martedì 27 febbraio 2024

Funzioni e equazioni

Questa settimana in edicola, allegato alla Gazzetta dello Sport e al Corriere della Sera, c'è questo volumetto:



Che parla di funzioni e equazioni, che sono un po' la stessa cosa e un po' no e magari si rischia di fare confusione, ma ai Veri Matematici piace vedere le cose da punti di vista diversi e quindi va bene così.

Io lo prenderei, tra l'altro la data ufficiale di uscita è il 29 febbraio, quando mai ricapita di comprare un libro proprio il 29 febbraio?

sabato 10 febbraio 2024

Inferno, canto XXIII

“L'osmio è un metallo scoperto da Smithson Tennant e William Hyde Wollaston, a Londra, nel 1803. Lo isolò insieme con l'iridio dal residuo ottenuto dallo scioglimento del platino nell'acqua regia”.

“Molto bene”.

“Peccato non fosse conosciuto ai tempi di Dante”.

“Ah, una vera mancanza”.

“Perché se Dante ne fosse stato a conoscenza, l'avrebbe sicuramente usato per la pena degli ipocriti, nella sesta bolgia”.

“E invece cos'ha usato?”.

Là giù trovammo una gente dipinta
che giva intorno assai con lenti passi,
piangendo e nel sembiante stanca e vinta.

Elli avean cappe con cappucci bassi
dinanzi a li occhi, fatte de la taglia
che in Clugnì per li monaci fassi.

Di fuor dorate son, sì ch’elli abbaglia;
ma dentro tutte piombo, e gravi tanto,
che Federigo le mettea di paglia.

“Piombo?”.

“Piombo. Sembrano monaci, camminano insieme, hanno delle cappe dorate, molto belle all'esterno, ma foderate di piombo e molto pesanti”.

“E Federigo chi è?”.

“Federico II di Svevia. Si narra che punisse i colpevoli di lesa maestà rivestendoli di una cappa di piombo e ponendoli poi in una caldaia sul fuoco, ma è quasi certamente propaganda nemica. Comunque, queste cappe di piombo sono pesantissime e i dannati se le devono portare sulle spalle per l'eternità”.

“Bene. E l'osmio cosa c'entra?”.

“L'osmio è un metallo ancora più denso del piombo, quindi un mantello di osmio sembrebbe più sottile ma avrebbe ugualmente lo stesso peso. O un mantello come quello portato dai dannati ma fatto di osmio sarebbe ancora più pesante. Insomma, sarebbe uno strumento di tortura ancora più efficace”.

“Santo cielo”.

“Dunque, cos'ha di speciale l'osmio? E, anche se in misura minore, il piombo? Perché pesano tanto?”.

“Boh, saranno atomi più pesanti, no?”.

“Sì, ma no. Cioè, se bastasse il peso atomico, allora basterebbe prendere l'ultimo elemento della tavola periodica, ma gli atomi si legano tra loro, e il problema è come lo fanno”.

“Uhm”.

“Gli atomi hanno un nucleo, nel quale si concentra quasi tutta la massa. Il rapporto tra massa dei protoni (o neutroni) e massa degli elettroni vale circa 1800”.

“Ok, e quindi ciò che conta è il nucleo”.

“Eh, ma quando leghi tanti atomi tra loro, per fare per esempio una bella giacca di piombo, conta anche la distanza tra i vari nuclei. Se i nuclei molto pesanti sono anche molto lontani tra loro, allora il materiale non è poi così tanto pesante. Uno scatolone pieno zeppo di chicchi di riso pesa di più dello stesso scatolone che contiene un solo mattone”.

“Va bene, ma la distanza tra i nuclei da cosa dipende? Intorno ai nuclei girano gli elettroni, come se fossero un mini sistema solare: c'entra questa cosa?”.

“C'entra, anche se non è vera”.

“Ma come?”.

“Il modello di atomo come mini sistema solare è superato, non funziona così”.

“Ah. Eppure mi sembrava che fosse così”.

“Quella è una prima, grossolana, approssimazione. In realtà gli elettroni non sono pianetini, c'è la faccenda della dualità onda-particella che complica un po' le cose. Gli elettroni si comportano a volte come particelle, e a volte come onde”.

“Questa cosa è incredibile, ma come si spiega?”.

“Cito Feynman: the behavior of things on a small scale is so fantastic, it's so wonderfully different, so marvelously different than anything that behaves on a large scale”.

“Ma non ha spiegato, ha solo detto che il comportamento delle cose microscopiche è molto diverso da quello delle cose macroscopiche”.

Meravigliosamente diverso”.

“Vabbe', è un fisico…”.

“E poi aggiunge: you say electrons act like waves: no, they don't exactly”.

“Ma come? Non hai detto che a volte gli elettroni si comportano come onde?”.

“Ma io non sono Feynman”.

“Ah, bene”.

“E poi aggiunge: they act like particles: no, they don't exactly”.

“Eh, ma allora”.

they act like a kind of a fog around the nucleus: no, they don't exactly”.

“Vabbe'. E allora come si fa a avere un'immagine vera di un atomo?”.

“Ha la risposta anche a questa domanda, senti qua: if you would like to get a clear, sharp picture of an atom, so that you can tell exactly how it's going to behave correctly and have a good image, in other words a really good image of reality…”.

“Eh, esatto, questo voglio sapere: si può avere una descrizione chiara di un atomo, in modo da capire come funziona? Cosa dice Feynman?”.

“I don't know how to do it”.

“Ma no!”.

“Già. E, nel caso qualcuno pensasse di non aver capito bene, aggiunge: I don't understand how it is, but we can write mathematical expressions and calculate what the thing is going to do, without actually being able to picture it”.

“Santo cielo. Dante avrebbe messo i fisici quantistici in una bolgia speciale tutta per loro, costretti a trasportare avanti e indietro dei pesantissimi libri di matematica”.

“Con le Malebranche che tirano loro dei dadi con delle fionde, fortissimo”.

“Dei dadi? Perché?”.

“Perché la matematica di cui parla Feynman ci fornisce solo la probabilità che un elettrone si trovi in una certa posizione, ma non ci dà nessuna certezza. Nonostante questo, la matematica è lo strumento che, incredibilmente, si presta benissimo a essere usato come linguaggio della fisica”.

“Incredibilmente?”.

“Sì, perché mai la fisica parla il linguaggio della matematica? Perché il mondo può essere descritto con equazioni? Perché la matematica è così efficace nel descrivere e anche nel predire?”.

“Predire?”.

“Eh, sì. A volte la struttura matematica di una teoria aiuta a predire altri fenomeni fisici, che poi vengono osservati sperimentalmente. Questa irragionevole efficacia della matematica è stata sottolineata dal fisico Eugene Wigner nel 1960 in un suo famoso articolo, che ha poi suscitato tante discussioni. C'è chi dice che questa efficacia sia un'illusione, perché l'uomo vede ciò che cerca, e chi invece dice che il mondo fisico è completamente matematico, e noi stiamo scoprendolo pian piano. E certamente non lo abbiamo ancora scoperto tutto, anche perché ci sono cose che scopriamo e non capiamo”.

“Come gli atomi”.

“Esatto. E per tornare alla domanda iniziale, cioè perché l'osmio è così denso?, premesso che non sappiamo spiegare benissimo quello che c'è sotto, possiamo però dare delle idee, delle intuizioni parziali, come la nuvoletta di elettroni intorno al nucleo. La descrizione migliore che abbiamo oggi dell'atomo è proprio quella della nube di elettroni, che non va però interpretata come un insieme di puntini che si muovo veloci, ma come una probabilità che hanno gli elettroni di trovarsi in un certo posto. Questi posti in cui si trovano gli elettroni vengono chiamati orbitali, con un nome che ricorda il modello a sistema solare, che però è sbagliato”.

“Ottimo”.

“E anche se noi non sappiamo esattamente dove sono gli elettroni, sappiamo che sono circa lì e che si muovono intorno al nucleo, e per rispettare le leggi matematiche che sono irragionevoli ma che funzionano benissimo sappiamo anche che se il nucleo è molto pesante essi devono muoversi molto velocemente. La legge matematica che descrive questo fenomeno contiene una costante famosa che ha un nome bellissimo, si chiama costante di struttura fine”.

“Uh, e che roba è?”.

“È una costante adimensionale, un numero che sta lì ma non si sa bene perché, come se fosse un artificio per fare funzionare una cosa che non abbiamo ancora ben compreso”.

“Ed è così?”.

“Cito nuovamente Feynman: It has been a mystery ever since it was discovered more than fifty years ago, and all good theoretical physicists put this number up on their wall and worry about it”.

“Perfetto”.

“Tornando ai nostri atomi, dunque, quello che succede è che gli elettroni interagiscono tra loro, non vogliono stare troppo vicini perché particelle con la stessa carica si respingono”.

“Ammesso che siano particelle”.

“Appunto. Quindi ci sono questi elettroni, che non sono in una posizione ben precisa, ma non vogliono stare troppo vicini e quindi forse una posizione ce l'hanno, e però noi possiamo conoscerla solo in termini di probabilità, e insomma questi elettroni si dispongono su orbitali che hanno varie forme, create dalle irragionevoli ma efficaci leggi matematiche. Ci sono dunque atomi con elettroni vicini al nucleo, e atomi con elettroni invece più lontani: dipende da come sono fatti gli orbitali. Ma la teoria della relatività…”.

“Un'altra roba misteriosa e irragionevole”.

“Esatto, ma che almeno non gioca a dadi, ci dice che quando un corpo si muove a velocità elevate, la sua massa aumenta”.

“Ah, ed ecco la densità dell'osmio?”.

“Esatto, ma non del tutto. È tutto un equilibrio tra elettroni la cui massa aumenta a causa della velocità (facendo aumentare la densità) e la cui nube elettronica aumenta di dimensione (facendo diminuire la densità). Insomma, contano sia la massa del nucleo sia la dimensione dell'atomo, e dunque gli atomi possono aggregarsi in materiali più o meno densi. L'osmio è un atomo pesante ma piccolino, e che quindi quando si aggrega con altri atomi a formare un reticolo cristallino metallico, crea un materiale molto denso. Il piombo, per esempio, è un atomo con un nucleo più pesante di quello dell'osmio, ma è più grande, cioè ha orbitali più grandi, e quindi quando vari atomi di piombo si mettono insieme creano un materiale un po' più leggero, perché tra i vari atomi c'è un po' più spazio (mi perdonino i fisici per tutte le imprecisioni)”.

“Anche se i dannati che indossano la tunica di piombo non sarebbero tanto d'accordo su questa leggerezza del piombo”.

“Eh, neanche un po'”.

“Ma almeno avrebbero una consolazione: i fisici quantistici sarebbero puniti con una pena più pesante della loro”.

“Poveretti”.


giovedì 7 dicembre 2023

Inferno, canto XXII

“Io ne ho viste cose che voi umani non potreste immaginarvi. Cavalieri in marcia, in combattimento e in parata, e talvolta battere in ritirata. Ho visto soldati nella vostra terra, o Aretini, li ho visti fare scorrerie, tornei e giostre. Li ho visti guidati da squilli di tromba, rintocchi di campane, tamburi, segnali dai castelli, strumenti nostrani e stranieri. Ma non ho mai visto un cavaliere, o un fante, o una nave da combattimento muoversi al suono della tromba del culo di un diavolo”.

“Ma cos'è”.

“L'inizio del canto XXII, naturalmente”.

“Leggermente parafrasato”.

“Un pochino. Volevo anche allitterare con i raggi b che balenano nel buio ma sarebbe stato bislacco”.

“Benissimo”.

“Ora possiamo andare avanti”.

“Ecco”.

“Nel canto XXII Dante è scortato dai Malebranche lungo l'argine della quinta bolgia. I dannati, più in basso, sono sommersi nella pece, e ogni tanto si vede emergere qualche schiena,”.

Come i dalfini, quando fanno segno
a’ marinar con l’arco de la schiena,
che s’argomentin di campar lor legno,

“Cos'è che fanno i delfini?”.

“Secondo Dante, segnalano ai marinai di salvare la loro nave dalla tempesta”.

“Ah, ed è vero?”.

“Mah, qualche anno fa ho avuto l'occasione di fare un'uscita con i signori della Jonian Dolphin Conservation, che ci hanno spiegato che quando i delfini vengono in superficie non lo fanno sempre per giocare e divertirsi. A volte compaiono per vedere cosa sta succedendo e per distrarre l'eventuale pericolo dagli individui più deboli, che nuotano più in profondità.”.

“Ma quindi i giochi coi delfini che si vedono nei delfinari…”.

“Per loro i delfinari sarebbero da abolire”.

“Ah”.

“D'altra parte, ci sono documentari, tra cui quelli famosi della BBC, che mostrano come i delfini in qualche occasione abbiano davvero aiutato l'uomo”.

“Beh, magari quando sono liberi possono decidere di farlo oppure no”.

“Già. Questo mostra, comunque, come l'osservazione di un fenomeno sia indispensabile ma non sufficiente. In altre parole, non dobbiamo lasciarci fuorviare dai nostri pre-giudizi: così come quando vediamo un delfino non possiamo sapere se è lì per giocare o per difendere un cucciolo che si trova cento metri sotto di lui, allo stesso modo quando osserviamo un qualunque fenomeno, una qualunque raccolta di dati, non dobbiamo fare deduzioni che ci sembrano logiche ma che non è detto che lo siano. Come dicono gli statistici: correlation is not causation”.

“Certo che parlare di correlazione coi delfini…”.

“Si fa quel che si può con quel che si ha, Dante non ha mica scritto un trattato scientifico. Però ogni tanto mette lì qualche osservazione precisa e dettagliata che ti lascia spiazzato. Comunque basta parlare di delfini, ora parliamo di pece”.

“Preferivo i delfini”.

“Che farebbero molta fatica a nuotare nella pece”.

“Senza dubbio”.

“Perché la pece è un liquido ad alta viscosità”.

“Certo”.

“La viscosità misura l'attrito tra le molecole di un liquido, come se un liquido fosse composto da tanti strati sottili in moto uno rispetto all'altro. Ciò che misura la difficoltà che hanno gli strati di scorrere uno sull'altro è proprio la viscosità”.

“Ok”.

“Tu immergi la mano in una vasca di liquido e provi a mescolarlo: se fai poca fatica il liquido è poco viscoso, se fai molta fatica il liquido è molto viscoso. Si fa meno fatica a mescolare una vasca d'acqua che non una vasca di pece”.

“Naturalmente”.

“E poi c'è un'altra caratteristica di cui tenere conto: se cambia la velocità di mescolamento, cambia la viscosità?”.

“Beh, certo”.

“La domanda è un po' più sottile: certamente cambia la forza, se vuoi mescolare la vasca d'acqua più velocemente farai più fatica, ma c'è una costante di proporzionalità che lega forza e velocità di mescolamento? Oppure non c'è nemmeno quella?”.

“Ah boh. Mi verrebbe da dire che c'è, ma se lo chiedi in questo modo forse la risposta è un'altra”.

“Bene, niente preconcetti! La risposta, comunque, è dipende”.

“Capirai”.

“Ci sono liquidi che mostrano questa caratteristica, questa costante di proporzionalità. Si chiamano fluidi newtoniani, e l'acqua ne è un esempio”.

“Oh, bene”.

“Ma ci sono anche fluidi non newtoniani. Ci sono fluidi, per esempio, per i quali l'aumento della velocità di mescolamento fa aumentare la viscosità: si chiamano fluidi dilatanti, e l'esempio classico che si fa per mostrare la loro strana caratteristica è quello dell'amido di mais”.



“Wow”.

“E ci sono esempi di tutti i tipi. Per esempio, ci sono fluidi per i quali l'aumento della velocità di mescolamento fa diminuire la viscosità: questi vengono detti assotiglianti al taglio”.

“Un esempio?”.

“Il ketchup. Fai fatica a estrarlo dalla bottiglia, ma se la agiti un po' allora il liquido è meno viscoso ed esce meglio”.

“Accidenti, è vero”.

“E ci sono ancora altre caratteristiche: liquidi per i quali aumenta o diminuisce la viscosità in base al tempo di mescolamento, e non alla velocità. Sono detti reopessici i primi e tissotropici i secondi”.

“Quanta roba”.

“In geologia ci sono i reidi, che sono solidi che presentano caratteristiche di deformabilità tipiche dei liquidi. C'è gente che ha studiato la deformazione di due lastre di granito nel corso di vent'anni, pubblicando nel frattempo alcuni articoli scientifici”.

“Ah, come il vetro, che si deforma dopo molto tempo”.

“Purtroppo quella è una leggenda metropolitana, se ti riferisci alle deformazioni delle vetrate nelle chiese”.

“Davvero?”.

“Sì, il vetro non ha quella capacità di deformazione. Tieni presente che quelle vetrate erano poi circondate da strisce di piombo, che ha una viscosità molto minore di quella del vetro: se il vetro si fosse deformato così tanto come si vede nelle vetrate delle chiese, allora il piombo avrebbe avuto tutto il tempo di colare e fare una pozzanghera per terra. La deformazione nel vetro c'è, ma semplicemente perché è stato costruito così”.

“Ah. Che delusione”.

“Per non lasciarti nella delusione, c'è una bella storia sulla pece”.

“Che bella storia ci potrà mai essere sulla pece?”.

“Una storia che ha vinto un premio forse più prestigioso del premio Nobel. Beh, no, non esageriamo, non più prestigioso ma molto ambito”.

“E che premio è? E che storia è poi?”.

“Si tratta dell'esperimento della goccia di pece. La pece, a temperatura ambiente, non sembra proprio un liquido: è molto viscosa e praticamente non cola”.

“E quindi?”.

“E quindi c'è un esperimento in corso che ha lo scopo di osservare la pece che cola”.

“Sai che roba”.

Un esperimento avviato nel 1927”.

“Eh?”.

“Già. La pece è stata messa all'interno di un imbuto di vetro col fondo tappato, dopo tre anni è stato tolto il tappo, e la pece ha cominciato a colare formando una prima, grossa goccia, che si è staccata dopo… indovina un po'?”.

“Boh? Molte ore? Giorni?”.

“Otto anni”.

“No, dai”.

“Otto. E poi ne sono cadute altre, a distanze di tempo simili”.

“Chissà la festa che fanno quando se ne stacca una”.

“Molto spesso il momento del distacco è stato perso. All'inizio non c'era l'elettronica, e conservare otto anni di pellicola cinematografica non sembrava il caso. Nel 2000 la webcam che doveva filmare il distacco si è guastata poco prima della caduta dell'ottava goccia”.

“Argh”.

“La nona fu ripresa da molte telecamere, ma si appoggiò sulle altre, cadute negli anni precedenti, senza staccarsi. Venne deciso di cambiare il contenitore prima che la goccia si fondesse con quelle sottostanti, ma le vibrazioni la fecero staccare”.

“Ma santo cielo”.

“Insomma, aspettiamo la prossima. Ora c'è una webcam che trasmette su internet un primo piano dell'esperimento, speriamo che finalmente tutto funzioni. Comunque per questo esperimento è stato vinto nel 2005 il premio IgNobel”.

“Oh, bene. Anche se nessuno ha mai visto cadere una goccia di pece, alla fine”.

“Sono riusciti a fare anche quello, con un esperimento gemello iniziato nel 1944, che ha permesso di filmare la caduta nel 2013”.

“Sessantanove anni dopo!”.

“Eh, ci vuole della calma, con la pece funziona così”.

“Dillo ai poveri dannati”.

“Che oltretutto erano immersi nella pece bollente. E che, piuttosto di avere a che fare con i diavoli, preferiscono tuffarsi per non farsi prendere. E i diavoli cercano di raggiungerli, e litigano, e cadono pure loro nella pece”.

“Vabbè”.

“E a quel punto Dante e Virgilio scappano via, lasciando lor così 'mpacciati”.

sabato 11 novembre 2023

Inferno, canto XXI

“Eccoci alla quinta bolgia, dove scontano la loro pena i barattieri”.

“Chi sono?”.

“Sono persone che avevano cariche pubbliche e che hanno usato il loro potere per arricchirsi. Oggi diremmo che sarebbero puniti per il reato di concussione”.

“Ah, bella gente”.

“Esatto. E non piacevano nemmeno a Dante, che li ha descritti immersi nella pece bollente, sorvegliati dai diavoli chiamati Malebranche”.

“Ottimo”.

“Questi diavoli sono dei bei soggetti: interagiscono con Dante e Virgilio, raccontano bugie, hanno dei nomi che sono tutto un programma”.

“Bugie? Nomi?”.

“Nomi proprio di diavolo, senti qua: Scarmiglione, Alichino, Calcabrina, Cagnazzo, Barbariccia, Libicocco, Draghignazzo, Ciriatto, Graffiacane, Farfarello e Rubicante. E poi c'è il loro capo, Malacoda”.

“Ahh! E le bugie?”.

“Malacoda incarica dieci dei suoi compari di scortare i poeti al prossimo ponte di roccia che conduce all'altra bolgia, perché quello più vicino è crollato. Ed è vero che è crollato, quando Gesù è disceso agli inferi, prima della resurrezione, provocando un grande terremoto. Il fatto è che anche gli altri ponti sono crollati, ma Malacoda finge che siano ancora in piedi”.

“Benissimo”.

“Quindi alla fine del canto, dopo un po' di minacce da parte dei diavoli, si arriva a un accordo e le guide accompagnano i poeti, che non sanno che i ponti sono crollati (e non lo sa nemmeno il lettore, se non ha letto il seguito). I diavoli sono guidati da Barbariccia, e ognuno di loro si rivolge a lui stringendo la lingua tra i denti, come se questo fosse un segnale convenuto. E Barbariccia risponde al segnale”.

Per l’argine sinistro volta dienno;
ma prima avea ciascun la lingua stretta
coi denti, verso lor duca, per cenno;

ed elli avea del cul fatto trombetta.

“Non vedevi l'ora di dirlo, vero?”.

“Già”.

“E quale aspetto scientifico-matematico troviamo in questo canto, a parte quello relativo ai processi digestivi?”.

“Nessun aspetto, ahimé”.

“Ahi, niente di niente?”.

“Se proprio vogliamo aggrapparci a qualcosa, ci sarebbe una terzina che fa riferimento al ponte crollato, nominando un arco a tutto sesto”.

Poi disse a noi: «Più oltre andar per questo
iscoglio non si può, però che giace
tutto spezzato al fondo l’arco sesto.

“Tutto qua?”.

“Sì: si potrebbe dire che sesto è l'antico nome del compasso, ma niente di più. E allora direi di prendere spunto dai Malebranche e parlare di bugie”.

“Matematiche?”.

“Matematiche”.

“Ma la matematica non è la quintessenza della verità?”.

“Se la usi bene, sì, quando riesci a dimostrare delle cose, ma se la usi male…”.

“E come fai a usarla male?”.

“Ecco un esempio: immagina di avere due costanti a e b che valgono entrambe 1”.

“E non puoi chiamarle entrambe a?”.

“Certo, ma stiamo facendo un po' di scena, siamo i Malebranche della Matematica”.

“Benissimo”.

“Sarai dunque d'accordo su questa uguaglianza: a2 = ab”.

“D'accordo, in fondo c'è scritto 1 = 1”.

“Ora sottraiamo da ambo i membri l'espressione b2”.

“Così otteniamo a2b2 = abb2”.

“Proprio così. Ora modifico un po' la scrittura delle due espressioni: (a + b)(ab) = b(ab). Sei d'accordo sul fatto che questo è solo un altro modo di scrivere la stessa uguaglianza di prima?”.

“Sono d'accordo, ma ci siamo complicati la vita”.

“E ora la semplifichiamo, dividendo a destra e a sinistra per il fattore comune (ab)”.

“Bene, se semplifichiamo arriviamo a a + b = b. E ora?”.

“E ora rimetti al posto di a e di b i loro valori: ricordi che entrambe le costanti valgono 1?”.

“Ricordo, quindi mi viene 1 + 1 = 1. Uhm”.

“Ecco fatto, abbiamo dimostrato che 1 + 1 fa 1, cioè che 2 è uguale a 1. E quindi poi anche 1 + 2 sarà uguale a 1 + 1 cioè 1, e così via. Non esistono infiniti numeri, ne esiste uno solo, il numero 1. Pitagora sarebbe contento, gli studenti ancora di più, che non dovranno studiare più nulla: tutto il mondo matematico è composto soltanto da 1, fine della matematica”.

“Ma come? Spiega un po' come funziona questo inganno?”.

ed elli avea del cul fatto trombetta”.

domenica 8 ottobre 2023

Inferno, canto XX

“Eccoci alla quarta bolgia di Malebolge, quella dove scontano la loro pena gli indovini. Che poi non scontano tecnicamente nulla, dato che la pena è eterna, tant'è che Dante chiama i dannati sommersi. Sono già sotto, e non torneranno più su”.

“Amen”.

“Ed ecco come se la passano questi poveracci”.

e vidi gente per lo vallon tondo
venir, tacendo e lagrimando, al passo
che fanno le letane in questo mondo.

“Camminano e piangono in silenzio. Che tristezza”.

“E non basta: la pena specifica per queste anime è quella di camminare con la testa completamente girata all'indietro. Le lacrime, osserva Dante, scendono quindi lungo la schiena arrivando a quella che i nostri amici di madre lingua inglese chiamano, con una perifrasi, la scollatura dell'idraulico, e che il nostro poeta indica semplicemente come lo fesso”.

“Ma benissimo. E qual è la colpa di questi dannati?”.

“Sono nientemeno che indovini”.

“L'hai detto, quindi sono ciarlatani?”.

“Eh, mica tanto, alcuni sono ciarlatani, ma altri sono astrologi”.

“Quindi ciarlatani”.

“No, no, allora la dottrina cristiana ammetteva l'esistenza degli influssi delle stelle. Quindi questi erano indovini veri, che predicevano il futuro”.

“E perché sarebbe una colpa?”.

“Perché la visione del futuro è consentita solo a Dio, e nessun uomo può prendere il posto di Dio”.

“Mah”.

“C'è anche sotto la dottrina del libero arbitrio: come puoi essere libero se già conosci il futuro? Su queste idee Dante insisterà più avanti, ma l'insegnamento della chiesa è chiaro: l'uomo è dotato di libero arbitrio, lui sceglie di compiere il bene o il male, lui ne è responsabile. Come può essere libero di scegliere se già conosce il futuro?”.

“Ok”.

“E quindi oggi parliamo di viaggi nel tempo”.

“Oh”.

“Quale migliore occasione degli indovini per parlare dei viaggi nel tempo? O, almeno, nel futuro?  Quello che sappiamo oggi è che i viaggi nel tempo non si possono fare. Se si potessero fare, ci sarebbero dei paradossi da risolvere, già analizzati in lungo e in largo da tutto il mondo della fantascienza, spesso con risultati molto interessanti, e a volte con buchi nella trama incolmabili. Un po' per colpa dei paradossi che vanno risolti in un qualche modo, un po' perché gestire i viaggi nel tempo è difficilissimo. Una sola citazione: la clessidra giratempo di Harry Potter”.

“Questo era un esempio di buco nella trama, vero?”.

“Purtroppo sì”.

“Però queste sono tutte opere di fantasia, non c'è niente di vero, quindi in un certo senso vale tutto”.

“Vero. Parliamo allora di scienza”.

“Oh, bene”.

“I fisici si dividono in due categorie: i teorici e gli sperimentali. I teorici sono matematici con idee strampalate su come funziona il mondo, gli sperimentali sono quelli che dicono ai teorici che si stanno inventando le cose”.

“Ehm”.

“Ok, lo dico meglio perché ho molti amici fisici”.

“EHM!”.

“Allora, il metodo scientifico funziona così: si formulano teorie e si prova a verificarle. Se l'osservazione mostra risultati diversi da quelli previsti dalla teoria, vuol dire che la teoria è sbagliata e si prova a costruirne un'altra”.

“E se i risultati coincidono?”.

“Diciamo bello! e proviamo a progettare altri esperimenti, ma non possiamo dire che la teoria sia giusta. Non potremo mai dire che una teoria è giusta, potremo solo falsificarla. Certo, i risultati che confermano la teoria sono entusiasmanti, ma i fisici sono contenti anche se arrivano risultati in contrasto con la teoria, così possono inventarsi qualcos'altro”.

“Non abusare della pazienza dei tuoi amici fisici”.

“Ma è così, i risultati degli esperimenti alimentano la teoria, e viceversa la teoria dà l'idea per fare nuovi esperimenti. È il bello della fisica, ed è proprio quello che manca nell'insegnamento della fisica a scuola”.

“Capirai”.

“Eh, a scuola servono laboratori, spazi, soldi per costruire entrambi”.

“Soldi che non arrivano”.

“No, e quindi la fisica diventa una serie di esercizi sempre più complicati di applicazione delle formule. Che non sono una cosa brutta, beninteso, i problemi teorici possono essere molto belli, ma se manca la parte sperimentale che fisica è? Che differenza c'è tra questa fisica e la matematica applicata?”.

“Giusto l'ambientazione dei problemi, temo”.

“Eh, e qualche formula in più da imparare. Ma torniamo ai viaggi nel tempo”.

“È meglio”.

“Tutto parte da Einstein”.

“Tante cose partono da Einstein, mi pare di capire”.

“Già. Ricordo ancora la prima lezione di teoria della relatività all'università, durante l'insegnamento di Fisica 1. Il prof comincia a raccontare un po' di cose, e arriva in fretta a dire che il tempo non è un assoluto e che è possibile che due orologi si muovano a velocità diverse. E io ero lì che ascoltavo a bocca aperta e mi chiedevo se stavo capendo bene perché questo signore stava dicendo cose evidentemente false”.

“Eh eh”.

“Poi, visto che insisteva su questo fatto della non sincronizzazione degli orologi, ho cominciato a dirmi ma allora è vero? E intanto lui stava parlando anche di righelli che possono cambiare lunghezza a seconda della velocità con cui si muovono e allora boom, si è aperto un mondo nuovo”.

“Che bello”.

“Bellissimo, sono quelle sensazioni che non ti dimentichi più”.

“E il prof si è messo a parlare di viaggi nel tempo?”.

“Non subito, ma dopo qualche lezione, studiando le equazioni che erano state ricavate nel frattempo, ha fatto notare il fatto che esse impedivano a qualunque corpo dotato di massa di raggiungere e superare la velocità della luce, ma non impedivano l'esistenza di particelle che si muovono a velocità superiori a quelle della luce, a cui le equazioni impedirebbero però di rallentare troppo. Come se il mondo fosse diviso in due parti che non possono comunicare tra loro: il mondo delle cose lente, il nostro, e il mondo delle cose veloci, dei tachioni”.

“Ed è subito Star Trek”.

“Ovviamente. E qui entra in gioco il metodo scientifico: dato che le equazioni non impediscono moti a velocità superiori a quelle della luce, siamo in grado di progettare esperimenti per osservare queste ipotetiche particelle? Siamo in grado di passare di là, in quel mondo? Io poi ho studiato matematica, e il programma non prevedeva lo studio della teoria della relatività generale, di cui ho sentito parlare solo anni dopo, durante un esame dell'ultimo anno, ma il fatto è che non è solo la velocità che permette di fare viaggiare il tempo in modo diverso e che permette alle lunghezze di contrarsi, ma c'è di mezzo anche la gravità”.

“Ed ecco Interstellar”.

“Esatto, per citare un solo esempio. Quindi i fisici si sono presi le equazioni di Einstein e si sono chiesti cosa succederebbe se? Esistono soluzioni che permettono i viaggi nel tempo? Possiamo vedere nel futuro, come gli indovini di Dante? E magari sperando nella clemenza di Dio, nel frattempo?”.

“E hanno avuto risposta, almeno per la prima parte?”.

Risposte teoriche ne esistono, ma sono reali? Si possono verificare, almeno? Il fisico sperimentale riuscirà a costruire una vera macchina del tempo?”.

“Eh, cominciamo dall'inizio”.

“Allora, le risposte teoriche ci sono. Se accettiamo l'idea che la gravità curva lo spazio — e finora tutti gli esperimenti l'hanno confermato — e accettiamo l'idea che lunghezze e tempo sono misure locali, che possono cambiare a seconda della velocità dell'osservatore — e finora tutti gli esperimenti l'hanno confermato — allora è possibile curvare lo spazio così tanto da creare delle curve spaziotemporali chiuse. Questo dice la teoria, ma nessun esperimento ha mai verificato la cosa”.

“Cosa sono queste cose?”.

“Sono un modo matematico per dire che un oggetto, o una persona, può osservare il proprio orologio scorrere normalmente ma, nello stesso tempo, può compiere un percorso che ritorna alla condizione iniziale, cioè nella stessa posizione e nello stesso tempo dal quale la persona era partita”.

“Eh?”.

“Non so dirlo meglio. Fai un giro e torni all'inizio, dove per inizio si intende non solo la stessa posizione ma anche lo stesso istante”.

“Che roba. Ed è vero?”.

“Boh? Cosa è la verità?”.

“Dai”.

“Nessun esperimento l'ha confermato”.

“Ok”.

“Se fosse vero, ci sarebbero tutti i problemi dei paradossi temporali di cui si parla nella fantascienza. Posso tornare indietro e uccidere Hitler, cambiando la storia? Se potessi uccidere Hitler, la storia poi cambierebbe davvero? Posso uccidere mio nonno? Esisterò ancora dopo? Molti paradossi riguardano la morte, e questo ci dice tante cose”.

“Già”.

“Si possono fare anche paradossi meno cruenti, comunque. Eccone uno: se io lancio una palla da biliardo in una macchina del tempo che risputa fuori la stessa palla in modo tale che essa urti con la copia di sé stessa che sta ancora cercando di entrare nella macchina, deviandola, cosa succederà? Se avviene la deviazione, la palla non entrerà nella macchina, ma allora non potrà nemmeno uscirne, e quindi non ci sarà la deviazione, e allora la palla entrerà, ma quindi poi uscirà e produrrà la deviazione, ma allora…”.

“Ok, ok, ho capito”.

“L'ideale sarebbe questo: costruiamo una di queste macchine, poi proviamo a vedere cosa succede. E quindi i fisici hanno cominciato a progettarne una. Ma finora hanno trovato dei problemi insormontabili”.

“Tipo?”.

“Tipo il fatto che per piegare lo spazio così tanto da creare delle curve spaziotemporali chiuse servono delle masse molto, molto elevate. Infinite, qualunque cosa ciò significhi”.

“Cosa che non si può fare”.

“Si potrebbe fare con dei buchi neri”.

“Oh”.

“Già. L'idea, per realizzare l'esperimento, sarebbe quella di avere due automobili contenenti due buchi neri, una che viaggia velocissima rispetto all'altra: in quel caso si potrebbero realizzare quelle famose curve chiuse. L'alternativa sarebbe quella di usare delle masse negative, che appaiono ancora più esotiche”.

“Ma esistono?”.

“Boh, se si entra nel mondo della meccanica quantistica forse si potrebbe dare un significato all'idea di massa negativa, ma la risposta al momento è boh”.

“Quindi niente viaggi nel tempo”.

“Una possibilità reale esiste, invece, e che risolve anche i paradossi”.

“Davvero?”.

“Sì, ma con un prezzo che non so quanti siano disposti a pagare: si tratta di un viaggio di sola andata, nel futuro”.

“Già noi stessi stiamo tutti viaggiando nel futuro, dato che il tempo passa. Stai parlando di questo?”.

“No, sto parlando di una velocità maggiore. La teoria della relatività dice che se un corpo viaggia ad alta velocità, il suo tempo locale scorre più lentamente rispetto a un corpo che viaggia a velocità minore”.

“La tua prima lezione di fisica”.

“Esatto. Questo è un fatto verificato: hanno preso degli orologi atomici, li hanno sincronizzati, ne hanno tenuto uno a terra e hanno caricato l'altro su un aereo. Poi hanno fatto viaggiare l'aereo per un po' di tempo, e quando è tornato a terra hanno verificato che gli orologi non erano più sincronizzati”.

“Ah”.

“Gli effetti della teoria della relatività sono reali, sono misurabili, e bisogna tenerne conto nelle attuali applicazioni tecniche. C'è un esempio particolare che tutti conosciamo e che senza gli studi sulla relatività non funzionerebbe”.

“Quale?”.

“Il GPS”.

“Ma dai?”.

“Sì, la tecnica si basa sulla ricezione di un segnale orario spedito dai vari satelliti in orbita. L'orario deve essere precisissimo se vogliamo che il GPS non ci faccia sbagliare strada, dato che a volte basterebbero pochi metri. E allora bisogna tener conto di due aspetti: i satelliti viaggiano ad alta velocità, e quindi il loro tempo proprio viaggia più lento del nostro, ma si trovano lontani dalla terra, quindi risentono meno della gravità, e allora il loro tempo proprio viaggia più veloce del nostro”.

“Ma come, viaggia più lento o più veloce?”.

“Due aspetti diversi lottano tra loro, ma non si cancellano esattamente. Quindi bisogna tener conto di entrambi gli effetti per poterli bilanciare correttamente, in modo che gli orologi lassù e quelli quaggiù siano perfettamente sincronizzati. Senza la teoria della relatività generale ci perderemmo per strada”.

“Che roba. E quindi questa variazione della velocità degli orologi ci permette di viaggiare nel tempo?”.

“Sì, in questo modo. Noi saliamo su un'astronave, partiamo, ci facciamo un viaggetto di qualche settimana o qualche mese, e quando torniamo ci accorgiamo che sulla terra sono passati dei secoli”.

“Quanti?”.

“Dipende da quanto andiamo veloci. Più siamo veloci, più la differenza di tempo aumenta. Bisogna dire che oggi astronavi di questo tipo non esistono ancora, ma questa è una limitazione tecnica, non scientifica. Questo fenomeno, che in piccolo è verificato dall'esperimento degli orologi atomici di cui parlavamo prima, viene detto paradosso dei gemelli: il gemello che rimane sulla terrà sarà molto più vecchio del gemello che tornerà dal viaggetto in astronave. E così si potrà viaggiare nel futuro. Il gemello giovane scenderà dall'astronave e darà un'occhiata al futuro”.

“Ma non potrà tornare indietro”.

“No, non si torna. Non si potranno fare profezie”.

“Niente quarta bolgia”.

“E niente testa girata in stile esorcista”.

sabato 2 settembre 2023

Inferno, canto XIX

“Siam giunti alla terza bolgia di Malebolge, dove vengono puniti i simoniaci”.

O Simon mago, o miseri seguaci
che le cose di Dio, che di bontate
deon essere spose, e voi rapaci
per oro e per argento avolterate,
or convien che per voi suoni la tromba,
però che ne la terza bolgia state.

“Oh, bene, sono d'accordo. C'è una pena interessante?”.

Io vidi per le coste e per lo fondo
piena la pietra livida di fóri,
d’un largo tutti e ciascun era tondo.

“Dei fori?”.

“Dei fori”.

“E a cosa servono?”.

“Ci stanno infilati dentro i peccatori, a testa in giù. Le gambe spuntano dal grosso in su, e i piedi sono tormentati da qualche fiammella”.

“Benissimo. Anche se stare sempre a testa in giù deve essere già una bella pena”.

“Sì, infatti. Ma c'è stato un breve periodo, sufficientemente recente, in cui si pensava che stare a testa in giù facesse bene”.

“Ma dai? Ma quando?”.

“Beh, c'è una scena notevole di un film famoso che dimostra l'idea meglio delle parole”.



“Ohh, ma cosa hai tirato fuori!”.

“Visto che roba? Nei ruggenti anni 80 si pensava che queste pratiche fossero salutari. Cioè, per essere più precisi: già da prima qualcuno sosteneva che la cosiddetta inversione della gravità facesse bene alla salute, ma in seguito al film American Gigolò ci fu un notevole aumento nelle vendite”.

“E poi?”.

“Poi un medico cominciò a dire che stare a testa in giù provocava un aumento della pressione sanguigna e oculare”.

“E questo non va bene”.

“No, e le vendite cominciarono a scendere. Lo stesso medico poi continuò a studiare la cosa e disse che il corpo umano aveva meccanismi compensativi, e ritrattò lo studio precedente, ma ormai era stato instillato il dubbio e le vendite calarono”.

“Fine della bolla”.

“Già. Oggi qualcuno continua a vendere sia quelle cavigliere che indossava Richard Gere sia dei lettini che si possono inclinare in modo da mettere la persona a testa in giù, dicono che faccia bene alla schiena”.

“Senza fiamme ai piedi, però”.

“Quelle no, nessuno dice che i piedi infuocati facciano bene”.

“Chissà se si sta davvero bene coi piedi all'insù”.

“Coff coff”.

“Cosa?”.

“Confesso che negli anni 80 quelle cavigliere le ho provate anche io”.

“Ah-ha!”.

“Le avevano nella palestra in cui andavo, vuoi non provarle?”.

“Eh, infatti. E come si sta?”.

“Va il sangue alla testa, ma dopo un po' ci si abitua. E allora la mia schiena stava bene, quindi non saprei dire se ho avuto benefici oppure no”.

“Beh, gli astronauti sulla stazione spaziale internazionale proveranno le stesse sensazioni, no? In assenza di gravità…”.

“Un fisico ti interromperebbe subito e ti direbbe che sulla stazione spaziale non si è in assenza di gravità”.

“Ma come?”.

“Eh, no, la terra è vicina, la gravità si fa sentire, anche se meno”.

“E allora perché vediamo gli astronauti coi capelli per aria, come se fossero in assenza di gravità?”.

“Partiamo dall'inizio. La legge di gravitazione universale dice che due corpi si attraggono con una forza che è proporzionale alle due masse e inversamente proporzionale al quadrato della distanza. In formule, se indichiamo con G la costante di proporzionalità, abbiamo F = GM1M2/r2”.

“Ok, questa l'ho studiata a scuola”.

“La forza dunque non svanisce oltre una certa distanza, anche se a distanze molto grandi o con masse molto piccole diventa trascurabile. Però la stazione spaziale internazionale non è a distanza molto grande: si trova a quasi 427 km di distanza dalla superficie della terra”.

“E a quella distanza il peso quanto vale?”.

“Se non ho sbagliato i conti (cosa sempre possibile, i Veri Matematici usano solo lettere, come si sa), il peso di un corpo che si trova a quell'altezza è uguale al peso al livello del mare moltiplicato per 0.88”.

“Ah. Non molto di meno”.

“Eh, no”.

“E quindi perché diciamo che sulla stazione spaziale internazionale si è in assenza di gravità? Perché i capelli sono sparati verso l'alto?”.

“Diciamo così perché sbagliamo o, meglio, perché vogliamo dire un'altra cosa. Infatti i capelli sono sparati in aria perché gli astronauti stanno cadendo, e quindi loro si sentono in apparente assenza di gravità. Gli astronauti, poi, non cadono rovinosamente sulla terra perché stanno anche ruotando intorno a essa”.

“Ok”.

“L'esempio che si fa spesso è questo: sei sulla cima di una montagna molto alta e lasci cadere un sasso: il sasso cade a terra e non succede niente di speciale. Poi ne lasci cadere un altro dandogli una spinta orizzontale: il sasso cade un po' più in là. Poi continui, dando spinte orizzontali sempre più forti: il sasso cade sempre più lontano, comincia a girare un po' intorno alla terra prima di schiantarsi, e a un certo punto lo lanci talmente veloce che fa tutto il giro e, se non si fa attenzione, si rischia di essere colpiti da dietro. In tutti questi esempi la forza di gravità c'è sempre. Anzi, se non ci fosse, il sasso non potrebbe ruotare e proseguirebbe dritto”.

“Questo agli astronauti non piacerebbe molto”.

“No, farebbero la fine degli occupanti di Base Alpha, come raccontava la serie TV Spazio 1999”.

“Oggi si fanno citazioni classiche, vedo”.

“E per rimanere in tema di citazioni classiche, anche nel famoso 2001 Odissea nello spazio si mostra la cosiddetta assenza di gravità: c'è una scena in cui una hostess cammina rimanendo in piedi senza fluttuare in aria usando scarpe col velcro”.

“Meglio il velcro del fuoco”.

“Suggerirei di lasciare il fuoco ai simoniaci, e di guardarci l'allora comandante della stazione spaziale internazionale replicare la scena girata da Kubrick, che all'epoca avrebbe sicuramente voluto girarla su una vera astronave”.


venerdì 9 giugno 2023

Inferno, canto XVIII

Luogo è in inferno detto Malebolge,
tutto di pietra di color ferrigno,
come la cerchia che dintorno il volge

“Un altro inizio notevole”.

“Sì, potremmo fermarci qua e godercelo”.

“Sarebbe un record sul commento più breve al diciottesimo canto dell'Inferno”.

“Eh, ho capito. Allora andiamo avanti, anche se non troveremo legami con la scienza”.

“Ma immagino che troveremo comunque qualcosa su cui parlare”.

“L'idea è quella, già. Siamo a Malebolge, e questo si era capito. Dante descrive il luogo, dice che c'è una voragine al centro della piana di Malebolge. Il terreno che circonda la voragine è diviso in dieci zone, dieci bolge, divise da fossati come quelli che circondano i castelli. E così come avviene per i castelli, si possono attraversare i fossati grazie ai ponti”.

“I ponti sono importanti”.

“Eh sì”.

“Che succede nelle bolge?”.

“Sono piene di dannati che camminano, di anime in pena che non stanno mai ferme. Per fare un paragone, Dante dice:”.

Nel fondo erano ignudi i peccatori;
dal mezzo in qua ci venien verso ’l volto,
di là con noi, ma con passi maggiori,
come i Roman per l’essercito molto,
l’anno del giubileo, su per lo ponte
hanno a passar la gente modo colto,
che da l’un lato tutti hanno la fronte
verso ’l castello e vanno a Santo Pietro,
da l’altra sponda vanno verso ’l monte

“Un altro ponte”.

“Esatto. I romani organizzavano il traffico di pellegrini lungo il ponte come i diavoli dell'inferno organizzano il traffico dei dannati nelle bolge: tutti in ordine, mantenete la destra, avanti, avanti! A un certo punto Dante incontra un volto conosciuto e si ferma a parlare”.

“Chi è?”.

“Venedico Caccianemico”.

“Non lo ricordo dai miei studi scolastici”.

“Mi avvalgo della facoltà di non rispondere a una domanda non fatta. Comunque era un ruffiano”.

“Ah”.

“Il dialogo non dura molto perché a un certo punto arriva un diavolo che scaccia Venedico con una scudisciata, spiegandogli che in quel luogo non son femmine da conio”.

“Benissimo”.

“I due poeti si spostano, attraversano un ponte (ancora ponti, sì) e vedono, in lontananza, Giasone”.

“Quello del vello d'oro?”.

“Quello lì”.

“E qual era la sua colpa?”.

“Giasone viene classificato da Dante come seduttore: racconta in alcuni versi la sua storia, e dice che ingannò la giovanetta Isifile. Dopo essersi divertito lasciolla quivi, gravida, soletta;”.

“Ahi”.

“Il ponte conduce all'argine che fa da confine alla seconda bolgia, nella quale scontano la loro pena gli adulatori, tra cui un altro voto noto a Dante, un tale di nome Alessio Interminelli. Con lui Dante non parla, perché ha fretta di scrivere un po' di parolacce relative alla prossima anima: si tratta di Taide, che viene così descritta:”.

di quella sozza e scapigliata fante
che là si graffia con l’unghie merdose,
e or s’accoscia e ora è in piedi stante.
Taïde è, la puttana che rispuose
al drudo suo quando disse “Ho io grazie
grandi apo te?”: “Anzi maravigliose!”.

“Ah però”.

“E qui si chiude il canto”.

“E noi di cosa parliamo?”.

“Di ponti”.

“Benissimo”.

“I ponti non sono un'invenzione recente, anzi”.

“Eh, no”.

“Come fanno a stare in piedi? Perché non cadono?”.

“Beh, hanno dei sostegni, sono fatti di materiali rigidi e resistenti”.

“Sì, vero, ma non basta. Cioè, basta se il ponte è corto, ma se vuoi farlo lungo ti serve ragionare un po' di più. Per esempio, prendiamo un arco: perché non crolla?”.


(wikimedia commons)

“Ah, lo so: la forma dell'arco distribuisce le forze lungo il perimetro, in questo modo la spinta viene rediretta lungo i sostegni che si trovano agli estremi dell'arco”.

“Hai mai provato a fare un arco così come dici?”.

“Uhm, no”.

“Perché se provi, ti accorgi che non è mica vero che sta in equilibrio: la spinta laterale fa sì che i due estremi si allontanino tra loro, fino a che l'arco non crolla. Se prendi dei sassi e cerchi di fare un arco appoggiandoti su un tavolo liscio, ti scivola tutto”.

“Ma come?”.

“Eppure è così: la roba scivola”.

“Dato che gli archi stanno in piedi e, di solito, non crollano, ci deve essere una spiegazione”.

“Certo: bisogna impedire che i piedi d'appoggio dell'arco, i piedritti, scivolino verso l'esterno: serve una struttura che lo faccia”.

“Quindi, nel mio ipotetico esperimento coi sassi e il tavolo, io dovrei impedire ai due punti d'appoggio di muoversi”.

“Sì, devi appoggiare altre cose sufficientemente pesanti ai bordi, o dotare di sufficiente attrito i punti di contatto col tavolo”.

“E nelle costruzioni vere come si fa?”.

“Si usano appoggi robusti, o anche forze equilibranti. Per esempio, si costruiscono dei contrafforti o, addirittura, degli archi rampanti”.


(wikimedia commons)

“Belli. Ma poi anche quelli avranno una spinta laterale da sostenere, no?”.

“Esatto, ma pian piano quelle spinte vengono dirette verso l'esterno e la loro direzione viene cambiata, in modo tale da farla diventare sempre più vicina alla verticale. Inoltre, per evitare che la parte che sostiene l'esterno dell'arco spanci, si rende la costruzione più robusta aumentando il peso che grava su di essa, con pinnacoli o guglie belle alte”.

“Ah, giusto: una guglia alta non è solo bella, ma ha anche la funzione di essere pesante e stabilizzare tutto”.

“Proprio così. Poi arriva la matematica, che si chiede quale debba essere la forma di un arco in modo tale che le spinte laterali siano minime? Si può fare un arco che sostenga sé stesso senza bisogno di rinforzi?”.

“E si può?”.

“Si può. Il primo a studiare il problema fu Hooke”.

“Quello della legge delle molle?”.

“Quello, che ha studiato un po' tutto quello che c'era da studiare”.

“E cosa ha capito?”.

“Beh, intanto ha avuto l'idea di capovolgere il problema: appendiamo una catena a due sostegni, e vediamo che forma avrà. Capovolgiamo la catena, e questa diventa un arco”.

“Ho già sentito questa storia”.

“Probabilmente in riferimento a Gaudì, che l'ha realizzata magistralmente. Nel museo che si trova di fianco alla Sagrada Familia di Barcellona c'è un modello della chiesa fatto con catene appese: uno specchio sul fondo permette di capovolgere la struttura e osservarla come se fosse un modellino della chiesa stessa”.

“Bello”.

“Quindi un arco che si può sostenere da solo, riducendo al minimo le spinte laterale, è un arco a forma di catenaria, che è il nome dato alla curva formata da una catena appena a due punti”.

“Perché catena? Cioè, perché quel particolare oggetto? Non possiamo dire corda, o filo?”.

“Diciamo catena per sottolineare due aspetti: il primo è che la catena è un oggetto pesante. Non vogliamo che si pensi a un filo ideale senza massa: stiamo parlando di problemi legati al peso degli oggetti. Il secondo motivo è che il peso della catena è distribuito in modo uniforme, non è concentrato da nessuna parte in particolare”.

“Bene, capito”.

“La funzione che descrive la catenaria si chiama coseno iperbolico, ed è formata dalla somma di una funzione esponenziale crescente con una decrescente. Ma tanto vale vederne una, anche se non è formata da una catena in cui la massa è distribuita in modo uniforme:”.


(wikimedia commons)

“Woah”.

“Fa un bell'effetto, sì. Dobbiamo fare attenzione a una cosa: questo arco non sostiene nulla, non ci sono pareti sopra, non c'è una passerella: lui è un ponte, se vogliamo, ma non un sostegno. Se lo vogliamo usare come sostegno, immaginando che sopra di esso ci sia una massa distribuita uniformemente, allora dobbiamo cambiare un po' le cose, perché in effetti non si tratta più di una catena”.

“Giusto, le parti laterali devono sostenere più peso. Cambia quindi la forma?”.

“Sì, un pochino. Matematicamente cambia tutto, ma a occhio non è facile vedere la differenza: se l'arco deve sostenere una massa uniformemente distribuita, allora la forma ideale è la parabola. Come a Palau Guell, di Gaudì:”.



“Ah”.

E quinci sian le nostre viste sazie”.

“Chissà cosa avrebbe detto Dante di questi ponti”.

“Eh, a volte penso se riconoscerebbe in questa struttura una chiesa”.



“E chissà dove avrebbe voluto collocare Gaudì”.

“A volte penso tra gli angeli. Altre volte penso che forse l'avrebbe messo in una delle bocche di Lucifero. Io preferirei tra gli angeli, però”.