“Certo. Ti ricordo il teorema:”.
x = 2st
y = s2 - t2
z = s2 + t2
con s > t > 0, s e t primi tra loro, s e t hanno diversa parità.
“Ricordo”.
“Ed eccoti una tabella, con s minore o uguale di 10”.
s t x y z ------------------- 2 1 | 4 3 5 3 2 | 12 5 13 4 1 | 8 15 17 4 3 | 24 7 25 5 2 | 20 21 29 5 4 | 40 9 41 6 1 | 12 35 37 6 3 | 36 27 45 6 5 | 60 11 61 7 2 | 28 45 53 7 4 | 56 33 65 7 6 | 84 13 85 8 1 | 16 63 65 8 3 | 48 55 73 8 5 | 80 39 89 8 7 | 112 15 113 9 2 | 36 77 85 9 4 | 72 65 97 9 6 | 108 45 117 9 8 | 144 17 145 10 1 | 20 99 101 10 3 | 60 91 109 10 5 | 100 75 125 10 7 | 140 51 149 10 9 | 180 19 181“Uh, la prima è proprio (3,4,5)”.
“Sì, ordinata in modo diverso perché abbiamo deciso di chiamare con x il cateto pari”.
“Vero”.
“Ora, avendo scritto un po' di numeri con cui poter giocare, ecco un paio di proprietà. Prima: x è divisibile per 3, oppure y è divisibile per 3”.
“Fammi controllare… sembra vero”.
“Lo è. Però facciamo una dimostrazione, non un controllo su un esiguo numero di terne”.
“Che sono infinite, no?”.
“Appunto, quindi controllarne solo alcune non dimostra nulla”.
“Ok. Come lo dimostriamo?”.
“Se 3 divide x, siamo già a posto, fine del problema”.
“Bé, ma che dimostrazione è?”.
“È un pezzo di dimostrazione, porta pazienza. Primo caso: se 3 divide x, il teorema è già dimostrato e siamo a posto”.
“Ma non è detto che 3 divida x, no?”.
“No, infatti, e questo è il secondo caso: se 3 non divide x vuole dire che non divide né s né t, dato che x = 2st”.
“Ah, ho capito, stai analizzando separatamente i due casi. Il primo è ovvio, il secondo invece mi sembra meno semplice”.
“Certo. Se 3 non divide s e non divide t, come possiamo scriverli in modo tale da mettere in evidenza questa proprietà?”.
“Possiamo dire che s = 3h + 1, per esempio”.
“Molto bene, ma non è l'unica possibilità”.
“Giusto, s potrebbe anche essere uguale a 3h + 2”.
“Certo, ci sono tre possibilità: o un numero è divisibile per 3 (e quindi lo possiamo scrivere come 3h), o ha resto 1 nella divisione per 3 (e lo possiamo scrivere come 3h + 1), o ha resto 2 (e lo scriviamo come 3h + 2). Non ci sono altri casi”.
“Ok. Stessa cosa per t: potrebbe essere 3k + 1 oppure 3k + 2”.
“Giusto. A questo punto calcola s2”.
“In entrambi i casi?”.
“Sì”.
“Allora, nel primo caso, quello in cui s = 3h + 1, se elevo al quadrato ottengo s2 = 9h2 + 6h + 1”.
“Cosa puoi dire per quanto riguarda la divisione per 3?”.
“Che questo è ancora un numero del tipo 3H + 1, cioè dà ancora resto 1”.
“Perfetto. Controlla l'altro caso”.
“Darà come resto 2”.
“Controlla bene”.
“Mh. Allora, se s = 3h + 2, si ha che s2 = 9h2 + 12h + 4, quindi è del tipo 3H + 4. No, 4 è troppo, come faccio?”.
“Ricordati che 4 è uguale a 3 più 1”.
“Ah, ma certo, s2 = 3H + 4 = 3H + 3 + 1 = 3(H + 1) + 1, cioè 3K+1. È ancora dello stesso tipo!”.
“Già. Hai scoperto che i quadrati di numeri non divisibili per 3 hanno sempre resto 1 nella divisione per 3”.
“Non lo sapevo”.
“Eh, ora possiamo concludere: dato che y è uguale a s2 - t2, quanto sarà il resto della divisione di y per 3?”.
“Bé, si può scrivere y = (3H + 1) - (3K + 1), quindi y = 3H - 3K. Ehi, y è divisibile per 3”.
“Ecco dimostrata la proprietà: o x è divisibile per 3, oppure lo è y”.
“Bello. Avevi parlato di un paio di proprietà?”.
“Sì, eccone un'altra: in una terna pitagorica primitiva almeno uno tra gli interi x, y e z è divisibile per 5”.
“Ah. Si ragiona allo stesso modo?”.
“Più o meno, sì. Se un numero non è divisibile per 5 puoi scriverlo in quattro modi diversi, a seconda del resto della sua divisione per 5”.
“Esattamente come prima. Se il numero… lo chiamo a, non è divisibile per 5, posso scriverlo così:”.
a = 5h + 1
a = 5h + 2
a = 5h + 3
a = 5h + 4
“Giusto. Ora eleva al quadrato, ma non stare a fare tutti i calcoli. Tieni presente che quando svolgi i calcoli del quadrato di binomio, il quadrato del primo termine contiene 25, mentre il doppio prodotto contiene 5”.
“Ah, vero! Allora la somma dei primi due termini è sempre divisibile per 5, mi rimane da controllare cosa succede al quadrato del secondo termine”.
“Esatto. Scrivi l'elenco dei quadrati dei secondi termini”.
“Sarebbe questo:”.
1
4
9
16
“Giusto. Come si comportano questi numeri nella divisione per 5?”.
“Vediamo… 1 dà resto 1, naturalmente, 4 dà resto 4, 9 dà resto ancora 4, e 16 dà resto 1”.
“Riassunto: il quadrato di un numero non divisibile per 5 dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5”.
“Ok, e adesso?”.
“E adesso abbiamo, come prima, due casi. O z è divisibile per 5…”.
“E abbiamo già dimostrato quello che vogliamo dimostrare”.
“Oppure non lo è. In questo caso il suo quadrato dà resto 1 oppure 4 nella divisione per 5. Se non fossero divisibili per 5 nemmeno x e y, anche i loro quadrati darebbero resto 1 oppure 4”.
“Bene”.
“Ma la somma di x2 + y2 che resto darebbe?”.
“Ci sono vari casi, non so”.
“Prova a elencarli, non sono tanti. Fai direttamente le somme con i resti”.
“Ho queste possibilità”.
1 + 1
1 + 4
4 + 1
4 + 4
“Giusto. Il primo caso dà un resto di 2, il secondo un resto di 0…”.
“Di cinque! Uno più quattro fa cinque”.
“Ma no, in una divisione per 5 non puoi avere resto 5: il fatto che venga 5 significa semplicemente che il numero è divisibile per 5, cioè il resto è 0”.
“Ah già”.
“Il terzo caso dà ancora 0, e il quarto caso…”.
“Non 8, ma 3”.
“Giusto, 8 - 5 = 3. Quindi la somma dei quadrati di x e y darebbe resto 0, oppure 2, oppure 3 nella divisione per 5, mentre il quadrato di z può solo dare 1 oppure 4”.
“Allora è impossibile che sia x che y e z non siano divisibili per 5, uno almeno deve esserlo”.
“Proprio così”.
“Abbiamo finito?”.
“Sì. Ti faccio solo notare un'ultima proprietà: l'unica terna pitagorica formata da tre numeri consecutivi è la tua amica (3,4,5)”.
“Ah. Dimostriamo anche questo?”.
“No, te lo lascio per esercizio. Basta svolgere i calcoli”.