segnalare per i non inglesi: una interessante considerazione sull'aborto e la figura dello Snobino — che tanto ricorda Tapparella.
La vista da casa della sig.ra Thompson
Come DFW ha vissuto la giornata dell'11 settembre 2001.
Come Tracy Austin mi ha spezzato il cuore
Un commento (un po' caustico) all'autobiografia della tennista Tracy Austin.
Forza, Simba
Sette giorni in Cammino con un Anticandidato
Come funzionava la campagna per la candidatura alle primarie repubblicane del 2000 di John McCain. Un lungo resoconto di come vivono i giornalisti al seguito del candidato, e una descrizione di tutto il baraccone politico americano. Interessante.
Considera l'aragosta
Il festival dell'aragosta del Maine, dove le aragoste diventano cibo comune e a buon mercato.
Il Dostoevskij di Joseph Frank
Questo l'ho sfogliato velocemente, e non l'ho letto con attenzione: dopo le prime pagine l'argomento non mi ha attirato abbastanza. DFW che parla del professor Frank che parla di Dostoevskij.
Commentatore
E anche questo l'ho solamente sfogliato: la struttura del testo, con frecce che puntano a riquadri e altre frecce che dai riquadri puntano a sottoriquadri, all'inizio è carina, ma dopo un po' diventa fastidiosa.
martedì 4 settembre 2012
Una misteriosa costante matematica — 2
«Per ottenere un metodo veloce, anche se approssimato, per calcolare la somma dei primi n termini della serie armonica, dobbiamo dare un'occhiata a questo grafico».
«Uh, e cosa si vede?».
«Allora, la funzione rossa è y = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».
«Vedo».
«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».
«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».
«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».
«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».
«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».
«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».
«Giusto».
«Quindi l'area è data dall'altezza».
«Ancora giusto».
«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».
«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».
«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».
«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».
«Davvero?».
«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».
«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».
«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».
«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».
«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».
«E come facciamo a dirlo?».
«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».
«Vero».
«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».
«Anche questo è vero».
«E lascerebbero un po' di spazio libero».
«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».
«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».
«Mica poche».
«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».
«Ah».
«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».
«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».
«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».
«Immagino, eh».
«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».
«Uno dei problemi del millennio?».
«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».
«Addirittura».
«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».
«Ma dai».
«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10242080».
«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».
«Eh».
«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».
«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».
N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).
«E per non fare tutto a mano, come si fa?».
«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».
«Vediamo un po', se n = 719 mi viene 5145.5. Argh».
«Si fanno affari con le figurine, eh?».
«Uh, e cosa si vede?».
«Allora, la funzione rossa è y = 1/x. Se osservi bene, in corrispondenza dei numeri naturali sono disegnati dei segmenti verticali che intersecano la curva».
«Vedo».
«Quindi, il primo punto sulla curva rossa avrà come y il valore 1».
«Certamente, basta sostituire a x il numero 1, e risulta 1/1».
«Bene. Il secondo punto sulla curva rossa invece avrà ordinata uguale a 1/2».
«Giusto, il terzo avrà come y il valore 1/3, il quarto 1/4, e così via».
«Bene. Ora calcola l'area di ognuno di quei rettangoli che sono disegnati, cioè quelli aventi base sull'asse delle x».
«Allora, intanto hanno tutti base uguale a 1».
«Giusto».
«Quindi l'area è data dall'altezza».
«Ancora giusto».
«Quindi il primo rettangolo avrà area 1, il secondo 1/2, il terzo 1/3, e così via».
«Perfetto. Quindi possiamo visualizzare la somma dei primi n termini della serie armonica semplicemente osservando quei rettangoli: la somma che vogliamo calcolare è uguale alla somma delle loro aree».
«Ok, ma non riusciamo a calcolarla?».
«Non direttamente. Però continuiamo l'esame del grafico: siamo in grado di calcolare l'area che sta sotto alla curva rossa».
«Davvero?».
«Sì, si utilizza il calcolo integrale. Risulta che l'area che va dal punto di ascissa 1 al punto di ascissa n+1 (cioè l'area sotto ai primi n rettangoli) è uguale al logaritmo naturale di n+1. In formule, un Vero Matematico scriverebbe questo:».
«Va bene, e ora? L'area sotto la curva rossa non è uguale a quella dei rettangoli».
«No, la differenza è appunto data dalla somma delle aree grigie».
«Ed è una cosa che sappiamo calcolare?».
«Non esattamente, ma possiamo dire una cosa importante: la somma di quelle aree è limitata. In particolare, è minore di 1».
«E come facciamo a dirlo?».
«Se anche quelle aree andassero avanti all'infinito, potremmo comunque pensare di spostarle tutte a sinistra, infilandole nel primo rettangolo (che poi è un quadrato, ma non ha importanza)».
«Vero».
«E ci starebbero tutte, senza sovrapporsi».
«Anche questo è vero».
«E lascerebbero un po' di spazio libero».
«Ah, ho capito! Visto che l'area del rettangolo in cui sono contenute è uguale a 1, la loro somma è minore di quel valore».
«Perfetto: ora che sappiamo che quel valore esiste, ci basta un computer per calcolarlo. I matematici l'hanno fatto, naturalmente, e nel 2010 erano note 29844489545 cifre. Non so se il record sia stato superato ultimamente».
«Mica poche».
«Nonostante questo, ancora non si sa se sia un numero razionale o irrazionale».
«Ah».
«Intanto gli abbiamo dato un nome: si chiama costante di Eulero-Mascheroni, e vale circa 0.5772».
«Ok. E quindi possiamo usarla per il problema delle figurine?».
«Anche, sì. Ma non sarebbe quello lo scopo, insomma».
«Immagino, eh».
«Il fatto è che quella costante è legata alla funzione di Riemann, e quindi al problema dei numeri primi».
«Uno dei problemi del millennio?».
«Esattamente. Probabilmente dimostrare la sua irrazionalità potrebbe portare a fare passi avanti in quel senso, o addirittura a risolvere la congettura di Riemann. Si dice che Hardy abbia offerto la sua cattedra a Oxford a chi fosse riuscito a dimostrare l'irrazionalità della costante di Eulero-Mascheroni. Hilbert stesso considerò questo problema come inaffrontabile, un problema davanti al quale i Veri Matematici non sanno come muoversi, e se ne stanno lì sconsolati».
«Addirittura».
«Conway e Guy sono pronti a scommettere che sia trascendente, ma credono anche di non avere abbastanza tempo per riuscire a vedere la dimostrazione».
«Ma dai».
«Ed è stato dimostrato che se questa benedetta costante fosse davvero razionale, il suo denominatore dovrebbe essere maggiore di 10242080».
«Vabbé, dai, è irrazionale. Solo la mente malata dei Veri Matematici si può ostinare a cercare una dimostrazione che permetterebbe di dire qualcosa sulle cifre dopo la 29844489545esima».
«Eh».
«Alla fine, quante figurine dovremmo comprare per completare quel famoso album da 719 calciatori?».
«Allora, il calcolo esatto sarebbe dato dalla somma dei termini della serie armonica dal primo fino al 719-esimo, il tutto moltiplicato per 719:».
N = 719(1+1/2+1/3+…1/719).
«E per non fare tutto a mano, come si fa?».
«Si usa la relazione approssimata che abbiamo visto prima. Se indichiamo con γ la costante di Eulero-Mascheroni, abbiamo che».
«Vediamo un po', se n = 719 mi viene 5145.5. Argh».
«Si fanno affari con le figurine, eh?».
lunedì 3 settembre 2012
Una misteriosa costante matematica — 1
Una nota marca di merendine per la prima colazione inserisce, in ogni scatola, una figurina di un matematico famoso. Il produttore sostiene che tutti i matematici sono distribuiti uniformemente, e che la serie completa è composta da 8 figurine (siamo solo alla prima edizione). Quante scatole ci aspettiamo di dover comprare per completare la collezione?
(Spoiler alert: se volete provare a risolverlo da soli, non andate oltre, tornate dopo)
Possiamo risolvere il quesito ragionando in questo modo: acquistando la prima scatola ci assicuriamo la prima figurina, fin qua è facile. Con la seconda scatola possiamo trovarci di fronte a due possibilità: siamo sfortunati e troviamo la figurina che abbiamo già, oppure siamo fortunati e troviamo una figurina che ci manca. Il primo caso si verifica con probabilità 1/8, il secondo invece con probabilità 7/8.
Dato che la probabilità di ottenere una nuova figurina è 7/8, dovremmo acquistare 8/7 di scatola per ottenerla.
«Certo, andiamo in negozio, prendiamo una scatola e poi seghiamo un pezzettino di un'altra scatola».
«Ma no, questo è un discorso di media, è chiaro che per avere la figurina o compri una scatola e sei fortunato, o sei meno fortunato e ne devi comprare due, o ancora meno fortunato e ne devi comprare tre, quattro, o di più».
«E allora cos'è questa faccenda degli 8/7 di scatola?».
«Significa che, se prendiamo tanti collezionisti, e facciamo la media sul numero di scatole che servono per ottenere due figurine, il risultato sarà vicino a 1+8/7 (più collezionisti ci sono, migliore sarà l'approssimazione)».
«Vabbé. E quindi, se vogliamo la terza figurina, dobbiamo ragionare allo stesso modo?».
«Sì, la terza figurina sarà diversa dalle prime due con probabilità 6/8, e quindi dovrai comprare 8/6 di scatola».
«Sempre in media».
«Certo. Poi ce ne vorranno 8/5, 8/4, e così via fino a 8/1».
«Quindi per ottenere l'ultima figurina devo comprare otto scatole?».
«Sì, hai una sola possibilità su otto di trovare quella giusta, quindi ti toccherà acquistarne proprio otto».
«Ho capito. Il risultato finale allora sarà 1+8/7+8/6+…+8/2+8/1. Cioè…».
«761/35».
«Eh, fammi fare il calcolo che capisco meglio… fa 21.7, circa».
«Quindi con 22 scatole hai buone probabilità di cavertela».
«Però, risulta quasi il triplo del numero iniziale. Comincio a capire come funzionano le raccolte di figurine».
«Eh, sì, pensa a quante figurine può contenere un album di calciatori, e fai qualche conto…».
«La regola per il calcolo mi sembra semplice».
«Sì, e se modifichi un po' la formula diventa ancora più chiara. Per esempio, nella formula che abbiamo usato per le otto figurine, prova a raccogliere a fattor comune tutti quegli otto che stanno al numeratore».
«Mi viene 8(1/8+1/7+1/6+…+1/2+1). Mh, mi ricorda qualcosa».
«Se li riordini, ti accorgerai che si tratta dei primi termini della serie armonica: 8(1+1/2+1/3+…+1/7+1/8), di cui si è già parlato in passato, anche in qualche vecchio Carnevale della Matematica [1][2]».
«Uh, vedo».
«Ti faccio vedere anche cosa significa che in media bisogna acquistare 21.7 scatole: ho scritto un programma che simula duemila collezionisti di figurine. Ognuno fa i suoi acquisti fino a che non ha ottenuto le otto figurine, poi alla fine viene fatta la media tra tutti. Eccolo qua:».
«Mi pare abbastanza chiaro».
«Ho fatto anche un paio di grafici per vedere che, all'aumentare del numero dei collezionisti, il valore medio si stabilizza sempre più verso il famoso 21.7».
«E come mai sono diversi?».
«Perché ogni prova è diversa dalle altre. La cosa importante è vedere che l'andamento si stabilizza, anche se nel secondo grafico si stabilizza più lentamente».
«Probabilmente 2000 prove sono ancora poche».
«Già. Devi pensare che 21.7 scatole sono, appunto, una media, ma ci possono essere collezionisti fortunati che se la cavano con 8 scatole e altri meno fortunati che ne devono acquistare ben più di 22. Anzi, mi basta aggiungere un paio di righe al programma per vedere qual è il record negativo di acquisto scatole:».
«Ah, certo, così tieni in memoria il valore massimo di scatole da acquistare: quanto risulta?».
«Faccio girare il programma: ecco, 72».
«Però, sfortunato quel poveraccio che deve acquistare 72 scatole».
«Eh, già. E pensa a quelli che collezionano figurine di calciatori: nella collezione dell'anno scorso c'erano 690 figurine».
«Quante?!».
«Più altre 29 con un codice strano: in tutto 719».
«Santo cielo! Ma bisogna acquistarne un numero colossale».
«Quante?».
«Eh, mi tocca fare una somma lunghissima, non c'è un metodo migliore?».
«Se ti accontenti di un risultato approssimato (approssimato molto bene, eh), c'è».
(Spoiler alert: se volete provare a risolverlo da soli, non andate oltre, tornate dopo)
Possiamo risolvere il quesito ragionando in questo modo: acquistando la prima scatola ci assicuriamo la prima figurina, fin qua è facile. Con la seconda scatola possiamo trovarci di fronte a due possibilità: siamo sfortunati e troviamo la figurina che abbiamo già, oppure siamo fortunati e troviamo una figurina che ci manca. Il primo caso si verifica con probabilità 1/8, il secondo invece con probabilità 7/8.
Dato che la probabilità di ottenere una nuova figurina è 7/8, dovremmo acquistare 8/7 di scatola per ottenerla.
«Certo, andiamo in negozio, prendiamo una scatola e poi seghiamo un pezzettino di un'altra scatola».
«Ma no, questo è un discorso di media, è chiaro che per avere la figurina o compri una scatola e sei fortunato, o sei meno fortunato e ne devi comprare due, o ancora meno fortunato e ne devi comprare tre, quattro, o di più».
«E allora cos'è questa faccenda degli 8/7 di scatola?».
«Significa che, se prendiamo tanti collezionisti, e facciamo la media sul numero di scatole che servono per ottenere due figurine, il risultato sarà vicino a 1+8/7 (più collezionisti ci sono, migliore sarà l'approssimazione)».
«Vabbé. E quindi, se vogliamo la terza figurina, dobbiamo ragionare allo stesso modo?».
«Sì, la terza figurina sarà diversa dalle prime due con probabilità 6/8, e quindi dovrai comprare 8/6 di scatola».
«Sempre in media».
«Certo. Poi ce ne vorranno 8/5, 8/4, e così via fino a 8/1».
«Quindi per ottenere l'ultima figurina devo comprare otto scatole?».
«Sì, hai una sola possibilità su otto di trovare quella giusta, quindi ti toccherà acquistarne proprio otto».
«Ho capito. Il risultato finale allora sarà 1+8/7+8/6+…+8/2+8/1. Cioè…».
«761/35».
«Eh, fammi fare il calcolo che capisco meglio… fa 21.7, circa».
«Quindi con 22 scatole hai buone probabilità di cavertela».
«Però, risulta quasi il triplo del numero iniziale. Comincio a capire come funzionano le raccolte di figurine».
«Eh, sì, pensa a quante figurine può contenere un album di calciatori, e fai qualche conto…».
«La regola per il calcolo mi sembra semplice».
«Sì, e se modifichi un po' la formula diventa ancora più chiara. Per esempio, nella formula che abbiamo usato per le otto figurine, prova a raccogliere a fattor comune tutti quegli otto che stanno al numeratore».
«Mi viene 8(1/8+1/7+1/6+…+1/2+1). Mh, mi ricorda qualcosa».
«Se li riordini, ti accorgerai che si tratta dei primi termini della serie armonica: 8(1+1/2+1/3+…+1/7+1/8), di cui si è già parlato in passato, anche in qualche vecchio Carnevale della Matematica [1][2]».
«Uh, vedo».
«Ti faccio vedere anche cosa significa che in media bisogna acquistare 21.7 scatole: ho scritto un programma che simula duemila collezionisti di figurine. Ognuno fa i suoi acquisti fino a che non ha ottenuto le otto figurine, poi alla fine viene fatta la media tra tutti. Eccolo qua:».
from random import randrange N=8 #nella lista ci vanno i numeri da 0 a 7 def colleziona(): conta=0 lista=[] while 1: x=randrange(N) conta+=1 if x not in lista: lista+=[x] if len(lista)==8: break return conta media=0 for i in xrange(2000): media+=colleziona() #print float(media)/(i+1) print "Media:", float(media)/2000
«Mi pare abbastanza chiaro».
«Ho fatto anche un paio di grafici per vedere che, all'aumentare del numero dei collezionisti, il valore medio si stabilizza sempre più verso il famoso 21.7».
«E come mai sono diversi?».
«Perché ogni prova è diversa dalle altre. La cosa importante è vedere che l'andamento si stabilizza, anche se nel secondo grafico si stabilizza più lentamente».
«Probabilmente 2000 prove sono ancora poche».
«Già. Devi pensare che 21.7 scatole sono, appunto, una media, ma ci possono essere collezionisti fortunati che se la cavano con 8 scatole e altri meno fortunati che ne devono acquistare ben più di 22. Anzi, mi basta aggiungere un paio di righe al programma per vedere qual è il record negativo di acquisto scatole:».
media=0 record=0 for i in xrange(2000): m=colleziona() if record < m: record = m media+=m print float(media)/(i+1) print "Media:", float(media)/2000,record
«Ah, certo, così tieni in memoria il valore massimo di scatole da acquistare: quanto risulta?».
«Faccio girare il programma: ecco, 72».
«Però, sfortunato quel poveraccio che deve acquistare 72 scatole».
«Eh, già. E pensa a quelli che collezionano figurine di calciatori: nella collezione dell'anno scorso c'erano 690 figurine».
«Quante?!».
«Più altre 29 con un codice strano: in tutto 719».
«Santo cielo! Ma bisogna acquistarne un numero colossale».
«Quante?».
«Eh, mi tocca fare una somma lunghissima, non c'è un metodo migliore?».
«Se ti accontenti di un risultato approssimato (approssimato molto bene, eh), c'è».
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