martedì 15 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 4. Cosa c'è da dire ancora?

“Non so immaginare cosa ci sia ancora da dire, però fammi vedere qualche altra terna pitagorica oltre a (3,4,5)”.

“Certo. Ti ricordo il teorema:”.

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.

“Ricordo”.

“Ed eccoti una tabella, con s minore o uguale di 10”.

  s  t     x   y   z
 -------------------
  2  1 |   4   3   5
  3  2 |  12   5  13
  4  1 |   8  15  17
  4  3 |  24   7  25
  5  2 |  20  21  29
  5  4 |  40   9  41
  6  1 |  12  35  37
  6  3 |  36  27  45
  6  5 |  60  11  61
  7  2 |  28  45  53
  7  4 |  56  33  65
  7  6 |  84  13  85
  8  1 |  16  63  65
  8  3 |  48  55  73
  8  5 |  80  39  89
  8  7 | 112  15 113
  9  2 |  36  77  85
  9  4 |  72  65  97
  9  6 | 108  45 117
  9  8 | 144  17 145
 10  1 |  20  99 101
 10  3 |  60  91 109
 10  5 | 100  75 125
 10  7 | 140  51 149
 10  9 | 180  19 181

“Uh, la prima è proprio (3,4,5)”.

“Sì, ordinata in modo diverso perché abbiamo deciso di chiamare con x il cateto pari”.

“Vero”.

“Ora, avendo scritto un po' di numeri con cui poter giocare, ecco un paio di proprietà. Prima: x è divisibile per 3, oppure y è divisibile per 3”.

“Fammi controllare… sembra vero”.

“Lo è. Però facciamo una dimostrazione, non un controllo su un esiguo numero di terne”.

“Che sono infinite, no?”.

“Appunto, quindi controllarne solo alcune non dimostra nulla”.

“Ok. Come lo dimostriamo?”.

“Se 3 divide x, siamo già a posto, fine del problema”.

“Bé, ma che dimostrazione è?”.

“È un pezzo di dimostrazione, porta pazienza. Primo caso: se 3 divide x, il teorema è già dimostrato e siamo a posto”.

“Ma non è detto che 3 divida x, no?”.

“No, infatti, e questo è il secondo caso: se 3 non divide x vuole dire che non divide né st, dato che x = 2st”.

“Ah, ho capito, stai analizzando separatamente i due casi. Il primo è ovvio, il secondo invece mi sembra meno semplice”.

“Certo. Se 3 non divide s e non divide t, come possiamo scriverli in modo tale da mettere in evidenza questa proprietà?”.

“Possiamo dire che s = 3+ 1, per esempio”.

“Molto bene, ma non è l'unica possibilità”.

“Giusto, s potrebbe anche essere uguale a 3+ 2”.

“Certo, ci sono tre possibilità: o un numero è divisibile per 3 (e quindi lo possiamo scrivere come 3h), o ha resto 1 nella divisione per 3 (e lo possiamo scrivere come 3+ 1), o ha resto 2 (e lo scriviamo come 3+ 2). Non ci sono altri casi”.

“Ok. Stessa cosa per t: potrebbe essere 3+ 1 oppure 3+ 2”.

“Giusto. A questo punto calcola s2”.

“In entrambi i casi?”.

“Sì”.

“Allora, nel primo caso, quello in cui s = 3+ 1, se elevo al quadrato ottengo s2 = 9h+ 6+ 1”.

“Cosa puoi dire per quanto riguarda la divisione per 3?”.

“Che questo è ancora un numero del tipo 3+ 1, cioè dà ancora resto 1”.

“Perfetto. Controlla l'altro caso”.

“Darà come resto 2”.

“Controlla bene”.

“Mh. Allora, se = 3+ 2, si ha che s= 9h+ 12+ 4, quindi è del tipo 3+ 4. No, 4 è troppo, come faccio?”.

“Ricordati che 4 è uguale a 3 più 1”.

“Ah, ma certo, s= 3+ 4 = 3+ 3 + 1 = 3(+ 1) + 1, cioè 3K+1. È ancora dello stesso tipo!”.

“Già. Hai scoperto che i quadrati di numeri non divisibili per 3 hanno sempre resto 1 nella divisione per 3”.

“Non lo sapevo”.

“Eh, ora possiamo concludere: dato che y è uguale a s- t2, quanto sarà il resto della divisione di y per 3?”.

“Bé, si può scrivere y = (3+ 1) - (3+ 1), quindi y = 3- 3K. Ehi, y è divisibile per 3”.

“Ecco dimostrata la proprietà: o x è divisibile per 3, oppure lo è y”.

“Bello. Avevi parlato di un paio di proprietà?”.

“Sì, eccone un'altra: in una terna pitagorica primitiva almeno uno tra gli interi x, y e z è divisibile per 5”.

“Ah. Si ragiona allo stesso modo?”.

“Più o meno, sì. Se un numero non è divisibile per 5 puoi scriverlo in quattro modi diversi, a seconda del resto della sua divisione per 5”.

“Esattamente come prima. Se il numero… lo chiamo a, non è divisibile per 5, posso scriverlo così:”.

a = 5+ 1
a = 5+ 2
a = 5+ 3
a = 5+ 4

“Giusto. Ora eleva al quadrato, ma non stare a fare tutti i calcoli. Tieni presente che quando svolgi i calcoli del quadrato di binomio, il quadrato del primo termine contiene 25, mentre il doppio prodotto contiene 5”.

“Ah, vero! Allora la somma dei primi due termini è sempre divisibile per 5, mi rimane da controllare cosa succede al quadrato del secondo termine”.

“Esatto. Scrivi l'elenco dei quadrati dei secondi termini”.

“Sarebbe questo:”.

1
4
9
16

“Giusto. Come si comportano questi numeri nella divisione per 5?”.

“Vediamo… 1 dà resto 1, naturalmente, 4 dà resto 4, 9 dà resto ancora 4, e 16 dà resto 1”.

“Riassunto: il quadrato di un numero non divisibile per 5 dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5”.

“Ok, e adesso?”.

“E adesso abbiamo, come prima, due casi. O z è divisibile per 5…”.

“E abbiamo già dimostrato quello che vogliamo dimostrare”.

“Oppure non lo è. In questo caso il suo quadrato dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5. Se non fossero divisibili per 5 nemmeno x e y, anche i loro quadrati darebbero resto 1 oppure 4”.

“Bene”.

“Ma la somma di x+ y2 che resto darebbe?”.

“Ci sono vari casi, non so”.

“Prova a elencarli, non sono tanti. Fai direttamente le somme con i resti”.

“Ho queste possibilità”.

1 + 1
1 + 4
4 + 1
4 + 4

“Giusto. Il primo caso dà un resto di 2, il secondo un resto di 0…”.

“Di cinque! Uno più quattro fa cinque”.

“Ma no, in una divisione per 5 non puoi avere resto 5: il fatto che venga 5 significa semplicemente che il numero è divisibile per 5, cioè il resto è 0”.

“Ah già”.

“Il terzo caso dà ancora 0, e il quarto caso…”.

“Non 8, ma 3”.

“Giusto, 8 - 5 = 3. Quindi la somma dei quadrati di x e y darebbe resto 0, oppure 2, oppure 3 nella divisione per 5, mentre il quadrato di z può solo dare 1 oppure 4”.

“Allora è impossibile che sia x che y e z non siano divisibili per 5, uno almeno deve esserlo”.

“Proprio così”.

“Abbiamo finito?”.

“Sì. Ti faccio solo notare un'ultima proprietà: l'unica terna pitagorica formata da tre numeri consecutivi è la tua amica (3,4,5)”.

“Ah. Dimostriamo anche questo?”.

“No, te lo lascio per esercizio. Basta svolgere i calcoli”.

venerdì 11 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 3. Come sono fatte?

“Allora, oggi mi dici come sono fatte le terne pitagoriche primitive?”.

“Sì. Vediamo di costruirle pian piano. Abbiamo detto che se vale l'equazione x2 + y2 = z2 allora x è pari, y è dispari, z è dispari”.

“A meno di uno scambio tra x e y”.

“Esatto, è solo una questione di nomi. Il triangolo rettangolo ha due cateti, uno pari e uno dispari. Quello pari si chiama x”.

“Perfetto”.

“Inoltre, in una terna primitiva non ci sono fattori comuni tra x, y e z”.

“Nemmeno se li si prende a due a due”.

“Vero anche questo. Infine, possiamo anche sottolineare il fatto che z è maggiore di y”.

“Certamente, è l'ipotenusa”.

“Quindi y è una quantità positiva”.

“Vero anche questo, ma perché me lo dici?”.

“Perché ci serve saperlo tra un attimo. Dato che x2 è uguale a z2-y2, utilizzando la formuletta della differenza tra due quadrati possiamo scrivere:”.

x2 = (- y)(+ y)

“Ok, ci sono”.

“(- y) è una quantità positiva, perché z è maggiore di y, come abbiamo detto poco fa”.

“Ah, ecco perché me l'hai fatto notare”.

“E naturalmente anche (+ y) è positiva”.

“Certo”.

“Sono anche entrambe quantità pari”.

“Questo perché…”.

“La somma e la differenza di due numeri dispari danno un numero pari”.

“Giusto”.

“Quindi possiamo indicare (- y) con 2u e (+ y) con 2v”.

“Va bene, così è evidente che sono numeri pari”.

“E dunque x2 = (- y)(+ y) = 4uv”.

“Fin qua ci sono”.

“Allora (x/2)2 sarà uguale a uv.”.

“Va bene, anche se mi piace poco quella frazione”.

“Ma in realtà non è una frazione, perché abbiamo detto che x è pari, quindi stiamo sempre lavorando con numeri interi”.

“Ah, giusto! Ci sono, allora, andiamo avanti”.

“Ragioniamo un momento su questi due numeri u e v. Voglio dimostrare che sono primi tra loro”.

“E come fai?”.

“Intanto ti faccio notare che si possono esprimere in funzione di y e z. Cosa si può ricavare, infatti, da queste due relazioni?”.

+ y = 2v
- y = 2u

“Cosa si può ricavare?”.

“Se le sommi, ottieni che 2z = 2(+ u), no?”.

“Vero. Quindi z = + u”.

“E se le sottrai?”.

“Se faccio la prima meno la seconda ottengo 2y = 2(- u). Quindi y = - u. Ah, allora z e y si possono esprimere facilmente in funzione di u e v:”.

z = + u
y = - u

“Molto bene. Allora possiamo dimostrare quello che abbiamo detto un momento fa: u e v sono primi tra loro perché, se avessero un fattore comune, questo sarebbe comune anche a + u e a - u, e di conseguenza sarebbe comune a z e y”.

“Che però devono essere primi tra loro”.

“Esattamente, l'abbiamo dimostrato l'altra volta, è quella che abbiamo chiamato proprietà 3.”.

“E adesso?”.

“Adesso torniamo all'uguaglianza (x/2)2 = uv. Abbiamo un prodotto di due numeri primi tra loro che dà come risultato un quadrato, quindi…”.

“Quindi, applicando la proprietà 4, possiamo dire che quei due numeri sono due quadrati!”.

“Perfetto, quindi possiamo indicare u con t2 e v con s2”.

“Molto bene”.

“Dato che - u è uguale a y, numero positivo, questo significa che v è maggiore di u, e quindi che s è maggiore di t”.

“Giusto anche questo”.

“E allora abbiamo finito, ecco come sono fatte le terne pitagoriche:”.

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

“Ah, ecco. Un momento, la prima uguaglianza da dove viene?”.

“Bè, avevamo detto che x= 4uv, cioè 4s2t2”.

“Ah, ok, facciamo la radice. Ma possiamo assegnare a s e t tutti i valori che vogliamo?”.

“No. Abbiamo già detto che s deve essere maggiore di t, perché y deve risultare positivo”.

“Vero”.

“Inoltre s e t devono essere uno pari e uno dispari”.

“Provo a capire perché, ormai ci ho preso la mano… Allora, se fossero entrambi pari, vediamo, la loro somma e la loro differenza sarebbero pari, ma allora y e z sarebbero entrambi pari, e non va bene”.

“Stessa cosa se fossero entrambi dispari, no?”.

“Ah, certo, la somma e la differenza di due numeri dispari sono pari, quindi si fa esattamente lo stesso ragionamento”.

“Infine: è possibile che s e t abbiano fattori comuni?”.

“No, questo è facile: se li avessero li avrebbero anche x, y e z”.

“Benissimo. Questo è il teorema, che non è ancora completo però”.

“Cosa manca?”.

“Il viceversa. Cioè adesso abbiamo detto che se abbiamo una terna pitagorica allora la si può scrivere in funzione di s e t come detto poco fa. Viceversa, dati s e t con le caratteristiche dette sopra, è sempre vero che generano una terna pitagorica?”.

“Ah. Boh, e come si fa a saperlo?”.

“Qui è facile, si fa il calcolo. È vero che x2 + y2 = z2? Prova a calcolarlo”.

“Allora, x2 sarebbe 4s2t2, mentre y2 sarebbe s4 - 2s2t2 + t4. Se li sommo ottengo s4 + 2s2t2 + t4”.

“Che, guarda un po', è proprio il quadrato di z”.

“Ah, bene, allora abbiamo finito”.

“Quasi”.

“Ma come? Cosa c'è ancora?”.

“Eh, quella che hai ottenuto è effettivamente una terna pitagorica, l'hai appena dimostrato. Ma è anche primitiva?”.

“Uffa. Allora, vediamo, se x, y e z avessero un fattore comune…”.

“Chiamalo p, e supponi che sia primo”.

“Se avessero un fattore comune avrebbero anche un fattore primo comune, lo chiamo p, ok”.

“Questo p dovrebbe dividere anche + y”.

“Certo”.

“E + y è uguale a 2s2”.

“Fammi controllare… ok, giusto, basta sommarli”.

“E ragionando allo stesso modo, p dovrebbe dividere anche - y”.

“Giusto. Ti anticipo dicendo che - y è uguale a 2t2”.

“Perfetto. E osserva anche il fatto che p non è uguale a 2”.

“Uh, allora, p non è 2 perché…”.

“Perché divide x e anche y, ma uno è pari e uno è dispari”.

“Giusto”.

“Quindi p divide 2s2, p divide 2t2, p non è 2”.

“E allora p dividerà s2 e t2”.

“E dunque, siamo alla fine, p divide s e anche t. Ma s e t erano…”.

“Primi tra loro! Impossibile! Ah, finalmente, abbiamo dimostrato che quella è davvero la formula per ottenere tutte e sole le terne pitagoriche”.

“Te la riassumo qua sotto:”.



Tutte e sole le terne pitagoriche primitive con x pari sono date dalle formule seguenti:

x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2

con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.



“Uff. Finito?”.

“Sì. Bé, la prossima volta concludiamo con qualche proprietà poco nota, e poi magari scriviamo anche qualche terna diversa dalla solita (3,4,5)”.

“Molto bene”.

martedì 8 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 2. Che proprietà hanno?

“Allora, mi hai detto che in una terna pitagorica i due cateti sono uno pari e uno dispari”.

“Esatto. Da adesso in poi diciamo che quello pari sia quello che abbiamo indicato con x, e quindi quello dispari è y”.

“E z?”.

“Proviamo a capire se c'è anche qualche proprietà che riguarda z. Può essere pari?”.

“Eh, boh, devo provare”.

“Prova. Ricordati che l'equazione x2 + y2 = z2 può anche essere scritta come y2 = z2 - x2”.

“Ah, allora se sia x che z sono pari, dovrebbe esserlo anche y”.

“Che invece è dispari”.

“Allora è impossibile che z sia pari, quindi deve essere sempre dispari”.

“Benissimo, ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 2: in una terna pitagorica primitiva, x è pari, y è dispari, z è dispari (a meno di uno scambio tra x e y)

“Molto bene”.

“Ora, è possibile che i due termini y e z abbiano fattori in comune?”.

“Se ce li hanno, devono essere dispari”.

“Giusto. Inoltre, se ce li hanno, li possiamo scomporre e possiamo così affermare che esiste un numero primo p che li divide entrambi”.

“Certo”.

“E quindi p divide anche i loro quadrati”.

“Senza dubbio”.

“E allora p deve dividere anche il quadrato di x, perché x2 = z2 - y2”.

“Ma allora p li dividerebbe tutti e tre, e questo è impossibile, perché abbiamo a che fare con terne primitive”.

“Forse x e y potrebbero avere qualche fattore comune, allora?”.

“Mah, mi sembra che si possa ripetere il ragionamento appena fatto. Non serviva sapere che y e z fossero dispari”.

“Esatto. Quindi nemmeno x e z possono avere fattori comuni, giusto?”.

“Giusto. Ecco una nuova proprietà:”.

Proprietà 3: in una terna pitagorica primitiva, MCD(x,y) = MCD(x,z) = MCD(y,z) = 1

“Che è un modo complicato per dire che nemmeno presi a coppie x, y e z hanno fattori comuni”.

“Proprio così. Ora vediamo un'ultima proprietà, che è abbastanza semplice da raccontare, ma un po' noiosa da dimostrare alla maniera dei Veri Matematici”.

“Uhh”.

“Eccola:”.

Proprietà 4: Se il prodotto di due numeri primi tra loro è un quadrato, allora i due numeri sono due quadrati

“Mh”.

“Il prodotto di due numeri primi tra loro è 36, che è un quadrato. Quali sono questi due numeri?”.

“Sei e sei. Sei per sei fa trentasei. Ma sei non è un quadrato, qualcosa non va”.

“Certo che qualcosa non va: sei e sei non sono primi tra loro”.

“Ah, ehm, vero”.

“I due numeri corretti sono 4 e 9, che sono due quadrati”.

“Già”.

“Questo vale sempre”.

“Ed è difficile da dimostrare?”.

“No, è noioso perché devi sempre pensare alle scomposizioni in fattori primi dei numeri, e allora le formule da scrivere sono lunghe perché non sai mai a priori in quanti fattori sia scomponibile un numero. Comunque, vediamo un'idea di dimostrazione. Indichiamo con a e b i due numeri che, moltiplicati, danno un quadrato, che indichiamo con c2”.

“Ok, ab = c2”.

“Succede che a sarà scomponibile in fattori, così come b”.

“Certo”.

“Dato che a e b sono primi tra loro, i fattori della scomposizione di a saranno diversi da quelli della scomposizione di b”.

“Ok”.

“E quindi i fattori di ab saranno tutti quelli di a assieme a tutti quelli di b”.

“Giusto”.

“Ma tutto questo è uguale a c2, che sarà pure lui scomponibile in fattori. Ma è un quadrato…”.

“Quindi nella sua scomposizione ci saranno tanti fattori al quadrato”.

“Questo è il punto. Dato che il teorema fondamentale dell'aritmetica ci dice che la scomposizione in fattori primi è unica, la scomposizione in fattori di ab deve essere uguale a quella di c2”.

“Ah, allora ci saranno quadrati anche nella scomposizione di a e b”.

“Ed ecco fatto: anche a e b sono quadrati. Te lo faccio capire meglio con un esempio: il prodotto ab = 8100, che è il quadrato di 90. Prova a scomporlo:”.

“Dunque, 8100 è 223452. Come faccio a sapere chi sono a e b?”.

“Fai i vari casi, ma ricordati che devono essere primi tra loro”.

“Allora, potrei avere a = 22 e b = 3452”.

“E sia a che b sarebbero due quadrati”.

“Vero. Oppure potrei avere a = 2234 e b = 52”.

“E anche in questo caso hai due quadrati”.

“Ah, ma ho capito, si hanno sempre quadrati. L'unico modo per non averli sarebbe quello di spezzare le potenze distribuendole un po' su a e un po' su b”.

“Ma non si può, perché a e b devono essere primi tra loro”.

“Ok, ho capito. E adesso?”.

“Adesso costruiamo queste benedette terne”.

sabato 5 settembre 2015

Le terne pitagoriche, spiegate bene — 1. Cosa sono?

“Ahh, i bei tempi in cui si poteva giocare”.

“Eh?”.

“Ma sì, me lo vedo Pitagora, nei pomeriggi di Natale, intorno alla tavola assieme ai suoi soci, con il nonno che estraeva i numeri, tre!, quattordici!, quindici!, e Pitagora che urlava terna!, e Ippaso invece tombola!, e Pitagora si arrabbiava sempre, e poi si sa che fine ha fatto Ippaso…”.

“…”.

“E allora Pitagora voleva cambiare gioco, dai mettiamoci a suonare un po' la lira, sentite come vibrano bene queste corde, Ippaso smettila che sei stonato, e gli altri basta Pitagora ci hai rotto con le tue corde che suonano, ma una bella batteria quando la mettiamo su, che noia questa musica, e se sei sfortunato alla tombola non è mica colpa nostra…”.

“ALLORA”.

“Ehm”.

“NO, DICO”.

“Erano altre terne quelle di cui volevi parlare, vero?”.

“Già”.

“Forse quelle del teorema di Pitagora, vero?”.

“Eh”.

“Il quadrato costruito sull'ipotenusa di un triangolo rettangolo è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti”.

“Così andiamo meglio. Se vogliamo tradurre in formule, x2 + y2 = z2”.

“Dove x e y sono i cateti e z invece è l'ipotenusa, vero?”.

“Certo. Per terna pitagorica si intende una terna di numeri naturali che soddisfa quell'equazione”.

“La famosa terna 3, 4 e 5. Mi ricordo solo quella…”.

“Quella è un esempio, ma ce ne sono altre. Tante altre. Naturalmente se trovi una terna di numeri interi che va bene, puoi anche cambiare qualche segno e quello che ottieni soddisfa ancora l'equazione, perché tanto elevi tutto al quadrato e i segni si perdono”.

“Anche se non ha significato geometrico”.

“Infatti. Noi ragioniamo sui numeri positivi per non avere problemi di segno”.

“Ok”.

“Allora, la domanda è: come sono fatte queste terne? Che proprietà hanno? Come si trovano?”.

“Boh?”.

“Una prima proprietà che possiamo notare subito (e che conoscono anche gli studenti delle medie, quando risolvono problemi che si basano sulle terne pitagoriche) è questa: data una terna che soddisfa l'equazione x2 + y2 = z2, ne possiamo trovare infinite altre moltiplicando tutti i termini della terna per un fattore comune”.

“Cioè mi stai dicendo che se va bene la terna (3,4,5) allora va bene anche la terna (6,8,10)? Mh, sì, in effetti è vero, il fattore comune viene elevato al quadrato e lo si può semplificare”.

“Esattamente, se (x,y,z) soddisfa all'equazione del teorema di Pitagora, allora lo fa anche la terna (dx,dy,dz), perché risulta d2x2 + d2y2 = d2z2”. Dividendo tutto per d2 ritrovi l'equazione iniziale.

“Ok, chiaro. Quindi in sostanza ci interessano le terne non semplificabili”.

“Sì, che vengono dette terne pitagoriche primitive, e sono tali per cui il massimo comun divisore tra x, y e z è uguale a 1”.

“Cioè sono non semplificabili, come ho detto io”.

“Io ho usato il linguaggio che usano i Veri Matematici”.

“Che sono abituati a complicare le cose semplici”.

“Ma no, sono solo precisi”.

“Ma smettila… Allora dobbiamo capire come sono fatte queste terne primitive?”.

“Sì, vediamo una prima proprietà. Diamo sempre per scontato che x e y siano le lunghezze dei due cateti, mentre z è l'ipotenusa. Domanda: x e y possono essere entrambi numeri pari?”.

“Boh? No, hai detto che devono essere primi tra loro”.

“No. L'affermazione che hai appena detto tu è diversa: io ho detto che x, y e z devono essere primi tra loro, ma è possibile che x e y abbiano fattori comuni. In realtà vedremo dopo che non è così, ma adesso non lo sappiamo ancora”.

“Ah, ok. Come faccio allora a sapere se x e y possono essere entrambi pari?”.

“Prova: se sono entrambi pari come saranno i loro quadrati?”.

“Pari pure loro”.

“Puoi dire di più: sono divisibili per il quadrato di 2, cioè sono multipli di 4”.

“Giusto”.

“E dall'equazione x2 + y2 = z2 puoi immediatamente dedurre che anche il quadrato di z deve essere divisibile per 4…”.

“E quindi z deve essere pari, ma questo non è possibile, perché stiamo studiando le terne primitive! In questo caso invece avremmo tre numeri pari, e non va bene”.

“Molto bene. Possono essere entrambi dispari?”.

“Eh, uhm, qui non so mica rispondere, se sono dispari non vuole dire che abbiano un fattore comune”.

“Vero. Se sono dispari li puoi scrivere in questo modo: x = 2h + 1, y = 2+ 1”.

“D'accordo, i numeri dispari si possono scrivere così. È come dire che sono uguali a un numero pari più uno”.

“O, se vuoi usare l'aritmetica modulare, è come dire che sono congruenti a 1 modulo 2. Insomma, il resto della divisione per 2 è uguale a 1. Quando elevi al quadrato, il resto della divisione per 2 sarà ancora 1”.

“Che è un modo complicato per dire che il quadrato di un numero dispari è dispari. Se non c'era un fattore 2 prima di elevare al quadrato, non c'è nemmeno dopo”.

“Perfetto. Cosa mi dici allora della somma dei due quadrati dispari?”.

“Dispari più dispari fa pari”.

“Bene, ma rispetto alla divisione per 4? Quanto vale il resto della divisione per 4 di un dispari più un altro dispari?”.

“Boh?”.

“Dobbiamo fare il calcolo. Eleva al quadrato (2+ 1)”.

“Col quadrato del binomio?”.

“Certo”.

“Viene 4h+ 4+ 1… ah, forse ho capito. È un numero che si può scrivere come 4+ 1”.

“Molto bene”.

“Quindi il quadrato di un numero dispari dà resto 1 nella divisione per 4. Bello”.

“E se sommi due quadrati di dispari, cioè due numeri del tipo 4+ 1 e 4+ 1?”.

“Ottengo 4(+ K) + 2, quindi z2 dovrebbe essere un numero che, nella divisione per 4, mi dà resto 2”.

“E questo è impossibile”.

“Perché?”.

“Perché l'abbiamo appena visto: se un numero è pari, il suo quadrato è divisibile per 4, e quindi il resto della divisione per 4 è 0. Se è dispari, il resto è 1. Non ci sono altre possibilità, è impossibile che un quadrato abbia resto 2 nella divisione per 4”.

“Ahh. Ma allora se x e y non possono essere entrambi pari o entrambi dispari, vorrà dire che saranno uno pari e uno dispari”.

“Certo, è rimasta solo questa possibilità. E almeno una volta è verificata, la terna (3,4,5) esiste”.

“Bello”.

“Ok, riassumiamo quindi quello che abbiamo stabilito:”.

Proprietà 1: in una terna pitagorica primitiva x e y sono uno pari e uno dispari.

“Bene”.

“E, come bonus, abbiamo anche scoperto che il quadrato di un numero è sempre congruente a 0 oppure a 1 modulo 4”.