martedì 27 marzo 2007

Numeri speciali

Dal 15 al 18 marzo 2007 si è tenuto, a Roma, il (primo) festival della matematica. Sono stati invitati tantissimi matematici famosi; uno di questi si chiama Douglas Hofstadter.

.mau. lo conosce (invidia invidia) ed è anche stato a Roma ad ascoltarlo. Ha trascritto la sua lectio magistralis rendendola disponibile a tutti. Leggete, con deferenza e devozione...

Nico Onirico

“Allora, avete fatto i compiti?”, domando.

“Ehm, prof, io ho provato a fare il problema, ma non ci sono riuscito...”, risponde Nico Onirico.

“Però?”. Sapevo che stava per aggiungere qualcosa.

“Però ho provato tante volte, ho un sacco di fogli con tutti i calcoli. Se vuole li vado a prendere”.

“Certo, fammi vedere”.

“Tanto abito qua vicino, ci metto poco tempo ad andare a casa a prenderli”.

Non c'è alcun dubbio sul fatto che bisogna avere la testa abbastanza tra le nuvole anche solo per pensare una cosa del genere.

domenica 25 marzo 2007

Battute matematiche

Cartesio è al bar. Il barista gli domanda: “Prende un'altra birra?”.

Cartesio risponde: “Non penso”. E svanisce.

[Questa battuta la capiranno solo nei circoli cartesiani (x2+y2=r2)]

(via software musings)

venerdì 23 marzo 2007

Calembour

Classe terza, venerdì, dalle 11:50 alle 12:45, matematica. Dalle 12:45 alle 13:35, ancora matematica. Inutile dire che quelli di terza le provano tutte pur di non fare quella tremenda sesta ora.

Oggi, per esempio, mi hanno chiesto un'assemblea. E io (sventurato) ho concesso l'ora.

Poi non c'è stato più verso di fare lezione. A un certo punto, dicevo:

“Ecco, vedete? Se prendiamo una parabola e una retta...”.
Confusione dal fondo.
“Allora, la smettiamo? Guardate questo grafico”.
Confusione da destra.
“Adesso basta! Guardate che recuperiamo il tempo perso nell'ora di assemblea!”.
Confusione da sinistra.
“Dai, basta, datemi retta...”
“Ahah, prof”. Applausi.
“Siete impazziti? Cosa succede?”.
“Prof, ha fatto una bellissima battuta, datemi retta!”.

A quel punto ho rinunciato.

(Mai più ore di assemblea in terza)

martedì 20 marzo 2007

E otto



“Prof, ma cosa si studia in matematica oggi? Non hanno già scoperto tutto?”.

Questa è una domanda posta spesso dagli studenti. La risposta non è facile, perché in generale un matematico pubblica articoli su argomenti sconosciuti al 95% del resto del mondo matematico. Ogni tanto, però, una notizia arriva sui giornali e si diffonde.

Per esempio, ieri alcuni blog matematici riportavano una notizia, ripresa oggi da alcuni giornali, riguardante la mappatura del gruppo di Lie E8.

Già spiegare cosa sia un gruppo a uno studente di scuola superiore non è semplice, ma ci si può riuscire. Non che la definizione sia una cosa complicata, anzi; il problema sta semmai nel rispondere a domande del tipo “Prof, ma cos'è 'sta roba?”, “Prof, ma c'è bisogno di definire una cosa del genere?”, “Prof, ma a cosa serve?”. Spiegare cosa sia un gruppo di Lie è già più difficile (l'insieme ha una topologia e una struttura di varietà). Infine, spiegare cosa sia questa mappatura è ancora più complicato, a partire dalla sua definizione corretta: si tratta del calcolo dei polinomi di Kazhdan-Lusztig-Vogan (e qui, onestamente, non so di cosa sto parlando...) di una certa forma del gruppo E8. In pratica è stata calcolata una matrice di dimensione 453060×453060, per un totale di 60 gigabyte di dati.

Questa volta, però, si può rispondere alla domanda-standard-dello-studente: “Prof, ma a cosa serve?”. Esistono delle applicazioni per questo strano oggetto: alcune recenti versioni della teoria cosmologica delle stringhe e della supergravità mostrano strutture basate su E8. Pare proprio che questo gruppo sia una parte del nostro universo.

Infine, questo gruppo ha un'altra meravigliosa applicazione: serve per trovare il modo migliore per impaccare nel minore spazio possibile delle sfere 8-dimensionali. Tanto per complicare le cose, questo aspetto tira in ballo gli ottonioni (o ottetti, di cui parla .mau.).

A good FORTRAN programmer can write FORTRAN code in any language

È morto John Backus, l'inventore del FORTRAN e della forma di Backus-Naur.

      program goodbye
print *,"Goodbye World!"
end program goodbye

domenica 18 marzo 2007

Da leggere

Il vocabolario di zio Nario.

(alcune sono geniali, come la definizione di decesso)

lunedì 12 marzo 2007

Cow tipping

Ebbene, il giochino che Cricchetto propone a Saetta McQueen nel film Cars, giochino che consiste nell'avvicinarsi a un trattore-mucca per spaventarlo, in modo tale da ribaltarlo, si basa su una leggenda metropolitana conosciuta negli Stati Uniti, il cow tipping.

domenica 11 marzo 2007

Facile!

In un tentativo di creare la Matematica Perfetta (che comunque non si crea, dato che esiste già, ma questa è un'altra storia), Bertrand Russell e Alfred North Whitehead produssero un'opera colossale, i Principia Mathematica. Una completa formalizzazione dei fondamenti della matematica, in cui tutte le proposizioni vere sono dimostrabili, e in cui non possono essere dimostrate (ma nemmeno scritte) proposizioni paradossali.

A pagina 379, punto numero *54.43, si trova la dimostrazione del fatto che 1+1=2. O meglio, si trova la dimostrazione di quella formula ammesso che sia stata definita l'addizione.

Tutta l'opera è disponibile in rete, qua. La mirabile dimostrazione è invece qua (circa a metà pagina).

Non è carino in questa sede notare che poi arrivò Kurt Gödel a dire a tutti che la Matematica Perfetta non si può creare (si può, solo che non c'è abbastanza spazio su questo margine per mettercela tutta).

(via Good Math, Bad Math)

sabato 10 marzo 2007

Non siamo mica gli americani

Ho scoperto che esiste un canale youtube (Nutshellmath) che trasmette lezioni di matematica. Ci sono argomenti come risoluzione di equazioni di primo grado, di secondo grado, irrazionali, trasformazioni geometriche.

Ho notato che sono richiesti pochissimi prerequisiti algebrici. Ad esempio, nella risoluzione di un'equazione irrazionale si deve svolgere un quadrato di binomio; però l'insegnante fa il calcolo normalmente, senza richiamare la formula del quadrato. Eppure in altri casi viene scomposta la differenza tra due quadrati senza nemmeno fare un accenno alla formula.

mercoledì 7 marzo 2007

Litigi

Mi domando: possibile che due studenti si mettano a litigare perché uno vorrebbe venire alla lavagna a fare esercizi su un argomento che non ha capito, e l'altro si scoccia di fare sempre le stesse cose e vorrebbe fare qualcosa di nuovo?

domenica 4 marzo 2007

Il crivello



In un commento al post precedente mi si chiedeva se non era possibile cercare un numero primo di un milione di cifre semplicemente scrivendo tutti i numeri da 1 fino al numero candidato, e poi cominciando a togliere dall'elenco tutti i multipli di 2, poi i multipli di 3, poi quelli di 5, e via via così. Questo metodo effettivamente esiste, e si chiama crivello di Eratostene, ma non è un metodo molto efficiente.

Tra i numeri molto grandi, ne esistono alcuni che si prestano particolamente ad essere analizzati per vedere se sono numeri primi oppure no: si chiamano numeri di Mersenne, e si ottengono sottraendo uno ad una potenza di 2. Per questi numeri esiste un test di primalità molto veloce, che si chiama test di Lucas-Lehmer.

Per avere un'idea sulle differenze tra i due metodi, vediamo un esempio. Per controllare un numero di Mersenne con esponente intorno a 33 milioni (non è un numero scelto a caso: con quell'esponente si ottiene un numero di circa 10 milioni di cifre, numero minimo richiesto dalla EFF per il premio, in realtà ora stanno già testando esponenti intorno ai 37 milioni) il mio computer, non particolarmente nuovo e veloce, impiegherebbe due mesi. Un dual core ultimo modello magari impiega meno della metà, comunque non è un test che si fa in un momento. L'algoritmo usato richiede un numero di operazioni dell'ordine di p2ln(p), nel nostro esempio questo numero vale circa
19·1015 (19 milioni di miliardi di operazioni).

Bene, il crivello di Eratostene richiede invece un numero di operazioni dell'ordine del numero stesso, cioè 10107, cioè un numero che si scrive con dieci milioni di cifre. Poco meno di venti milioni di mesi, sul mio computer.

Esiste un sito (www.mersenne.org) che distribuisce la ricerca dei numeri primi di Mersenne sui computer dei volontari che vogliono contribuire. Se vi iscrivete, potrete far fare qualche test al vostro pc, quando è inattivo. Ma serve un pc che funzioni bene, il test mette a dura prova il sistema, e se c'è qualcosa che non va, tipo qualche banco di ram difettoso, se ne accorge e ve lo segnala.

[L'immagine in alto è animata, ma qua non si vede. Bisogna cliccarci sopra e aprirla in una nuova finestra]

venerdì 2 marzo 2007

Creatività

Da quando hanno saputo che la EFF offre un premio di 100.000 dollari alla prima persona che scopre un numero primo composto da almeno un milione di cifre, i miei studenti di seconda sono dediti alla ricerca di numeri primi.

Ricerca che avviene in modo assolutamente casuale: prendono un numero primo, provano ad aggiungere qualche cifra, controllano un po' che il numero risultante non sia divisibile per 2, 3, 5, e dichiarano di aver trovato un nuovo numero primo. Ho provato a spiegare che con questo metodo non si arriva a un milione di cifre in breve tempo, che le tecniche per verificare se un numero così grande è primo non sono quelle standard, perché non si può verificare la divisibilità di quel numero con tutti i numeri primi che lo precedono, ma non c'è stato niente da fare.

L'altro giorno uno studente mi annuncia di aver trovato un numero primo colossale. Allora estraggo la mia calcolatrice e provo a vedere se è vero. Inserisco il numero, dico alla calcolatrice di fattorizzarlo, e attendo. Gli studenti mi guardano meravigliati:

“Prof, ma la sua calcolatrice riesce a calcolarlo?”.
“Certo”.
“Ma le dice se un numero è primo o no?”.
“Bè, se non è primo, me lo scompone”.
“Ma quella calcolatrice fa tutto?”.
“Certo”.
“Ma riesce anche a...”.
“Certo”.
“Prof, dove l'ha comprata?”.

Dopo un po' di tempo (almeno una decina di secondi), la calcolatrice restituisce il risultato: il numero è composto da due fattori primi, uno di cinque o sei cifre, l'altro più grande. È andata male, ma neanche tanto.

“Prof, mi presta la calcolatrice?”. Hanno provato a cercare qualche numero primo col loro metodo spannometrico, e ne hanno trovato qualcuno. Il record: 496311972439362137.

Se lo avessi dato per compito, mi avrebbero guardato con aria di compatimento...

giovedì 1 marzo 2007

Consigli per gli acquisti (matematici)

Ho scoperto questo negozio online.

Fare colazione con una tazza che mostra la scritta To a topologist this is a doughnut deve essere una cosa meravigliosa. Soprattutto indossando la maglietta che afferma Entropy happens.