martedì 14 febbraio 2012

Quanto sono grandi i buchi piccoli quanto si vuole, ovvero: dell'utilità dell'ultimo teorema di Fermat

Sul quarto di circonferenza di raggio unitario che giace nel primo quadrante ci sono infiniti punti a coordinate razionali.

«Eeh?».

«Dai, circonferenza di raggio 1, centrata nell'origine…».

«Ok».

«Prendo il quarto che sta nel primo quadrante».

«Eh».

«Bene: lì sopra ci stanno infiniti punti con coordinate razionali».

«E perché?».

«Sai cosa sono le terne pitagoriche?».

«Uffa, sì, lo so. Sono terne di numeri naturali che soddisfano il teorema di Pitagora».

«Esempio?».

«Per esempio, 3,4 e 5. La somma dei quadrati costruiti sui cateti 3 e 4, cioè 9 e 16, dà come risultato il quadrato costruito sull'ipotenusa, cioè 25».

«Bene. Diciamo quindi che le terne pitagoriche soddisfano all'equazione x+ y= z2».

«Giusto».

«O, anche, all'equazione (x/z)+ (y/z)= 1».

«Ecco che complichi».

«Ma no, era solo per dire che (3/5)+ (4/5)= 1».

«Ok, ma perché la scrivi così? Perché ti piace avere un 1 a destra dell'uguale?».

«Perché l'equazione x+ y= 1 è l'equazione della circonferenza di raggio unitario centrata nell'origine».

«Ah, ora ci sono: prendiamo il quarto di circonferenza nel primo quadrante perché usiamo numeri naturali, che sono lati di triangoli rettangoli».

«E quindi, dato che esistono infinite terne pitagoriche, ecco che esistono infiniti punti a coordinate razionali sull'arco di circonferenza in blu che ti disegno qua sotto».



«E tutte quelle curve verdi cosa sono?».

«Sono alcune delle infinite curve di equazione xn + yn = 1. Se le disegnassimo tutte, vedremmo l'angolo in alto a destra del quadrato completamente pieno».

«Anche loro conterranno infiniti punti a coordinate razionali, suppongo».

«Supponi male».

«Ma come?».

«Rifacendo il ragionamento di prima all'indietro, se esistessero punti a coordinate razionali che stanno sulle curve verdi, esisterebbero terne di numeri naturali che soddisfano all'equazione xn + yn = zn».

«Uh, l'ultimo teorema di Fermat».

«Eh, già».

«Ma allora, nell'angolo in alto a destra del quadrato non ci sono punti a coordinate razionali?».

«Certo che ce ne sono, infiniti».

«Ma se ci sono infinite curve verdi, senza punti a coordinate razionali!».

«Adesso hai capito il titolo di questo post?».



Da una discussione sulla lista Cabrinews.

lunedì 13 febbraio 2012

Tesori nascosti

Girellando per l'internet in attesa di andare a dormire, ma senza fretta perché con questa neve ci hanno chiuso le scuole un'altra volta, ti capita davanti un post di uno che vuole trasmetterti la gioia di aver scoperto un tesoro nascosto, e tu lo leggi incuriosito, e scopri che questo tesoro è un pezzo scritto su Quora da un anonimo matematico che cerca di spiegarti come ragiona la gente come lui, e quello che l'ha scoperto te lo descrive così, con queste parole:

Insomma, il nostro anonimo scrive questo pezzo, che è ovviamente brillante, ma è bello, sincero, quasi commovente nel parlarti di una cosa che sono in pochi ad avere. E tu che pensi che i matematici genii sono tutti pazzi (è vero, alcuni lo sono), leggilo, ‘sto pezzo, che se io penso che una mezza medaglia Fields mi viene a scrivere 15777 caratteri (spazi esclusi) di come ci si sente ad essere lui mi vengono i le lacrime (e anche questo è internet: cioè che uno che ha visto i sette mari e scoperto tesori e combattutto battaglie viene da te sulla battigia, che hai il libro di pirati sottobraccio e il moccio al naso, e ti racconta com’è, davvero, i pirati e i sette mari. Poi decidi tu, ma intanto lo sai.).

E allora tu ti chiedi e che sarà mai, cos'è questa esaltazione, poi, dato che non hai fretta, perché tanto domattina puoi dormire un po' di più, vai a leggerlo di persona. E scopri che è proprio così, la bellezza, la commozione, i pirati, il moccio al naso. Ed è una meraviglia.

E quindi grazie, anonimo matematico, e grazie, Aubrey McFato, per averlo letto, e per averci fatto anche un epub.

giovedì 2 febbraio 2012

επακταί ημήραι — parte 4

«Di algoritmi per il calcolo della Pasqua ce ne sono tanti, ma quello ufficiale è naturalmente quello proposto da Giglio, Clavio e amici».

«Mi pare giusto. Com'è fatto?».

«Primo: calcoliamo il numero d'oro».

«Che sarebbe?».

«Abbiamo detto che esiste un ciclo quasi perfetto che uguaglia 19 anni a 235 mesi sinodici: in 19 anni ci sono 235 lune piene, insomma».

«Ok».

«E allora il numero d'oro è un numero compreso tra 1 e 19 che ci dice a che punto siamo del ciclo. Ecco la formuletta:».

A = anno mod 19 + 1.

«Prendo l'anno, divido per 19, calcolo il resto, aggiungo 1?».

«Esatto. Per quest'anno, = 18».

«Fin qua ci siamo».

«Poi si calcola il numero del secolo:».

B = anno div 100 + 1.

«Con div intendi la divisione intera, vero?».

«Sì. Per quest'anno, B = 21».

«Giusto».

«Poi dobbiamo tenere in considerazione la conversione da calendario giuliano a calendario gregoriano, perché quello gregoriano ha 3 anni bisestili in meno ogni 4 secoli».

C = (3 × B) div 4 - 12.

«Vediamo, per il 2012 risulterebbe C = 3, ma mi sfugge il senso».

«Sai che, col calendario gregoriano, non tutti gli anni divisibili per 4 sono bisestili».

«So che quelli divisibili per 100 lo sono solo se sono anche divisibili per 400».

«Esatto. La riforma del calendario è avvenuta nel 1582; il primo anno divisibile per 100 è stato il 1600, bisestile. Il successivo è 1700, non bisestile (mentre lo sarebbe stato, se si fosse seguito il calendario giuliano), poi 1800, non bisestile, poi ancora 1900, non bisestile, e infine 2000, bisestile. Quindi in tutto 3 anni bisestili in meno rispetto a quelli del calendario giuliano».

«Bene».

«Ora dobbiamo prendere in considerazione il famoso ciclo di 19 anni, il ciclo di Metone. Dato che non è accuratissimo, bisogna correggerlo: sbaglia di un giorno ogni 310 anni (giuliani), il che corrisponde circa a 8 giorni in 25 secoli (gregoriani):».

D = (8 × B + 5) div 25 - 5.

«Allora, per il 2012 dovrebbe essere D = 1».

«Ok».

«Non capisco, siamo nel ventunesimo secolo, manca poco al venticinquesimo, perché = 1?».

«Tieni presente che la correzione deve partire dal 1582, quindi 25 secoli saranno passati solo quando arriveremo nel quarantesimo secolo».

«Ah, ecco».

«Ora dobbiamo calcolare il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo. Dato che un anno è uguale a 52 settimane più un giorno, il giorno in cui cade il 21 marzo cade ogni anno un giorno più tardi, mentre negli anni bisestili cade due giorni più tardi. In totale, sono 5 giorni in più ogni 4 anni. E, come se non bastasse, dobbiamo tenere conto anche della correzione sugli anni bisestili gregoriani, cioè il valore di C calcolato prima. Ecco la formula:».

E = (anno × 5) div 4 - 10 - C.

«Allora, quest'anno avremo che E = 2502, ma che significa?».

«Se calcoli 2502 mod 7, ottieni 3, e infatti quest'anno il 21 marzo sarà un mercoledì, terzo giorno della settimana. Non calcoliamo subito il valore di E modulo 7, perché lo useremo poi in un'altra formula che già prevede il calcolo del modulo».

«Ok. Ora, abbiamo finito?».

«Eh, no, ora viene il bello: dobbiamo calcolare l'epatta».

«Eh?».

«L'epatta è l'età della luna all'inizio dell'anno. Ogni anno la luna piena cade 11 giorni prima, rispetto all'anno precedente, perché l'anno solare è di 11 giorni più lungo di 12 mesi sinodici. Dobbiamo poi tenere conto anche delle correzioni calcolate prima in C e in D, e anche del fatto che un mese sinodico non è lungo esattamente 30 giorni, ma un po' meno, cioè 29.53059 giorni (o, se vogliamo, 29 giorni 12 ore 44 minuti e 2,9 secondi). Infine, l'anno solare non è davvero 11 giorni più lungo dei 12 mesi lunari, in realtà è 10.89 giorni più lungo. Insomma, risulta questo calcolone:».

F = ( (11 × A + 20 + D - C) mod 30 + 30) mod 30,
Se F = 24 oppure se (F = 25 e A>11) allora F va aumentato di 1.

«Mi viene = 6, per il 2012».

«Esatto, quest'anno l'epatta è proprio 6».

«Ma perché aggiungi 30 e fai un secondo modulo 30? Che senso ha?».

«Per valori dell'anno grandi, potrebbe succedere che F risulti un valore negativo. Allora si aggiunge 30 e si ricalcola il modulo 30, così si calcola sempre un valore positivo».

«Ah. E quella seconda riga in cui modifichi F se sono vere alcune condizioni?».

«Quella tiene conto delle imprecisioni che si avrebbero considerando il mese sinodico di esattamente 30 giorni e la differenza tra anno solare e 12 mesi lunari di esattamente 11 giorni. Una delle condizioni richieste da papa Gregorio era quella di mantenere la tradizione: secondo il calendario giuliano la prima luna piena di primavera non poteva cadere il 19 aprile, ma secondo questi nuovi calcoli, sì. Per questo motivo viene effettuata quella correzione su F, quando risulta uguale a 24. Se invece risulta uguale a 25, e però nel secolo in corso ci sono stati, o ci saranno, anni con epatta pari a 24, allora la luna piena non cadrà il 18 aprile, ma il 17. Le tradizioni sono dure a morire: era così nel calendario giuliano, che aveva solo 19 valori possibili per l'epatta, uno per ogni anno del ciclo metonico, e questa strana correzione è rimasta anche col calendario gregoriano».

«Gulp».

«Detto in altri termini: dopo 19 anni le epatte dovrebbero ripetersi, ma 19 moltiplicato 11 (i famosi 11 giorni di differenza tra anno solare e 12 mesi lunari) fa 209, che non è un multiplo di 30, ma è uguale a 29 modulo 30. Questo significa che il ciclo delle epatte non si chiude, e per fare in modo che tutto torni è necessario aggiungere 1 al valore dell'epatta ogni 19 anni. Questa correzione si chiama saltus lunae».

«Sempre più difficile».

«Detto questo, abbiamo quasi fatto. La prima luna piena dopo il 21 marzo, o la luna appena precedente, sarà».

G = 44 - F.

«Che, sempre per il 2012, risulta 38. Cosa significa?».

«Significa che il 38-esimo giorno di marzo è la luna piena».

«Ma marzo non ha 38 giorni!».

«E allora si va ad aprile: il 7 aprile, per la precisione».

«Ah. E 44 da dove viene?».

«Eh, abbiamo detto che l'epatta è l'età della luna, cioè quanti giorni sono passati dalla luna nuova. La luna piena si ha, per definizione, 14 giorni dopo; 44 è semplicemente 30+14, serve per arrivare alla luna piena di marzo. Attenzione al fatto che non sempre il calcolo di G ci dà proprio la luna di marzo: se non è così dobbiamo correggerne il valore:».

se G < 21 allora G = G + 30.

«Bene. Abbiamo finito?».

«Sì, per trovare la domenica, basta quest'ultimo calcolo. Parto dal giorno della luna piena, aggiungo 7 giorni, e torno indietro fino a incontrare la domenica:».

G + 7 - (E + G) mod 7.

«Ce l'abbiamo fatta: per il 2012 risulta 39. Quindi, il 39 marzo?».

«Proprio così».

«Che non esiste, allora passiamo ad aprile: risulta l'otto aprile».

«Per sapere se la risposta è giusta, ti lascio con l'annuncio ufficiale della Pasqua di quest'anno, letto il giorno dell'Epifania nelle chiese cattoliche:».

Fratelli carissimi, la gloria del Signore si è manifestata e sempre si manifesterà in mezzo a noi fino al suo ritorno. Nei ritmi e nelle vicende del tempo ricordiamo e viviamo i misteri della salvezza.
Centro di tutto l'anno liturgico è il Triduo del Signore crocifisso, sepolto e risorto, che culminerà nella domenica di Pasqua l'8 aprile 2012.
In ogni domenica, Pasqua della settimana, la santa Chiesa rende presente questo grande evento
nel quale Cristo ha vinto il peccato e la morte. Dalla Pasqua scaturiscono tutti i giorni santi: le Ceneri, inizio della Quaresima, il 22 febbraio 2012. L'Ascensione del Signore, il 20 maggio 2012. La Pentecoste, il 27 maggio 2012. La prima domenica di Avvento, il 2 dicembre 2012.
Anche nelle feste della santa Madre di Dio, degli Apostoli, dei Santi e nella commemorazione dei fedeli defunti, la Chiesa pellegrina sulla terra proclama la Pasqua del suo Signore.
A Cristo che era, che è e che viene, Signore del tempo e della storia, lode perenne nei secoli dei secoli.

«Amen».

«Buon carnevale».

«E buona Pasqua».



Di queste cose ne avevano già parlato proprio loro, i Rudi Mathematici, nel numero 134 della prestigiosa rivista di matematica ricreativa. E adesso ne ho parlato anche io, perché scrivere è un buon metodo per comprendere un argomento.

Un'analisi del calendario gregoriano, che utilizza anche le frazioni continue, è qua.

Il testo originale di Cristoforo Clavio, con tutti i calcoletti, è qui. Auguri.

Qui una parte del testo di Clavio viene analizzata, in modo da estrarre degli algoritmi comprensibili.

Qui si può giocare con in vari algoritmi, e fare calcoli online (funziona solo con internet explorer, roba da matti). Se provate a far fare al sistema qualche calcolo, potete vedere che nel 2019 si verificherà il cosiddetto paradosso pasquale: la pasqua astronomica dovrebbe cadere il 24 marzo, ma in realtà sarà festeggiata il 21 aprile (è il caso dell'epatta 24, che deve essere corretta in 25).

Una completa analisi sul calcolo dell'epatta si trova qui.

Uno si può domandare, a questo punto, quanto deve essere lungo un vero calendario perpetuo riciclabile per tutte le occasioni. Allora, il ciclo di Metone dura 19 anni. Il calcolo del numero C corregge l'epatta per gli anni di inizio secolo (ci siamo capiti, il secolo inizia l'anno dopo) non bisestili, che sono 3 ogni 400 anni. C viene utilizzato per il calcolo di F, che lo renderà periodico se diventa multiplo di 30 (il mese sinodico): succede ogni 4000 anni. D corregge l'epatta di 8 giorni ogni 25 secoli, cioè 30 giorni in 9375 anni, e poiché D è basato anche sul numero del secolo, il ciclo dovrà essere multiplo di 100; il minimo comune multiplo di 9375 e 100 è 37500. Il giorno della settimana in cui cade il 21 marzo dipende dal ciclo principale del calendario gregoriano, che dura 400 anni. Allora, il ciclo generale per la Pasqua gregoriana ha una durata pari al minimo comune multiplo tra 19, 4000, 37500 e 400: 5 milioni e 700 mila anni. Un calendarietto.

La data più frequente, per la Pasqua, è il 19 aprile: 220400 volte su 5700000 (grazie alla correzione di F, che sposta il 26 aprile alla settimana precedente). La seconda data più frequente è il 18 aprile (la correzione di F a volte sposta il 25 aprile al 18 aprile). La meno frequente è 22 marzo.

Se la luna piena ecclesiastica capita il 21 marzo ed è sabato, allora la Pasqua cade il giorno 22 marzo: è la Pasqua più precoce possibile, la Pasqua bassa. Se invece il 21 marzo è domenica, la Pasqua sarà festeggiata la domenica successiva. Se invece la luna piena ecclesiastica capita il 20 marzo (inverno!), la luna piena primaverile arriva 29 giorni dopo, il 18 aprile. Se questo giorno è domenica, la Pasqua cade la domenica dopo, il 25 aprile, detto di Pasqua alta.

L'ultima Pasqua bassa si ebbe nel 1818 e la prossima si avrà nel 2285. L'ultima Pasqua alta si ebbe invece nel 1943 e la prossima nel 2038.

Il 21 marzo si celebra san Benedetto, mentre il 25 aprile compreso san Marco, da qui il detto: non sequitur Marcum, nec precedit Benedictum (o meglio, non precede e non coincide con san Benedetto, ma in latino si conta in modo veramente strano).

mercoledì 1 febbraio 2012

Scrutini


Inter gravissimas — parte 3


«Nel 1582, papa Gregorio XIII pubblicò la bolla Inter Gravissimas. Senti qua:».

E mentre noi stessi, forti dell'autorità che a noi, benché indegni, è stata data da Dio, ci occupavamo di questa preoccupazione [si riferisce al problema di mantenere intatti gli antichi riti ecclesiastici, pur modificando il calendario], dal caro figlio Antonio Giglio, professore di scienza e medicina, ci è stato dato il libro che il suo defunto fratello Luigi aveva scritto, in cui, per mezzo del ciclo d'epatta da lui inventato, e in relazione diretta col numero d'oro, e adattato alla durata di qualunque anno solare, ha mostrato che tutti i difetti del calendario possono essere corretti con un rapporto costante valido per tutti i secoli, in modo che il calendario non sia soggetto a nessun altro cambiamento nel futuro.

«E chi è questo Antonio Giglio?».

«Uno strano soggetto che forse ha inventato l'esistenza del fratello Luigi, di cui si sa molto poco. Ma anche un matematico, che ha lavorato al problema del calendario, e che è stato consultato da papa Gregorio per ottenere un calendario perpetuo».

«E ci è riuscito?».

«Bé, il calendario gregoriano è quello che usiamo ancor oggi, no?».

«Ed è tutta opera sua?».

«Anche, ma soprattutto del fratello Luigi. Lui ha solo portato a termine ciò che aveva fatto Luigi, che nel 1582 era già morto. In realtà, per risolvere il problema del calendario, fu nominata una commissione composta da otto persone. Fra queste, c'era anche Cristoforo Clavio (Cristoph Clau in origine (probabilmente)), il sacerdote matematico tedesco che suggerì di passare dal 4 ottobre 1582 direttamente al 15, per riallineare il calendario con la realtà».

«Che roba».

«La riforma più grossa, comunque, riguardò proprio il calcolo del giorno della Pasqua. Il ciclo lunare di 19 anni fu corretto, e tutto il calcolo fu sostituito con un nuovo algoritmo».

«Nel testo che hai citato si parla infatti di numero d'oro, di epatta, ma che roba è?».

«Eh, è il cuore del nuovo algoritmo. Pensa che Giglio e Clavio, i due matematici, erano talmente convinti della precisione del loro nuovo algoritmo, che presentarono una tabella per il calcolo della data della Pasqua che arriva fino all'anno 800000000».

«Ottocento milioni? Stai scherzando?».

«No, guarda».



«Gulp, gente sicura dei calcoli».

«Abbastanza. In realtà, l'algoritmo non può essere così preciso, ci sono troppe variabili in gioco. E, comunque, è anche affetto da un errore: il calendario gregoriano fissa la durata dell'anno a 365.2425 giorni, mentre in realtà oggi è di 365.24219 giorni: e già qui abbiamo un errore di un giorno ogni 3226 anni».

«Robetta, ma non se confrontata con l'anno ottocento milioni».

«Infatti. E poi, la durata dell'anno non è costante: a causa delle forze di marea, la velocità di rotazione della terra intorno al proprio asse diminuisce, e quindi la durata del giorno aumenta, se rapportata alla lunghezza dell'anno».

«Uh».

«E non basta: la luna si sta pian piano allontanando dalla terra, e quindi si allunga anche il mese sinodico. E come se non bastasse, anche la terra si allontana lentamente dal sole…».

«E quindi anche la durata dell'anno aumenta. Perfetto, ciao ciao alle previsioni per l'anno ottocento milioni».

«Comunque, fino all'anno 4000 dovremmo essere a posto, poi ci penseremo».

«Benissimo. Ma, alla fine, come funziona l'algoritmo?».