sabato 1 gennaio 2022

Inferno, canto II

“Nel secondo canto dell'Inferno non ci sono degli evidenti riferimenti scientifici”.

“Ah, quindi passiamo al terzo?”.

“No, analizziamo questo più a fondo e troviamo qualche spunto, anche se i collegamenti sono un po' più vaghi rispetto a quelli che abbiamo incontrato nel primo canto”.

“Collegamenti, al plurale? Hai cercato più di uno spunto?”.

“Sì, e ne ho trovati tre”.

“Ah, però. Niente male per un canto senza evidenti riferimenti scientifici. Vediamo un po': qual è il primo argomento?”.

“Ecco qua:”.

"O donna di virtù, sola per cui
l’umana spezie eccede ogne contento
di quel ciel c’ha minor li cerchi sui,

“Suppongo che la donna di virtù possa essere Beatrice ma, cerchi? Di cosa parliamo?”.

“Supponi bene, è Beatrice”.

“E il resto? Cos'è che fa l'umana spezie? Di che cerchi stiamo parlando?”.

“Quei versi dicono che la specie umana supera tutto ciò che è contenuto sotto il cielo che ha la circonferenza minore di tutti gli altri”.

“Eh?”.

“La virtù di Beatrice è così grande che permette alla intera specie umana di elevarsi, di staccarsi dalle cose mondane e di avvicinarsi alle cose spirituali. Nell'universo di Dante la terra si trova al centro, e intorno a essa si trovano le sfere celesti, i cerchi. La prima, quella di raggio minore di tutte, è quella della Luna. Beatrice è così ricca di virtù che riesce a elevare tutta l'umanità al di sopra delle cose materiali, fino al cielo della Luna. Qui ci sarebbe da dire tanto sulla forma dell'universo immaginato da Dante, ma lo faremo a tempo debito (l'abbiamo poi già fatto, in passato, parlando della 3-sfera)”.

“Uh, vero”.

“Bene, qui abbiamo solo un primo accenno alle sfere celesti, e basta così”.

“E il secondo argomento che hai trovato?”.

“Ho trovato l'eliotropismo”.

“A costo di ripetermi: eh?”.

“Questa cosa qui:”.

Quali fioretti dal notturno gelo
chinati e chiusi, poi che ’l sol li ’mbianca
si drizzan tutti aperti in loro stelo

“I fiori?”.

“I fiori che si aprono, sensibili alla luce del sole”.

“Come i girasoli?”.

Come i girasoli. Solo pochi anni fa hanno scoperto come fanno i fiori a inseguire il sole, dato che non possiedono muscoli: prima non era un fatto chiaro e spiegato bene. Ancora oggi manca qualche cosa, non si è ancora capito tutto”.

“Che roba. Però qui non c'è un gran studio scientifico, ma solo un'osservazione della natura”.

“Certo, anche se l'osservazione della natura è un passo in quella direzione. E ricordiamoci che ai tempi di Dante il metodo scientifico non esisteva ancora, anche se questo non significa che erano tutti ignoranti. Allora si pensava che il mondo lo si potesse comprendere con l'intelletto, cioè con ciò che distingue l'uomo dalle bestie. Ma questo riferimento all'eliotropismo era un po' un pretesto per poter arrivare a tre riferimenti scientifici”.

“Ah. Perché proprio tre?”.

“Perché tre è un numero importante, carico di significati, e perché tre sono le donne a cui Dante fa riferimento in questo canto. Tre donne che donano la grazia all'umanità, in parallelo con le tre persone di cui è composta la Trinità. E anche con le tre fiere incontrate nel canto precedente: la lupa, il leone e la lonza. Qui non c'è scienza da raccontare, a dir la verità, ma c'è soltanto un numero. E che numero…”.

“Uh. Chi sono queste tre donne?”.

“C'è Beatrice, naturalmente. Poi ci sono santa Lucia e Maria. Tre portatrici di grazia divina”.

“Qua si entra nella teologia”.

“Eh, sì. Ci sono vari tipi grazia, e le tre donne ne rappresentano uno ciascuna. Beatrice è la grazia operante, santa Lucia la grazia illuminante, e Maria la grazia preveniente”.

“Benissimo. E con questo terzo argomento abbiamo finito?”.

“Sì, ora possiamo entrare per lo cammino alto e silvestro”.

martedì 14 dicembre 2021

Carnevale della Matematica #155 — Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel

Una partita a scacchi è patta se una determinata sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, viene ripetuta per tre volte consecutive.

Machgielis Euwe, detto Max, era un matematico olandese. Nato nel 1901 a Watergraafsmeer, un polder olandese, e morto nel 1981 a Amsterdam, ha studiato matematica e giocato a scacchi, non sempre distinguendo le due attività.

Era allievo di Weitzenböck, capitano dell'esercito austro-ungarico e matematico, e di Brouwer, quel Brouwer, il matematico olandese fondatore della scuola intuizionistica. I due erano amici, tanto che Euwe pronunciò l'orazione funebre durante il funerale di Brouwer.

Euwe è stato il quinto campione mondiale di scacchi, è stato presidente della FIDE, e ha pubblicato molti articoli e libri sul gioco degli scacchi, dei quali ne ricordiamo uno, dal titolo meravigliosamente tedesco: Mengentheoretische Betrachtungen über das Schachspiel, cioè Considerazioni teorico-insiemistiche sul gioco degli scacchi.

Ma quella regola sulla patta, con la ripetizione per tre volte consecutive della stessa posizione, sarà stata formulata correttamente?, si è domandato Euwe. Quella regola ci assicura che così tutte le partite avranno durata finita? Che non si possa andare avanti per sempre?

Due giocatori di scacchi potrebbero muovere i loro pezzi avanti e indietro senza combinare niente, producendo una partita infinita, e molto noiosa. Però, dato che il numero di posizioni sulla scacchiera è finito, prima o poi succederà che si ottenga una sequenza di mosse già vista in precedenza. E poi magari la si otterrà una terza volta: a quel punto la partita termina, senza la vittoria di nessun giocatore.

Axel Thue era un matematico norvegese, che lavorava nel campo delle approssimazioni diofantee e del calcolo combinatorio. Non risultano molti suoi lavori, almeno su Wikipedia, ma c'è una curiosità interessante che possiamo riportare: lo strano linguaggio di programmazione Thue è stato chiamato così in suo onore. Il linguaggio è strano perché, e qui cito le parole di Thue, è una pozza di catrame, come dicono gli informatici inglesi (gli italiani direbbero che se lo si prova a usare ci si impantana in fretta). Anche se è un linguaggio Turing-completo, non permette di fare facilmente le operazioni più comuni. Vabbé, pazienza.

Harold Calvin Marston Morse era un matematico americano, famoso per un libro da lui scritto intitolato Calculus of variations in the large, in cui ha introdotto la tecnica di geometria differenziale che oggi si chiama Teoria di Morse, sulla quale ha lavorato quasi esclusivamente durante tutta la sua attività accademica.

Thue e Morse, però, sono anche famosi perché hanno scoperto la successione che porta il loro nome, e che si costruisce secondo le seguenti regole:

  • servono due simboli, diciamo 0 e 1,
  • si parte da 0,
  • si prende la successione scritta al passaggio precedente, si invertono i due simboli e li si ricopiano a fianco della precedente,
  • si ripete il passaggio precedente finché si vuole.

Ecco un esempio dei primi termini di questa successione:

0
01
0110
01101001
0110100110010110

Cos'ha di speciale questa successione? Se poteste chiederlo a Max Euwe, lui risponderebbe che è notevole perché gode di questa proprietà: sceglietene un pezzetto lungo quanto volete, formato da cifre contigue, come per esempio 110, e provate a scorrere la successione andando avanti. A seconda di come lo scegliete, quel pezzetto potrebbe ricomparire, eventualmente doppio (cioè seguito da una copia di sé stesso), ma mai tre volte di seguito.

Quanto Euwe è venuto a conoscenza di questa proprietà, si è detto ah-ha!, ma allora quella regola sulla patta nelle partite di scacchi forse non funziona come ci si aspetta. Forse riesco a trovare una sequenza di mosse che funzionano come gli 0 e gli 1 nella successione di Thue-Morse, e se ci riesco allora posso creare una partita a scacchi infinita, che la regola sulla patta non riesce a bloccare.

Servivano mosse ripetibili, naturalmente, e Euwe ha pensato ai cavalli. Immaginiamo di dividere in due parti la scacchiera, secondo un taglio verticale (lui l'avrà detto in termini scacchistici più rigorosi, immagino). Alle quattro colonne di "sinistra" associamo il numero 0, alle quattro colonne di "destra" associamo il numero 1. Poi creiamo una partita secondo la successione di Thue-Morse in questo modo: se nella posizione corrente c'è uno 0, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di sinistra, se invece nella posizione corrente c'è un 1, il giocatore di turno muoverà il proprio cavallo che si trova nella colonna di destra. I cavalli non devono andare in giro per la scacchiera, però: tanto per fare un esempio, il cavallo bianco di sinistra potrà occupare solo le caselle b1-c3: se si trova in b1 andrà in c3, se si trova in c3 andrà in b1. Se si segue la successione di Thue-Morse, allora si potrà creare una partita noiosissima ma per la quale nessuna sequenza di mosse, con i pezzi tutti nella stessa posizione, sarà ripetuta per tre volte consecutive.

Euwe ha pubblicato questa sua scoperta nel 1929, e ora le regole sono cambiate.

La successione di Thue-Morse può essere definita anche direttamente, e non in modo ricorsivo. Se numeriamo le posizioni delle cifre a partire da 0, allora per scoprire quale cifra occuperà la posizione n basterà contare quante cifre 1 compaiono nella rappresentazione binaria del numero n: se il numero di cifre 1 è pari, allora la cifra in questione sarà 0, se invece il numero di cifre 1 è dispari, allora la cifra sarà 1.

Conway, che in queste cose ci sguazzava (altro che pozza di catrame), ha definito odiosi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero dispari di cifre 1 — introducendo un gioco di parole intraducibile in italiano: in inglese dispari si dice odd, e odioso si dice odious. Ha anche definito malvagi i numeri la cui rappresentazione binaria contiene un numero pari di cifre 1 — introducendo di nuovo un gioco di parole: in inglese pari si dice even, e malvagio invece si dice evil.

Ora, se andiamo a leggere le caratteristiche del numero 155 su Wikipedia, oltre alle solite proprietà che non interessano a nessuno troviamo anche elencato il fatto che è un numero odioso, perché in binario si scrive come 10011011, rappresentazione che contiene un numero dispari di cifre 1. Dunque, la cifra in posizione 155 della successione di Thue-Morse è un 1. Il fatto che 155 sia il numero ordinale del Carnevale della Matematica di questo mese non è un fatto puramente casuale, naturalmente.

“E tu hai raccontato tutta questa storia solo per nominare i numeri odiosi?”.

“Certo”.

“Ma roba da matti”.

“Ora non potrai più dimenticare i meravigliosi numeri odiosi e malvagi. E sai anche quando una partita di scacchi termina in parità”.

“Veramente no, hai parlato solo della regola vecchia”.

“Ah, ops, già. Ma la regola nuova ha un sacco di codicilli, secondo me nemmeno i giocatori la conoscono alla perfezione. Comunque la si può trovare sul sito della FIDE. Ma la possiamo leggere in un altro momento: adesso, per iniziare il Carnevale della Matematica, ti propongo un quesito scacchistico. Proviene direttamente dai Rudi Mathematici, che con questo contributo possono con ragione affermare di aver rispettato il tema del Carnevale, come del resto fanno sempre”.


“Ma come, il bianco vince? Con così pochi pezzi?”.

“Prova, e vedrai. Ma è ora di iniziare il Carnevale, ricordando un'altra proprietà di 155: si fattorizza come 5×31, e dunque il verso corrispondente della poesia Gaussiana è nero tra i cespugli”.

“Anche questa cosa della poesia Gaussiana, mah”.

“Cosa ci vuoi fare, i matematici sono così, un po' artisti, un po' poeti, un po' giocatori. Abbiamo anche la cellula melodica”.

“A tema scacchistico?”.

“Beh, naturalmente puoi interpretare l'intervallo di un semitono con il movimento di un pedone…”.

“Ma dai… Cominciamo, vah, che è meglio”.


E cominciamo da Leonardo Petrillo, che ha scritto Navillera: quando la passione oltrepassa le difficoltà della vita, i tabù e la normalità. Si tratta della recensione di un'intensa serie tv sudcoreana del 2021 intitolata Navillera. Nel mezzo della recensione vengono compiute riflessioni su importanti temi sociali, ma nell'analisi ci si riferisce anche al mondo della matematica e della scienza. Si parla anche di Squid Game, e quindi di giochi, e quindi siamo quasi in tema con il Carnevale (che, come avrete notato, parlerà di scacchi — oppure no, il Carnevale della Matematica è famoso per aver un tema che nessuno rispetta). Poi, magari nella prossima stagione di Squid Game si giocherà a scacchi, e quindi questo Carnevale potrebbe essere visto come un'anticipazione. Chissà.

Ora tocca ai Rudi Mathematici, e dato che l'ordine di pubblicazione qui coincide con l'ordine di arrivo, possiamo dire che non sono stati gli ultimi. E non perché io sappia in anticipo che qualcun altro manderà qualcosa prima della scadenza, ma perché questa volta sono stati proprio i primi, mandando il quesito scacchistico di apertura. Primi, e in tema. Che roba.

Ma per essere sicuri, come prima cosa propongono un post di cinque anni fa: 24 Dicembre 1868 – Buon compleanno Emmanuel!; in realtà, come sempre, il post sul blog è un derivato dell’articolo già pubblicato sulla Prestigiosa Rivista: Il re del gioco dei re, in RM168, dicembre 2012. L’articoletto discetta un po’ su coloro che hanno portato nel tempo la corona del regno scacchistico, giusto per poter bassamente insinuare che il più grande di tutti, GOAT insomma, non sia altro che un matematico. Non prendiamo in considerazione il ragazzotto norvegese che, sicuramente, quando il Carnevale uscirà avrà ribadito urbi et orbi che quella corona è sempre più saldamente incastrata sulla sua capoccia, ma a noi (sono i RM che parlano, naturalmente, non ho ancora iniziato a usare il plurale maiestatis, e hanno previsto correttamente la vittoria del giovane norvegese) che ce ne importa? Siamo faziosi come majorette, in casi come questi.

Vediamo altri post, meno scacchistici dei precedenti:

  • Magnifico Eulero è un Paraphernalia, come tale scritto direttamente dal GC, che parte da una foto satellitare molto sgranata relativa al terremoto in Emilia Romagna per finire a parlare prima di Eulero e poi di Fourier.
  • Il mistero di Ravensdene Park se ne sta bello bello a rappresentare il nuovo capitolo della rivisitazione che, ormai da un bel po’, i RM fanno dei problemi di Dudeney. In questo caso specifico, il problema proposto è pure un giallo, perché c’è un morto ammazzato e bisogna trovare l’assassino, manco i lettori fossero tutte Jessica Fletcher o il Tenente (Frank) Columbo.
  • Come ogni fine mese (ritardi a parte) parte sul blog il post dedicato alla risoluzione del problema pubblicato su “Le Scienze”. Questa volta è toccato a “Ricordi in cantina”, che però non è per niente la cantina buia dove noi respiravamo piano. È solo una cantina piena di cianfrusaglie, polvere, ragni e probabilmente ratti. E sì, anche di un malridotto mazzo di carte, che genera un problemino non troppo complicato.
  • Il titolo originale di questo “Buon compleanno Leopold!” era in realtà “Aramis”, perché – che ci si creda o meno – Leopold Kronecker riesce abbastanza bene a fare la parte di quel moschettiere. E sì, certo, che domande… ci sono anche gli altri, di moschettieri.
  • A questo punto mancherebbe solo “…e per Queneau?”, notevole Paraphernalia Mathematica uscito dalla tastiera del GC che si è lasciato andare su afflati poetici quando ha visto lo spiraglio che gli consentiva di mettere insieme due sue grandi amori: la matematica e i troubadours. Il condizionale usato all’inizio dipende solo dal fatto che l’uscita del suddetto PM è prevista proprio per il 14, data di uscita del Carnevale, e il link è ancora muto e pericolosamente pieno di puntini di sospensione. Speriamo funzioni tutto.
  • Di solito l’elenco dei contributi dei Rudi Mathematici si chiude dicendo cose del tipo “ci sarebbe poi il numero di RM, ma ancora non è pronto, e…) ma stavolta possiamo invece evitare la solita solfa. RM275 è incredibilmente uscito, anche se monco della parte più significativa, le “Soluzioni&Note”. Colpa del povero Piotr, che ci ha messo troppo a scrivere il compleanno di Novembre, e poi ha accelerato a Dicembre, togliendo ai lettori la possibilità di risolvere i quesiti novembrini. Ed è sempre colpa sua (o merito suo?) se questa volta l'elenco dei contributi dei RM non è l'ultimo. Dunque, bene così.

Veniamo a .mau., che sul Post ha scritto No, l’Ipotesi di Riemann non è ancora stata risolta dove ha commentato il lancio di agenzia poi ritirato sulla presunta "soluzione" di uno dei problemi irrisolti più importanti della matematica, e Vaccinarsi aumenta la probabilità di contagiare?, dove racconta cosa si potrebbe fare per vedere davvero se quell'affermazione è vera o falsa.

Sulle Notiziole i quizzini: Contro la parascevidecatriafobia, Pentacolo e triangoli, Il calciatore insaziabile, Da che parte gira il disco?, Chi volete aiutare?.

Per le recensioni, Giochi di ingegno per esercitare il cervello di Jaume Sués Caula, problemi classici con un'ambientazione però spesso nuova (e purtroppo alcuni errori di traduzione); Il grande libro degli enigmi matematici di Sylvain Lhullier, ottimo per ragazzi (l'ha persino apprezzato Cecilia che snobba queste cose e, soprattutto, contiene una scacchiera); AI Assistants dell'amico (di .mau.) Roberto Pieraccini, con la matematica che spunta spesso per spiegare come funzionano Alexa e amici; 24 ore con un matematico di Giovanni Sebastiani (che però è laureato in fisica…) che mostra come un matematico non è poi così alieno rispetto a quello che succede.

Nella sezione "matematica light" c'è Fibonacci Day, che parla appunto del giorno dedicato al matematico pisano.

Infine sugli Archivi di .mau. c'è [TESTI] I numeri nella Bibbia dove riporta il testo che ha scritto come ausilio agli insegnanti per il concorso omonimo dell'associazione Biblia.org.

Ora è il turno dei MaddMaths! Sembrerebbe difficile trovare almeno un post legato agli scacchi, ma non è così. Troverete un articolo sulla differenza di genere in matematica, che porta a farsi un po' di domande (e anche a cercare delle risposte, per quanto possibile): perché le ragazze hanno risultati migliori in ambito scolastico ma risultati peggiori nelle prove INVALSI? Perché nelle gare di giochi matematici troviamo poche ragazze, tanto che per incentivarne la partecipazione l'UMI organizza gare femminili? Sapevate che la FIDE, oltre al campionato mondiale, organizza anche un campionato mondiale femminile, che si disputerà tra poco?

  • Lettera (accorata) alla Ministra dell'Università e al Ministro dell’Istruzione sulla formazione insegnanti. Pietro Di Martino, didattico della matematica, rivolge un appello ai ministri Messa e Bianchi sulla necessità di fornire un percorso adeguato di formazione agli insegnanti di scuola secondaria, che da troppi anni è assente nel nostro paese. Abbiamo anche attivato una petizione per sostenere questo appello.
  • Un altro passo verso l'ipotesi di Riemann (che no, non è stata dimostrata). Una delle più grandi sfide della matematica è senza dubbio la cosiddetta ipotesi di Riemann. Il “sacro Graal” della matematica, che, più realisticamente, è ritenuto il più importante problema aperto della matematica, impegna studiosi di tutto il mondo da 150 anni, ossia da quando, nel 1859, Bernhard Riemann ne formulò la prima versione. Qualche giorno fa i media hanno riportato che un articolo recentemente pubblicato avrebbe "risolto" questo problema. Ovviamente le cose non stavano così e potete leggere il commento di Alessandro Zaccagnini che pochi giorni dopo ha pubblicato un approfondimento, spiegando in dettaglio di cosa si trattava: Una passeggiata aleatoria ci porterà sulla vetta della Congettura di Riemann?
  • INVALSI e differenze di genere. Chiara de Fabritiis, coordinatrice del comitato pari opportunità dell’UMI, intervista il dottor Roberto Ricci, statistico bolognese e presidente dell’INVALSI, che ci parla delle differenze di genere, soprattutto in ambito STEM. Di particolare interesse il fatto che le ragazze nelle prove INVALSI ottengono risultati peggiori, ma a scuola hanno voti migliori, una questione su cui vale la pena di interrogarsi.
  • La matematica del colore - la serie di MaddMaths!. La sensazione di colore è frutto di una lunga evoluzione e la sua modellizzazione matematica, completa o parziale, rimane ancora un problema aperto. Edoardo Provenzi, professore all’Université de Bordeaux, ci guida in un sorprendente percorso, lungo più di tre secoli, ricostruendo le tappe fondamentali dello studio matematico del colore, terminando con un racconto del suo particolare cammino scientifico. Tutte le puntate della serie le trovate su questa pagina.
  • Intervista con Lorenzo Pareschi. Lorenzo Pareschi è professore ordinario di analisi numerica presso l’Università degli Studi di Ferrara. Marco Menale lo ha intervistato per parlare di modelli matematici, aspetti computazionali e sfide future.
  • È online la piattaforma gratuita del progetto “MaMa – Matematica per la scuola elementare”. È ora online la piattaforma gratuita del progetto del Canton Ticino “MaMa – Matematica per la scuola elementare” di cui è responsabile Silvia Sbaragli.
  • 23 novembre: Fibonacci Day 2021. Da qualche anno il 23 novembre si festeggia il Fibonacci Day (che, ricordiamo per i più distratti, nei paesi anglosassoni si scrive come 11/23, ossia i primi 4 termini della successione di Fibonacci). Luca Balletti matematico e divulgatore dell’Unità Comunicazione e Relazioni con il Pubblico del Cnr ci presenta alcuni spunti per possibili animazioni scolastiche dedicate a questo grande matematico italiano.
  • Stand-up Maths: matematica e comicità. Dopo 3blue1brown e il math-segnale, Alberto Saracco ci racconta un altro canale YouTube che trova particolarmente interessante e divertente: Stand-up Maths.
  • La ballata del cambio di base (ovvero come raccontare/insegnare la matematica giocando con le canzoni). La matematica per molte persone rimane una “bestia nera”: sembra fredda e spietata, difficile e astrusa… Molti ammettono di non essere in grado di comprenderla, o addirittura se ne vantano. Paura della difficoltà tecnica? Blocco psicologico? In ogni caso, scherzarci o cantarci sopra può essere un bel modo per esorcizzare queste reazioni! Ce ne parla Francesco Malaspina.
  • Mathematical Graffiti # 13 – La casa di Orlicz. Władysław Orlicz (1903-1990) è stato un matematico polacco del ventesimo secolo appartenente alla scuola di Lwów e attivo nei campi dell'analisi funzionale e della topologia. Stefano Pisani ci racconta un episodio della sua vita.
Per la categoria LETTURE MATEMATICHE: Abbiamo infine LA LENTE MATEMATICA, una rubrica di Marco Menale

Annalisa Santi propone La matematica e la libertà di negare, in cui, citando il filosofo e matematico Imre Toth, si parla delle geometrie non euclidee e delle possibilità, per il matematico, di indagare strani e nuovi mondi. La matematica è l’espressione di una libertà umana che si manifesta nella creazione di mondi, e non dimentichiamo che oltre alle geometrie non euclidee classiche esiste anche la geometria di Manhattan (o di Torino, per gli italiani).

Abbiamo poi Alberto Saracco, a cui ho chiesto un paio di video in cui ha parlato di scacchi (e di Zio Paperone, e di Sissa Nassir). Eccoli qua:

Chiude il Carnevale Gianluigi Filippelli, con il Ritratto dedicato ad Ada Lovelace, collaboratrice di Charles Babbage nonché colei che è oggi ritenuta come la prima programmatrice della storia!

Proseguiamo, quindi, con la serie dei Rompicapi di Alice:

  • Generatore di labirinti, dove si occupa di un particolare algoritmo di generazione dei labirinti.
  • Conquiste a colori, una puntata un po' particolare della serie in cui si è dedicato ad alcuni giochi particolari di genere strategico.

Nella serie dei Paralipomeni presenta poi le soluzioni di alcuni dei rompicapi proposti nella serie dei Rompicapi!. Ecco gli ultimi due Paralipomeni usciti:

Tra le recensioni un giallo, I delitti del labirinto cinese di Robert Van Gulik, interessante per la presenza di un paio di labirinti nella trama.

Ne Le grandi domande della vita ecco Un Mercurio sorprendente, in cui la parte più vicina alla matematica è quella iniziale dedicata alla questione su quale sia il pianeta più vicino alla Terra.

Infine, alcuni articoli non appartenenti a nessuna categoria (o appartenenti alla categoria della mancanza di categoria):

  • Una indistinguibile decima sinfonia, dove racconta qualcosa sul completamento della decima sinfonia di Beethoven da parte di un'intelligenza artificiale a partire dagli appunti sparsi lasciati dal maestro.
  • Per fortuna non è venerdì, un articoletto sul numero 17.
  • Dante divulgatore, articoletto di presentazione del podcast CosmoBrain dedicato a Dante Alighieri in cui si è parlato anche di matematica e geometria. E non dimentichiamo il fatto che Dante ha citato, nella Divina Commedia, la leggenda relativa al gioco degli scacchi.


Bene, il Carnevale finisce qua. Non mi rimane che ricordare che il Carnevale di gennaio verrà ospitato da Leonardo Petrillo, sul blog Scienza e Musica, con tema "Matematica della vita e vita nella matematica" (tema che, naturalmente, nessuno rispetterà).

giovedì 11 novembre 2021

Inferno, canto I

“La Divina Commedia?”.

“Già. Sto per imbarcarmi in una impresa titanica”.

“Uh, quale?”.

“Cercare tutti i riferimenti scientifici che fa Dante all'interno della Divina Commedia”.

“Oh, molto bene. Quindi, che cosa hai trovato?”.

“Eh, già nel primo canto dell'Inferno, prima ancora di iniziare tutto, ci sono già dei problemi”.

“Immagino. La tua non è impresa da pigliare a gabbo”.

“Ecco”.

“Cosa hai scoperto?”.

“Questa roba qua:”.

Temp' era dal principio del mattino,
e 'l sol montava 'n sù con quelle stelle
ch'eran con lui quando l'amor divino
mosse di prima quelle cose belle;

“Di cosa parla?”.

“Dante ci sta dicendo, a modo suo, la data”.

“Il giorno in cui è iniziato tutto? Quando si trovò nella selva oscura?”.

“Esatto. Era l'alba, il sole stava sorgendo, e assieme al sole stavano sorgendo quelle stelle che già erano sorte assieme al sole al momento della creazione del mondo”.

“Un modo un po' arzigogolato per comunicare una data”.

“Già, soprattutto per i problemi scientifici che pone”.

“Ah, sì?”.

“Sì. Qui non c'è scritto, ma siamo nel 1300”.

“Siamo sicuri?”.

“Non siamo sicuri di niente, ma più avanti Dante farà riferimento al Giubileo del 1300, quindi siamo abbastanza sicuri, anche se c'è chi non è d'accordo e propone il 1301”.

“Ma è così importante? In fondo è solo…”.

“Non dirlo. Non è mai solo qualcosa con Dante, c'è sempre qualcos'altro, qualcosa sotto, qualcosa nascosto. E non bisogna trascurare gli aspetti scientifici: non siamo ai giorni nostri in cui molti umanisti si vantano di non sapere la matematica, o la fisica”.

“Ok, non lo dico”.

“Ma non commentiamo tutta la Divina Commedia adesso, non ne sono nemmeno capace. Provo più umilmente a cercare di capire i riferimenti scientifici in questi versi del primo canto dell'Inferno, lasciando agli esperti la visione d'insieme”.

“Ok. Quale scienza abbiamo in questi versi?”.

“La nobile scienza dell'astrologia”.

“Eh?”.

“Astrologia, astronomia, ai tempi non erano molto diverse.”.

“Mh”.

“Insomma, in quei versi Dante ci sta dicendo che il sole sta per sorgere, e fin qua è facile. Assieme al sole stanno sorgendo delle stelle”.

“Se le vediamo, il sole non è ancora alto nel cielo”.

“Esatto, sono le stelle che precedono il sole. Quindi Dante sa che non solo il sole si muove nel cielo, ma lo fanno anche le stelle. Del resto, basta osservare il cielo notturno per accorgersene, non è una gran conoscenza scientifica”.

“E va bene”.

“In questo momento non ci dice quali stelle siano, ma lo dirà più avanti. Qui dice soltanto che le stelle che osserva in quel momento sono le stesse stelle che al momento della creazione hanno preceduto il sorgere del sole per la prima volta”.

“E questo è importante?”.

“Beh, non sono sempre le stesse stelle quelle che sorgono prima del sole: ogni giorno cambiano un pochino, si osserva un movimento delle costellazioni rispetto al sole”.

“Ah, ecco. Quindi se solo Dante ci avesse detto quale costellazione stava sorgendo in quel momento, noi potremmo stabilire il giorno in cui tutto ha avuto inizio”.

“Il fatto è che lo sappiamo: l'universo è stato creato il primo giorno di primavera, quando il sole era nella costellazione dell'Ariete”.

“Come dice anche l'oroscopo”.

“Esatto. Immagina Dante che guarda a oriente, in attesa dell'alba, vede le ultime stelle del cielo notturno, prima che la luce del sole le nasconda”.

“E vede la costellazione dell'Ariete”.

“Eh, no, vede i Pesci. Lo dice anche più avanti esplicitamente”.

“Ma come?”.

“Magari all'inizio della creazione il sole era preceduto dall'Ariete, ma ai tempi di Dante no. Nemmeno ai tempi nostri. Anzi, a maggior ragione oggi non è nell'Ariete”.

“E perché?”.

“Perché esiste un fenomeno fisico che si chiama precessione degli equinozi”.

“Ma figurati se Dante conosceva la precessione degli equinozi. Io l'ho sentita nominare ma non saprei descriverla”.

“Ecco cosa sapeva Dante della precessione degli equinozi: nota che sta parlando del sole, e lo scrive nel Convivio, II, xiv, 11-13”.

E per lo movimento quasi insensibile che fa da occidente in oriente per uno grado in cento anni, significa le cose incorruttibili, le quali ebbero da Dio cominciamento di creazione e non averanno fine.

“Oh. Ed è vero? Un grado ogni cento anni?”.

“Le misurazioni di oggi dicono un grado ogni 71.6 anni: nel medioevo hanno un po' approssimato, ma sono stati bravini”.

“Alla faccia dei secoli bui”.

“Già. Quindi siamo di fronte a un problema: se al momento della creazione il sole è sorto per la prima volta preceduto dalla costellazione dell'Ariete, non è possibile che anche nel 1300 sia successa la stessa cosa. O, meglio, non è possibile che nello stesso giorno del 1300 sia successa la stessa cosa”.

“Quindi come risolviamo questo problema?”.

“Beh, a un certo punto, più avanti, Dante dice che era appena passata la luna piena. Sappiamo che la luna piena di primavera è quella che poi decide la data della Pasqua, e quindi alcuni commentatori hanno pensato che il giorno in cui Dante si perde per la selva oscura non è il primo giorno di primavera, il 25 marzo, ma l'8 aprile, il venerdì santo”.

“Beh, il venerdì santo mi sembra un'ottima data per l'inizio di tutto. E in quel giorno il sole è sorto nei Pesci?”.

“Precisamente”.

“Allora non c'è nemmeno da discutere, no?”.

“Mah, c'è chi non è d'accordo. Per esempio, il Dantedì si celebra il 25 marzo”.

“Ah, addirittura una data ufficiale. Ma poi non si spiega la faccenda del sole in Acquario”.

“La si potrebbe spiegare facendo riferimento a una teoria ormai superata, quella della Trepidazione, secondo la quale la precessione degli equinozi ha un andamento alternato: quindi magari il sole è tornato in Ariete nel 1300”.

“Ma nel 1300 Dante avrebbe potuto dare un'occhiata alla finestra per notare l'errore, no?”.

“Infatti. C'è poi la faccenda di Malacoda, il diavolo che Dante incontra il giorno dopo e che fa riferimento a un terremoto causato dalla morte di Cristo: facendo i conti, si arriva a dire che l'anniversario della morte di Cristo, cioè il venerdì santo, era il giorno precedente a quello dell'incontro col diavolo, cioè il giorno in cui Dante è partito”.

“E quindi si conferma l'ipotesi dell'8 aprile”.

“A meno che non si intenda, come morte di Cristo, l'anniversario storico, cioè il 25 marzo”.

“Ho capito: non se ne esce”.

“No. Non bisogna dimenticare che Malacoda era pure bugiardo. Ma poi c'è anche chi propone date ancora diverse, in modo da fare arrivare Dante in Paradiso proprio il giorno di Pasqua, mentre se si suppone che sia partito di venerdì, il giorno di Pasqua lo vede arrivare in Purgatorio”.

“Beh, non è male arrivare in Purgatorio il giorno di Pasqua, secondo me”.

“Anche secondo me. Comunque sia, se non ci fosse la precessione degli equinozi sarebbe tutto più facile”.

“Ma cos'è, poi, questa precessione?”.

“É un fenomeno che si vede bene giocando con una trottola. Chissà se esistono ancora… Beh, comunque sia, è un fenomeno legato alla conservazione del momento angolare”.

“Ah, beh, chiarissimo”.

“Per niente. Il prof. Lewin, quello che era una star della didattica della fisica prima di andare in disgrazia, lo descrive come uno degli argomenti meno intuitivi della fisica (classica, suppongo, non è che la fisica quantistica sia così cristallina, oserei dire)”.

“In disgrazia?”.

“Sì, una storia triste. Augurandoci che abbia, come Dante, intrapreso un cammino di redenzione, non lo condanniamo alla damnatio memoriae e guardiamo quello che ha fatto come fisico. Questo video, di una sua lezione, ci mostra cosa sia la precessione. Lo faccio partire al momento della dimostrazione pratica, ma confesso che, non appena l'ho trovato, me lo sono guardato tutto dall'inizio alla fine”.


giovedì 7 ottobre 2021

Baricentro

 






“Cos'è 'sta roba?”.

“Le mediane di un triangolo si intersecano tutte in uno stesso punto che si chiama baricentro e che le divide in due parti, una il doppio dell'altra”.

“Ehhh?”.

“Il famoso teorema sul baricentro, no?”.

“Famosissimo. Però il baricentro l'ho già sentito nominare, ma in fisica”.

“Beh, la fisica è una parte della matematica che ha qualche applicazione a volte utile”.

“Andiamo bene”.

“Però, sì, anche in fisica esiste il baricentro”.

“Che ha qualcosa a che fare con la forza di gravità, mi pare”.

“E infatti in questi disegni abbiamo un solido pesante”.

“Io vedo un triangolo”.

“Non vedere un triangolo, ma un solido formato da tre masse uguali, poste nei vertici del triangolo”.

“E questo lo vediamo grazie a quei numeri 1 che ogni tanto compaiono?”.

“Esatto. Compaiono quando servono. All'inizio poniamo l'attenzione solo su due delle tre masse”.

“Quelle in basso”.

“Quelle in basso nella figura, sì. Possiamo pensare alla base del triangolo come a un'asta alle cui estremità sono fissate due masse”.

“Ok”.

“Ora, al posto di quelle due masse possiamo sostituire una massa doppia messa al centro del lato”.

“Perché al centro?”.

“Se vogliamo che quell'asta sia in equilibrio, la massa dovrà stare al centro. Se fosse spostata verso destra o verso sinistra sarebbe sbilanciata”.

“Come un'altalena?”.

“Esattamente. O come una bilancia antica, a due piattelli: il fulcro sta al centro e il braccio è in equilibrio se sul piattello di destra e su quello di sinistra ci sono gli stessi pesi”.

“Ok”.

“Nella terza figura, mettiamo in gioco anche il terzo vertice”.

“Vedo anche una nuova asta”.

“Sì, che collega il terzo vertice alla massa doppia che abbiamo usato prima”.

“E ora dobbiamo mettere in equilibrio questa nuova asta”.

“Esatto”.

“Dove va il fulcro? Non al centro, no?”.

“No: ricordi cosa diceva Archimede?”.

“Eureka?”.

“Anche. La leggenda racconta che pronunciò anche questa frase: datemi un punto d'appoggio e solleverò il mondo”.

“E cosa significa?”.

“Aveva scoperto il principio di funzionamento delle leve: se sposti il fulcro puoi sollevare grossi pesi facendo poca fatica”.

“Mh, e come?”.

“Il fulcro divide l'asta in due parti: l'asta sarà in equilibrio se il prodotto fra la distanza massa-fulcro e la massa è costante per entrambe le masse”.

“Eh?”.

“Se hai una massa uguale a 2 e una seconda massa uguale a 1, allora il fulcro divide l'asta in due parti che saranno una doppio dell'altra. La parte più corta sta dalla parte della massa maggiore, la parte più lunga dalla parte della massa minore”.

“Ah, ecco perché 1/3 e 2/3”.

“Esatto: l'asta viene divisa in tre parti, il fulcro ne tiene una da un lato e due dall'altro. In questo modo i prodotti massa-distanza sono costanti”.

“Vedo”.

“E quindi abbiamo trovato il baricentro, cioè il punto in cui possono essere concentrate le tre masse. E anche il punto che divide le mediane in due parti, una doppia dell'altra”.

“Molto bene. Ma questa è una vera dimostrazione?”.

“Perché no? La dimostrazione geometrica è diversa, usa le proprietà delle rette parallele e dei parallelogrammi, ma questa è più efficace, almeno dal punto di vista mnemonico”.

“Ok”.

“Poi, volendo, da qui si potrebbe partire per sviluppare strumenti notevoli per risolvere problemi difficili”.

“Aiuto”.

martedì 10 agosto 2021

Tokyo 2020

Come ormai di consueto, ecco la classifica olimpica che non dipende dal valore che vogliamo assegnare alle tre medaglie, purché naturalmente si considerino le medaglie d'oro superiori a quelle d'argento, e queste ultime superiori a quelle di bronzo.

Qui le altre classifiche che ho fatto in passato.






lunedì 7 giugno 2021

Capacità — 14. L'algoritmo di Shannon-Fano

L'altra volta avevo detto che sappiamo quale sia il massimo teorico che possiamo raggiungere comprimendo dei dati, ma non sappiamo come raggiungerlo”.

“Sì”.

“Beh, non è proprio così”.

“Ma come?”.

“Eh, bisogna capire bene di cosa stiamo parlando”.

“Come al solito”.

“Esatto. C'è un teorema che dice quale sarà la massima entropia che puoi ottenere, ma non ti dice quale codifica devi usare per ottenerla”.

“Ok”.

“Poi esistono dei metodi, degli algoritmi, che ti permettono di analizzare un flusso di dati e creare una codifica che possa cercare di avvicinarsi il più possibile a quel punto”.

“Quando un Vero Matematico comincia a usare frasi del genere, c'è da preoccuparsi”.

“Eh, lo so. Bisogna vedere il contesto: stiamo approssimando un flusso di dati in tempo reale, o possiamo dare un'occhiata a tutti i dati in anticipo? Dobbiamo tenere conto del fatto che ci possono essere errori che vanno corretti, oppure no? Insomma, come al solito ci sono tante sottigliezze che fanno la differenza”.

“Sgrunt”.

“Quindi, prendiamo un caso molto semplice, presentato anche da Shannon in due modi leggermente diversi. Uno ideato da lui, il secondo ideato indipendentemente da Fano (Shannon ha gentilmente specificato quell'indipendentemente, rendendo onore a Fano)”.

“Fair Play Matematico”.

“Già. Questo metodo ha bisogno di conoscere in anticipo le probabilità di ogni simbolo trasmesso”.

“E non è sempre così?”.

“Beh, no. Immagina di dover comprimere la Divina Commedia: possiedi il testo, lo analizzi, vedi le frequenze delle singole lettere. Immagina invece di dover comprimere un discorso trascritto in tempo reale: non puoi analizzare il testo, perché non è ancora stato scritto. Puoi però utilizzare le tabelle di frequenza relative alla lingua in cui è pronunciato quel discorso. Immagina infine di dover comprimere le cifre di pi greco che ti vengono calcolate al volo da un computer: come si fa a fare delle previsioni?”.

“Eh, mi sa che in quel caso sia un problema non da poco”.

“Infatti. Parliamo quindi del caso semplice: conosciamo le frequenze dei vari caratteri. Ti faccio un esempio super facile che abbiamo già visto tempo fa”.

“Benissimo”.

“Supponiamo che ci siano quattro caratteri, A, B, C e D. Supponiamo che le probabilità, cioè le frequenze relative, siano le seguenti:”.

A: 1/2
B: 1/4
C: 1/8
D: 1/8

“Ok, finora è chiaro, pare semplice”.

“Bene. I caratteri devono essere ordinati dal più probabile al meno probabile, come ho fatto”.

“Ok, lo sono”.

“Ora bisogna dividerli in due gruppi, in modo tale che la somma delle probabilità del primo gruppo sia uguale a quella del secondo”.

“Beh, qui è facile: i due gruppi sono {A} e {B, C, D}”.

“Esatto. Associamo il numero 0 al primo gruppo e il numero 1 al secondo”.

A:       0
B, C, D: 1

“Fin qui ci sono”.

“Bene, l'algoritmo è questo: si ripete di nuovo lo stesso procedimento per tutti i gruppi che non siano composti da un unico elemento”.

“Ah. Allora dovrei spezzare il secondo gruppo”.

“Sì”.

“Direi che si debba spezzare dopo B, dato che B ha probabilità 1/4 e {C, D} ha la stessa probabilità. Ora come faccio con l'associazione con 0 e 1?”.

“Aggiungi il nuovo numero al vecchio, così:”.

A:    0
B:    10
C, D: 11

“Ah, ecco. Ora devo spezzare il gruppo {C, D} e aggiungere un'altra cifra?”.

“Esatto. Vedi che le codifiche più lunghe sono associate ai simboli meno probabili, e le codifiche più corte a quelli più probabili”.

“Concludo, allora. Dovrei avere una tabella del genere:”.

A: 0
B: 10
C: 110
D: 111

“Ottimo”.

“E quindi è finito? Mi basta sostituire ai simboli quelle codifiche?”.

“Esatto”.

“Ma così risulta una codifica più lunga di quella precedente, come facciamo a dire che abbiamo compresso i dati?”.

“No, in realtà no, quella codifica che abbiamo creato è in bit, in cifre binarie, mentre i simboli A, B, C e D vanno pure loro codificati in questo modo”.

“Uhm, non mi è ben chiaro”.

“Immagina di voler codificare la stringa AAAABBCD in binario, come fai?”.

“Ah, devo usare il codice ASCII?”.

“Se usi quello, allora è evidente che stiamo comprimendo: quella stringa è formata da 8 caratteri, ogni carattere sta in un byte, totale 64 bit. Con l'algoritmo di Shannon-Fano invece diventa 00001010110111, solo 14 bit”.

“Uh, comincio a capire. Beh, la codifica ASCII è esagerata per solo quattro simboli, in effetti”.

“Esattamente. Ma se usi una codifica a lunghezza costante, analoga alla codifica ASCII, per quei quattro simboli, potresti fare una cosa del genere:”.

A: 00
B: 01
C: 10
D: 11

“Giusto, fammi fare i conti: la stringa AAAABBCD diventerebbe 0000000001011011, 16 bit”.

“Esatto: di 2 bit più lunga”.

“E non si può fare di meglio della codifica di Shannon-Fano?”.

“Facciamo i conti: quanto è la sua entropia?”.

“Oh, uhm. Per ogni lettera devo moltiplicare la probabilità per il logaritmo del suo reciproco, e sommare tutto”.

“Sì, la formula dice quello. Ecco il conto:”.

(1/2) log2(2) + (1/4) log2(4) + (1/8) log2(8) + (1/8) log2(8) = 1/2 + 2/4 + 3/8 + 3/8 = 7/4

“E questo risultato come lo interpreto?”.

“Ci dice che hai bisogno di 7/4 di bit per ogni carattere, e dato che tu hai trasmesso 8 caratteri…”.

“Ho bisogno di 14 bit! E in effetti ne ho usati proprio 14, bello. Non potevo fare di meglio”.

“Sì, questo era un esempio facile facile, con dei numeri belli, senza approssimazioni, ma ci fa capire come funziona l'idea”.

“Molto bene. Però, ho un dubbio”.

“Quale?”.

“Nella codifica simil-ASCII con due bit per carattere, io so dove finisce la codifica di un carattere e dove inizia quella del successivo, ma nella codifica di Shannon-Fano, che è a lunghezza variabile, come faccio?”.

“Ottima domanda. L'idea geniale di quel tipo di codifica è che essa è un codice prefisso, come dicono gli esperti”.

“Cosa significa?”.

“Significa che nessuna stringa di bit è anche prefisso di qualche altra stringa”.

“Ripeto la domanda: cosa significa?”.

“Guarda la tabella: A è associata a 0. C'è qualche altra lettera che ha un codice che incomincia con 0?”.

“No”.

“Quindi se in una stringa incontri uno 0, sai che hai trovato una A e che da quel punto comincia un altro simbolo”.

“Ah”.

“Invece, se trovi un 1 sai che devi andare avanti. Se trovi 10, sai che lì finisce il simbolo, perché 10 non compare da nessuna parte se non nella codifica di B”.

“Ma è davvero geniale! Se trovo 11, so che devo andare avanti e vedere se ho 110 oppure 111”.

“Proprio così. Questa codifica non è solo un'idea teorica usata per dimostrare qualcosa, ma viene usata davvero nella realtà. Nel metodo IMPLODE della compressione ZIP, per la precisione”.

“Ah, ma guarda, una parte di matematica che serve davvero a qualcosa”.

“Incredibile, eh?”.