Il metodo Cramer, infine

“E insomma, ormai è ora di capire perché funziona la magia del metodo di Cramer”.

“Oh, finalmente”.

“Riassunto delle puntate precedenti: primo, il determinante di un sistema è l'area di un parallelogramma generato da due vettori, che a loro volta sono visibili nelle colonne della matrice”.

“Ricordo”.

“Secondo, un sistema di equazioni può essere visto come la risoluzione del seguente problema: di quanto devo moltiplicare due vettori in modo tale che la somma dei risultati dia un terzo vettore?”.

“Ricordo anche questo”.

“E allora ormai è fatta, basta fare qualche considerazione geometrica. Faccio un po' di figure, prendendo come esempio il sistema che abbiamo considerato l'altra volta, cioè questo:”.

“Ricordo che l'avevi scritto in forma vettoriale in questo modo:”.

“Esatto. Allora, qua sotto ho messo in evidenza il parallelogramma generato dai due vettori (2,1) e (1,3). Nella figura però scrivo una formula generale, considerando i vettori (a,b) e (c,d)”.

“Ok, l'area del parallelogramma è il determinante della matrice”.

“Sì. Sto continuando a usare le parentesi tonde per non complicare la notazione^[*], immagino che si capisca dal contesto quando è necessario considerare la matrice e quando, invece, il suo determinante, no?”.

“Sì, direi di sì, capisco senza problemi per adesso”.

“Bene. Ora moltiplico per x, una delle due incognite, il vettore u”.

“E non moltiplichi u per y?”.

“Ancora no”.

“Ma così non ottieni la soluzione, però”.

“Infatti, no, ma non mi interessa. Voglio considerare questo parallelogramma:”.

“Ah. Ma si può raccogliere quella x?”.

“Pensa alle aree: moltiplicando la base di un parallelogramma per x, che succede all'area?”.

“Viene moltiplicata pure lei per x”.

“Quindi l'area del parallelogramma evidenziato è x volte l'area del parallelogramma iniziale”.

“Bene, ci sono”.

“Ora guarda, modifico la figura in questo modo:”.

“Mh, come mai hai scritto che anche questo nuovo parallelogramma ha la stessa area del precedente?”.

“Perché questo e quello di prima hanno la stessa base e la stessa altezza”.

“Non riesco a vederlo…”.

“Ruota un po' la testa”.

“Ehm”.

“Sì, guarda bene: i due parallelogrammi hanno un lato congruente”.

“Il vettore v”.

“Esatto: quello è la base. E hanno la stessa altezza perché i lati opposti a v, sia quello del primo parallelogramma sia quello del secondo, stanno sulla stessa retta”.

“Ah! Ora ho capito. E adesso?”.

“E adesso osserva come è fatto questo nuovo parallelogramma: quali sono i suoi lati?”.

“Uno è v, abbiamo detto”.

“Certo. E l'altro?”.

“Boh? Vedo che è la diagonale del parallelogramma grande”.

“Esatto, e quanto è lunga?”.

“Come faccio a saperlo?”.

“Pensa a come si sommano i vettori, no? Non c'è una regola che si chiama proprio regola del parallelogramma?”.

“Ah, ma sì, certo! È la somma di x(2,1) + y(1,3)”.

“E tu sai già quanto vale questa somma, no?”.

“Perché?”.

“Beh, è il testo del sistema”.

“Uh. Ma allora quella diagonale è il vettore (7,11)”.

“Già. Ora traduci il ragionamento nel caso generale: il sistema iniziale è questo:”.

“In questo caso la diagonale è (e,f)”.

“E, quindi, in che altro modo puoi scrivere l'area del parallelogramma avente due lati lunghi (e,f) e v?”.

“Posso scriverla come determinante avente come colonne i due vettori! Così:”.

“Ottimo. Vedi quindi che ci sono due modi per esprimere quell'area, da cui puoi ricavare un'equazione”.

“Certo, eccola:”.

“Ricava la x ed è fatta”.

“Ah, ma è vero, è proprio il calcolo che si fa con questo metodo per ricavare la x, mi ricordo!”.

“Molto bene, la regola dice proprio così: per ricavare la x devi costruire una frazione fatta in questo modo. E cioè: al denominatore devi mettere il determinante della matrice dei coefficienti, mentre al numeratore devi mettere il determinante della matrice che si ottiene a partire da quella dei coefficienti, sostituendo però al posto della colonna delle x quella dei termini noti. Per ricavare la y si procede in modo analogo, costruendo però un altro parallelogramma”.

“Suppongo che sia quello che si ottiene moltiplicando il vettore v per y”.

“Già. Ed ecco il risultato di tutta questa fatica:”.

“Molto bene. Immagino che tutto questo si generalizzi con sistemi aventi più equazioni e più incognite, no?”.

“Esatto, il concetto di determinante nasce proprio per generalizzare tutto ciò. Naturalmente invece di parlare di aree si parlerà di volumi, ipervolumi, cose così”.

“Naturalmente”.

“Ma l'idea di base è comunque questa. Concludo con una animazione, che dovrebbe aiutarti a capire meglio come sono fatti i parallelogrammi di cui abbiamo parlato finora”.




“Oh, ora i due parallelogrammi che hanno la stessa area si vedono bene!”.

E quindi, Cramer?

“Cramer! Chi era costui? — ruminava tra sé il Vero Matematico seduto sul suo seggiolone, in una stanza del piano superiore, con un libricciolo aperto davanti…”.

“Ma cosa stai dicendo?”.

“Avevi iniziato a parlare dei determinanti, pensavo che prima o poi mi avresti raccontato anche del misterioso metodo di Cramer per la risoluzione dei sistemi”.

“Hai ragione, rimedio subito! Cosa significa risolvere un sistema?”.

“Eh, significa trovare i valori delle incognite che rendono vere entrambe le equazioni, se non mi sbaglio”.

“Giusto, è così. Ma adesso vorrei mostrarti la cosa da un altro punto di vista”.

“Capirai, fai sempre così!”.

“Guarda che è questo il bello della matematica, vedere le cose da diversi punti di vista, riconoscere analogie, creare collegamenti, ed essere felici per questo”.

“…”.

“Comunque, ti propongo un nuovo punto di vista sui sistemi, e lo faccio con un esempio, così abbiamo dei numeri con cui giocare. Eccoti il testo di un esercizio:”.

“Ok, non mi sembra difficile, fammi fare un po' di conti… mi pare che risulti x = 2 e y = 3”.

“Bene, fin qua ci siamo. Adesso permettimi di scrivere il sistema in un modo leggermente diverso, ecco:”.

“Uh? Ma che roba è”.

“Possiamo vederla come una scrittura in forma vettoriale del sistema di prima: quei numeri scritti tra le parentesi sono le componenti dei vettori”.

“Quindi, per capire, all'inizio sto moltiplicando x per il vettore avente componenti 2 e 1?”.

“Esatto. Per dirla in un altro modo, stiamo considerando la prima riga del sistema come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ascisse di certi vettori, e la seconda riga, invece, come una descrizione di quello che succede nel mondo delle ordinate”.

“Ma le ascisse sono le x, che compaiono sia nella prima che nella seconda riga. E anche le ordinate, eh”.

“Non fare confusione, le x e le y che vedi nel sistema non c'entrano con le ascisse e le ordinate di cui ti sto parlando. Tu hai un vettore, che ha componenti 2 e 1…”.

“Ascissa 2 e ordinata 1”.

“Esatto. Lo moltiplichi per x, cioè ne vari la lunghezza, e ottieni un altro vettore…”.

“Di ascissa 2x e ordinata x?”.

“Proprio così. Poi hai un secondo vettore, di componenti 1 e 3. Questo lo moltiplichi per y”.

“E ottengo un vettore di componenti y e 3y”.

“Sì. Adesso li sommi: ti ricordi come si fa la somma tra due vettori?”.

“Si fa componente per componente. Il risultato dovrebbe essere il vettore di ascissa 2x + y e di ordinata x + 3y”.

“E queste sono le due righe del sistema. Cioè, le due parti a sinistra dell'uguale”.

“Ah, ho capito. E il sistema quindi ci domanda quanto devono valere x e y perché il vettore risultante sia quello di componenti 7 e 11?”.

“Ottimo, hai detto bene: traducendo in linguaggio geometrico, il sistema ci domanda di quanto devo allungare i due vettori (2,1) e (1,3) perché il risultato sia il vettore (7,11)”.

“E quindi potrei fare anche un disegnino, con questi vettori? Giusto per vedere meglio le cose”.

“Naturalmente. Puoi giocare con la figura qua sotto: in rosso sono indicati i vettori u e v, che sono i vettori (2,1) e (1,3). Puoi trascinare il punto viola dove vuoi, e osservare come devono essere modificati i due vettori dati perché la loro somma dia il vettore che termina sul punto viola”.



“Mh, carino, ma il punto rosso cosa sarebbe?”.

“È il punto di coordinate (7,11), cioè il punto dove tu vorresti fare andare la punta del vettore”.

“Beh, posso trascinarcela sopra, no?”.

“Certo. Se lo fai, puoi vedere come devono essere modificati i vettori u e v in modo tale che la loro somma finisca proprio su (7,11)”.

“Provo… a occhio mi sembra che il vettore u raddoppi…”.

“Eh eh”.

“Cosa c'è da ridere?”.

“Magari ti sembra anche che il vettore v triplichi?”.

“Mh, non riesco a vederlo bene a occhio, ma potrebbe essere. Continuo a non capire perché ridacchi, però”.

“Perché hai già risolto il sistema prima! Non avevi trovato x = 2 e y = 3?”.

“Sì, ma cosa c'entra… Ah! Ma certo! Il fatto che x sia uguale a 2 significa che devo moltiplicare il vettore u per 2, e il fatto che y sia uguale a 3 significa che devo moltiplicare v per 3, e il risultato è proprio (7,11). Ma guarda un po', non avevo mai visto un sistema risolto in questo modo”.

“Bello, vero? In pratica abbiamo interpretato il sistema come un'equazione vettoriale. Se diamo un nome anche al vettore risultante, cioè (7,11)…”.

“A questo punto chiamiamolo w”.

“Bene, se poniamo allora w = (7,11), il sistema che abbiamo scritto prima può essere riscritto così:”.

xu + yv = w.

“Molto semplice”.

“E però non possiamo mica sempre trovare x e y a occhio, no?”.

“Eh, no. Ma questa visualizzazione ci aiuterà molto nella ricerca di un metodo risolutivo”.

“Il famoso metodo di Cramer?”.

“Proprio lui”.