Su un particolare insieme numerico - i Reali, e tanta altra roba

“Tanto tempo fa avevamo parlato dei numeri surreali, e della loro generazione secondo un meccanismo induttivo. Ogni giorno vengono creati nuovi numeri, e abbiamo scoperto che essi sono tutti scrivibili come frazioni diadiche”.

“Sì, ricordo”.

“Bene. Ora dobbiamo fare un passo abbastanza lungo: dobbiamo pensare a quello che succede dopo infiniti giorni”.

“Avevi detto che servono infiniti giorni per creare numeri come, ad esempio, 1/3”.

“Esatto: 1/3 non è una frazione diadica, ma può essere approssimato, bene quanto si vuole, da frazioni diadiche”.

“E questo cosa comporta?”.

“Comporta il fatto che, per esempio, possiamo generare 1/3 in questo modo:”.

{0.01, 0.0101, 0.010101,… | 0.1, 0.011, 0.01011,…}

“Comincio a capire. Ogni numero reale può essere approssimato da frazioni diadiche?”.

“Sì, tutti. Ogni numero reale può essere trasformato in forma binaria: se ne prendi un troncamento qualsiasi, diventa una frazione diadica. Ad esempio, questo è un numero famoso: ”.

11.0010010000111111011010101000100010000101101…

“Uh? E che numero è?”.

“Il famoso pi greco (o pi greca, come diceva un mio collega)”.

“Wow. Però questi surreali sono un po' una delusione, tutta questa fatica per creare numeri che già conosciamo e usiamo”.

“Se anche fosse vero quello che dici, l'obiezione che si potrebbe fare è la seguente: non importa tanto il risultato, quanto il metodo usato per arrivarci. Con questa costruzione abbiamo imparato cose che prima non conoscevamo. Rimane il fatto, però, che quello che dici non è vero”.

“Perché no?”.

“Perché oltre ai numeri reali vengono creati anche tanti altri numeri”.

“Altri numeri non reali?”.

“Sì. Guarda questo, ad esempio:”.

{0,1,2,3,… |}

“Uhm, cos'è questo orrore?”.

“È un numero transfinito, quello che una volta avevamo chiamato ω”.

“Ah! Ma allora con questa teoria dei numeri surreali i numeri finiti e quelli infiniti sono parenti?”.

“Sono lo stesso tipo di numeri: surreali, appunto. Ma non è finita, dopo infiniti passi (potremmo dire nel giorno ℵ) vengono creati anche altri numeri. Guarda quest'altro:”.

{ |…, -3, -2, -1, 0}

“Un numero infinito negativo?”.

“Che possiamo chiamare -ω”.

“Bello. C'è dell'altro?”.

“Sì, ad esempio questo:”.

{0 | 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,…}

“Questo non lo capisco. Maggiore di 0 ma minore di qualunque frazione diadica?”.

“Sì, non è importante che la frazione sia diadica, naturalmente. Abbiamo quelle a disposizione, e quindi usiamo quelle, ma il fatto importante è che questo numero è maggiore di zero e minore di qualunque numero reale positivo”.

“E che numero è?”.

“È un infinitesimo, che potremmo chiamare 1/ω”.

“Ma che meraviglia”.

“Non solo lo 0 ha, vicino a sé, un infinitesimo, ma anche tutti gli altri numeri che hanno espansione binaria finita. Per esempio, eccoti 1+1/ω”.

{1 | 1+1/2, 1+1/4, 1+1/8,…}

“Uhm, peccato però”.

“Cosa?”.

“Peccato non poter avere infinitesimi intorno a tutti i numeri reali: sarebbe una creazione più completa”.

“Bè, per quello bisogna aspettare un altro giorno”.

“Un giorno dopo il giorno ℵ? Possibile?”.

“Certo. Il giorno dopo ℵ tutti i numeri reali avranno i loro vicini infinitesimi”.

“Ma allora, se è possibile andare avanti dopo il giorno ℵ, si potranno creare anche altri numeri infiniti”.

“Certo. Si possono creare tutti gli ordinali di Cantor, e tanti altri numeri. Per esempio:”.

ω+1 = {ω |}

“Questo è ancora un ordinale di Cantor”.

“Sì. Guarda questo, invece:”.

ω+1/2 = {ω | ω+1}

“Questo Cantor non lo conosceva!”.

“E che mi dici di {0,1,2,3,… | ω}?”.

“Mh, questo non lo capisco”.

“È ω-1”.

“Anche le sottrazioni? Incredibile: un numero transfinito minore di ω, Cantor si rivolterebbe nella tomba”.

“O ne sarebbe entusiasta, chissà. Naturalmente così come hai costruito ω-1 puoi anche costruire ω-2, eccetera”.

“Eh, sì”.

“E puoi combinare infiniti e infinitesimi, per costruire numeri come ω+1/ω oppure ω-1/ω”.

“Eh, eh, infinitamente vicini all'infinito”.

“Poi, naturalmente, puoi andare avanti e, dopo un opportuno (e infinito) numero di giorni potrai avere ω+ω = 2ω, poi 3ω, e così via. Ci saranno ω², ω³, fino ad arrivare a ω^ω. Il quale comunque non è un punto di arrivo, come abbiamo già visto con gli ordinati transfiniti di Cantor: si può sempre andare avanti”.

“Qui, se ho capito bene, oltre ad andare avanti si può anche andare, in un certo senso, dentro. Cioè vicino a numeri già noti in una maniera che prima non sarebbe stata possibile”.

“Esatto. Questo, ad esempio, è ω/2: {0,1,2,… | ω, ω-1, ω-2,…}”.

“Non avevo pensato alle divisioni”.

“E che dire della radice quadrata di ω?”.

“Si può calcolare anche quella?”.

“Eccola: {0,1,2,3,… | ω, ω/2, ω/4,…}. E, per quanto riguarda gli infinitesimi, puoi farne molti:”.

1/(2ω) = {0 | 1/ω}
2/ω = {1/ω | 1, 1/2, 1/4,…}
1/ω² = {0 | 1/ω, 1/(2ω), 1/(4ω),…}

“Bellissimo”.

“Per concludere, eccoti una definizione di derivata”.

“Si può fare anche l'analisi, con questi numeri?”.

“Sì, possono essere usati per la cosiddetta analisi non standard. La derivata di una funzione, ad esempio, è il numero reale più vicino al quoziente tra (f(x + 1/ω)-f(x)) e 1/ω stesso”.

“Gulp”.

Su un particolare insieme numerico - binari

“Prendi per esempio la frazione 5/8. Come diventa, in forma decimale?”.

“Aspetta che cerco la calcolatrice”.

“LA CALCOLATRICE?”.

“Ehm, sì, perché fai quella voce?”.

“LA CALCOLATRICE È IL MALE, LA ROVINA DI TUTTI GLI STUDENTI!”.

“Esagerato… Sai che con quella voce mi metti a disagio?”.

“LA CALCOLATRICE È COME L'ALIENO PER LA NOSTROMO, COME TERMINATOR PER SARAH CONNOR, COME IL SEMAFORO FANTASMA PER CRICCHETTO”.

“Ma che male può fare?”.

“PRENDILA”.

“Ehm, posso?”.

“PRENDILA”.

“Eccola. Gulp”.

“SCRIVI 2”.

“Ecco”.

“FAI LA RADICE QUADRATA”.

“Fatto”.

“ELEVA AL QUADRATO”.

“Ecco qua”.

“QUANTO VIENE?”.

“Due, no?”.

“NO! VEDI? VEDI IL GRANDE INGANNO? È POSSIBILE CHE IL NUMERO CHE HAI ELEVATO AL QUADRATO DIA ESATTAMENTE DUE COME RISULTATO? TI PARE CHE LA CALCOLATRICE SIA COSÌ POTENTE DA RIUSCIRE A CONTENERE TUTTE LE CIFRE DI CUI È COMPOSTA LA RADICE DI DUE?”.

“Ah, bè, certo, no. La calcolatrice approssima”.

“E ALLORA PERCHÉ QUANDO ELEVI AL QUADRATO NON HAI UN RISULTATO APPROSSIMATO, MA OTTIENI PROPRIO DUE?”.

“Eh, ehm, direi che sia perché la calcolatrice approssima un'altra volta”.

“E SECONDO TE LO STUDENTE MEDIO SE NE ACCORGE? È CONSAPEVOLE DI QUESTA DOPPIA APPROSSIMAZIONE?”.

“Forse no, eh?”.

“CERTO CHE NO. LUI CREDE CHE LA RADICE DI DUE SIA COMPOSTA DA QUELLA MANCIATA DI CIFRE E BASTA. NON SA, O NON RICORDA, CHE LA RADICE DI DUE È COMPOSTA DA INFINITE CIFRE, NON CAPISCE CHE I RISULTATI DELLA CALCOLATRICE SONO APPROSSIMATI. LUI CREDE CHE CON LA CALCOLATRICE SI POSSA FARE TUTTO. LUI PENSA CHE, AVENDO A DISPOSIZIONE UNA CALCOLATRICE, SI POSSA ANCHE (SANTO CIELO, COSA STO PER DIRE) NON STUDIARE”.

“In effetti, capisco il tuo disappunto”.

“Oh, bene”.

“Ora hai una voce normale, per un po' mi sono preoccupato”.

“Eh, quando mi parlano di calcolatrici mi altero un pochino”.

“Allora mi impegno a calcolare 5/8 senza usarla, va bene?”.

“Prova a usare questo metodo: per ogni fattore 2 al denominatore moltiplica numeratore e denominatore per 5: in questo modo ottieni un fattore 10 e le divisioni per 10 sono sempre molto simpatiche, anche agli studenti”.

“Quindi invece di 5/8 potrei scrivere 25/40”.

“Prosegui, ci sono altri due fattori 2 al denominatore”.

“Uhm, se moltiplico ancora per 5 ottengo 125/200, e se lo faccio un'ultima volta risulta 625/1000”.

“E quindi 5/8 è uguale a 0.625”.

“Giusto”.

“Adesso facciamolo in binario”.

“Eh? Si possono scrivere i numeri binari con la virgola?”.

“Certo: le posizioni dopo la virgola non rappresenteranno più potenze di dieci come un decimo, un centesimo, un millesimo, e così via, ma rappresenteranno potenze di due: un mezzo, un quarto, un ottavo, eccetera”.

“Non ho mica ben capito. Come diventerebbe 5/8?”.

“Allora, la prima potenza di due che possiamo usare dopo la virgola è 2^-1, cioè 1/2. Il nostro 5/8 è maggiore o minore di 1/2?”.

“Maggiore: 1/2 è uguale a 4/8”.

“Perfetto, quindi 5/8 = 4/8 + 1/8 = 1/2 + 1/8”.

“Giusto”.

“Quindi 5/8 = 2^-1 + 2^-3”.

“Ah, comincio a capire”.

“Dunque 5/8 in forma binaria diventa 0.101”.

“Molto bello”.

“Adesso prova con 1/3”.

“Vediamo: 1/3 è maggiore di 1/4”.

“Giusto”.

“Quindi posso scrivere 1/3 come 1/4 + 1/12”.

“Bene, ora prosegui con 1/12”.

“1/12 è maggiore di 1/16, quindi posso scrivere 1/12 = 1/16 + 1/48”.

“Bene. E cosa puoi dire su 1/48?”.

“Dico che è maggiore di 1/64, e quindi posso scriverlo come 1/64 + 1/192”.

“E così via”.

“Non ci si ferma mai, eh?”.

“No, infatti. Ogni volta trovi una frazione il cui denominatore è tre volte il precedente, e non finisci mai. Anche in forma binaria la frazione 1/3 è periodica, risulta uguale a 0.(01)”.

“E quali sono i numeri che hanno espansione binaria finita?”.

“Sono proprio le frazioni diadiche”.

“Ah, ora comincio ad avere una visione d'insieme. Quindi nei primi n giorni non vengono creati tutti i numeri, per quanto n possa essere grande, ma solo le frazioni diadiche”.

“E anche i numeri interi: non dimenticare che man mano che passano i giorni vengono creati anche nuovi numeri interi”.

“Giusto, sì. E allora per creare 1/3, ad esempio, come si fa?”.

“Semplice: servono infiniti giorni”.

Su un particolare insieme numerico - frazioni diadiche

“Insomma, i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno sono meno di quello che mi aspettavo”.

“Sì, è vero, esistono molti modi diversi per descrivere lo stesso numero: il teorema di semplificazione ci aiuta molto”.

“E quindi, alla fine, quanti nuovi numeri ci saranno ogni giorno? Si riesce a capire?”.

“Sì, certo. Le cose stanno così; supponi che dopo un certo numero di giorni siano stati creati m numeri:”.

x₁ < x₂ < … < x_m

“Ok. Il giorno dopo che succede?”.

“Il giorno dopo saranno creati questi numeri:”.

{|x₁}, {x₁|x₂}, {x_m-1|x_m}, {x_m|}.

“Ah. Ogni altra possibile combinazione è quindi uguale a una di queste?”.

“Sì, è il teorema di semplificazione che ce lo dice. Per esempio, {x₁|x₃} è uguale al numero più anziano compreso tra x₁ e x₃”.

“Che in questo caso è x₂”.

“Sì, perché c'è solo lui. In altri casi più complicati bisogna proprio controllare l'anzianità dei numeri compresi, e scegliere il più vecchio”.

“Quindi il giorno 1 abbiamo un solo numero, lo zero. Il giorno 2 abbiamo lo 0, +1 e -1, il giorno 3 abbiamo 0, +1/2, +1, +2, -1/2, -1, -2”.

“E, in generale, il giorno n abbiamo 2ⁿ-1 numeri”.

“Ho capito. Ma i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno che forma hanno? C'è una legge che ci dice quali sono questi nuovi numeri?”.

“Sì. Ogni giorno vengono creati due nuovi numeri interi, che sono quelli che nella lista abbiamo indicato con {|x₁} e {x_m|}”.

“Bene, questi li avevo capiti. Per esempio, 1 = {0|}, 2 = {1|}, 3 = {2|}, e così via”.

“Esatto. Gli altri, quelli che genericamente abbiamo indicato con {x_i-1|x_i}, sono uguali alla media tra x_i-1 e x_i”.

“Ah, ecco come funziona! Quindi, per fare un esempio, {1/2|3/4} dovrebbe essere uguale a 5/8”.

“Proprio così. Riassumendo, ogni giorno vengono creati nuovi numeri interi e nuove frazioni il cui denominatore è una potenza di 2. Sono quelle che vengono chiamate frazioni diadiche”.

“Ma allora non vengono creati tutti i numeri reali. Anzi, non vengono creati nemmeno tutti i numeri razionali! Per esempio, il semplice 1/3 non fa parte di questa lista”.

“Esatto: i numeri reali non vengono creati dopo un tempo finito”.

Su un particolare insieme numerico - simplicity theorem

“Tornato dalle vacanze?”.

“Eh, sì, perché?”.

“È da un po' che non parli di numeri surreali”.

“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.

“Anche se?”.

“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.

“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.

“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.

“Che sarebbe?”.

“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.

“Uh, quella mi piace”.

“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.

“Va bene, cosa semplifichiamo?”.

“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.

“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.

“Giusto, ma non basta”.

“Sarà 1+1/2?”.

“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.

“Ahia”.

“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.

“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.

“Perché?”.

“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.

“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.

“Perché usi l'inglese?”.

“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.

“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.

“Dice questo: se tu hai un numero x = {x_L|x_R} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra x_L e x_R, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.

“Chiamala semplicità...”.

“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.

“Dai, proviamo a capire allora”.

“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.

“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.

“O anche la tua proposta 1+1/2”.

“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.

“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.

“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.

“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.

“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.

“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.

“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.

“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.

“Uhh, comincio a capire...”.

“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.

“E se quel numero non esiste?”.

“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.

“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.

“Esatto. Prova a farlo”.

“Ecco qua:”.

{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2

“Perfetto: 7 numeri”.

“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.

“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.

“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.

“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.

“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.

“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che x_R non sia minore o uguale di z (no, z è minore di x_R per ipotesi) oppure z_L non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ z_L potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.

x_L < x ≤ z_L < z < x_R.

“Eh, ehm, allora?”.

“E allora z_L sarebbe compreso tra x_L e x_R, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.

“Bello”.

“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.

Su un particolare insieme numerico - la somma

x + y = {x_L + y, x + y_L | x_R + y, x + y_R}

“Questa sarebbe la definizione di somma di due numeri surreali?”.

“Esattamente”.

“Vedo che si basa su sé stessa”.

“Esatto, per fare una somma devi fare una somma”.

“Lapalissiano”.

“Naturalmente, funziona grazie all'induzione, a destra dell'uguale si fanno somme tra elementi più semplici, cioè nati prima. A un certo punto ci si ferma, quando si arriva all'insieme vuoto”.

“Facciamo una prova?”.

“Certo. Cominciamo da una facile: 1 0”.

“Ah, forse è la più facile. Bé, no, ci sarebbe 0+0, ma visto che in quel caso gli insiemi sono tutti vuoti, si capisce subito che il risultato è ancora 0”.

“Già. Prova invece a calcolare 1+0, cioè {0|} + {|}”.

“Vediamo... Mh, non capisco bene come devo fare quando devo sommare un numero all'insieme vuoto”.

“In quel caso, non risulta nulla: se devi sommare un numero a un elemento dell'insieme vuoto, non puoi farlo, dato che l'insieme vuoto non ha elementi”.

“Allora, scrivo tutto poi vedo come semplificare: secondo la definizione, viene {0+0|}. Ah, il calcolo di 0+0 è facile, l'abbiamo detto prima, fa 0. Quindi 1+0 = {0|} = 1. Bene, risulta quello che mi aspettavo”.

“A questo punto puoi dimostrare che 0 è l'elemento neutro della somma”.

“Cioè che x+0 = x?”.

“Sì. Prova a calcolare x+0 = {x_L|x_R} + {|}”.

“Viene {x_L+0|x_R+0}. Uh, e quanto fa? Dovrei calcolare x_R+0 e x_L+0, prima”.

“Certo, ma questa è l'induzione, ricordi? x_L e x_R sono stati creati prima di x, e puoi andare indietro fino al punto di partenza. A un certo punto quella somma diventerà 0+0, che fa 0. Quindi, per induzione, puoi supporre che x_L+0 = x_R, e x_R+0 = x_R”.

“E quindi x+0 = x”.

“Sì. Ora prova a calcolare 1+1”.

“Ah, vediamo se fa 2! Il calcolo è questo: {0|} + {0|}. Il risultato è {0+1, 1+0|} = {1,1|} = {1|}”.

“E {1|} è proprio il numero che avevamo indicato con 2”.

“Sì, mi ricordo. Mh, ora mi viene in mente una cosa: avevo pensato che il numero {0|1} potesse essere uguale a 1/2, dato che si trova a metà tra 0 e 1”.

“Sì, in effetti è così, anche se non è sempre vero che {a|b} si trova a metà tra a e b. Ma di questo ne parleremo”.

“Però in questo caso è vero? Avevo pensato di dimostrarlo calcolando 1/2 + 1/2”.

“Bene, se risulta 1 sei a posto, prova”.

“Allora, voglio calcolare 1/2 + 1/2 = {0|1} + {0|1}. Se applico la definizione, ottengo {0+1/2, 1/2+0 | 1+1/2, 1/2+1} = {1/2 | 1+1/2}. Mh, non è facile come mi aspettavo”.

“Sì, è vero. Come puoi fare per dire che {1/2 | 1+1/2} è uguale a 1, come ti aspetteresti?”.

“Eh, l'unico modo che mi viene in mente è la definizione: due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.

“Perfetto. Prova a vedere se {1/2 | 1+1/2} ≤ 1”.

“Allora, è vero a meno che 1/2 non sia maggiore o uguale di 1 (no) oppure... (no, mi fermo perché l'insieme di destra di 1 è vuoto). Bè, questa è stata facile”.

“Ora prova a dimostrare che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.

“La disuguaglianza è vera a meno che 0 non sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2} oppure che 1+1/2 non sia minore o uguale di 1. Queste due disuguaglianze non sono ovvie, però”.

“Comincia dalla prima: è possibile che 0 sia maggiore o uguale di {1/2 | 1+1/2}? Sai che {1/2 | 1+1/2} è un numero maggiore del suo elemento di sinistra”.

“Ah, è vero! Allora certamente 0 non è maggiore di {1/2 | 1+1/2}, questa è fatta”.

“Ora l'altra: è possibile che 1+1/2 sia minore o uguale di 1?”.

“Dovrei sapere come è fatto 1+1/2. Allora, il calcolo sarebbe questo: 1+1/2 = {0|} + {0|1}. Applicando la definizione di somma ho {0+1/2, 1+0 | 1+1} = {1|2}. Adesso? Mi sono perso...”.

“Ti stavi chiedendo se 1+1/2, che hai scoperto essere uguale a {1|2}, può essere minore o uguale di 1”.

“Ah, certo che no, deve essere maggiore di 1”.

“Bene, quindi sei a posto, hai dimostrato che 1 ≤ {1/2 | 1+1/2}”.

“Prima avevo dimostrato la disuguaglianza contraria, quindi posso dire che 1 = {1/2 | 1+1/2}”.

“E quindi 1/2+1/2 fa proprio 1”.

Su un particolare insieme numerico - semplifichiamo

“Grazie all'induzione, di cui abbiamo parlato la volta scorsa, possiamo dimostrare qualche semplice proprietà:”.

Per ogni gioco, si ha che:

• x non è maggiore o uguale di x_R
• x non è minore o uguale di x_L
• x ≤ x
• x = x
• se x ≥ y e y ≥ z, allora x ≥ z (proprietà transitiva)

Per ogni numero, si ha che:

• x_L < x < x_R
• x ≤ y oppure y ≤ x (l'ordinamento è totale)

“Perché dici gioco?”.

“Perché sono proprietà che valgono in generale per tutti i giochi, cioè non fanno uso del fatto che x_L non è maggiore o uguale di x_R”.

“Ah. E le dimostriamo?”.

“Pensavo di lasciarle come esercizio al lettore volonteroso: si basano sul concetto di induzione”.

“Ok”.

“Ora invece vediamo di rispondere a un'altra domanda: quand'è che un numero x = {x_L|x_R} è uguale a un numero X = {y, x_L|x_R}?”.

“Eh?”.

“Traducendo: quand'è che possiamo aggiungere un numero a sinistra senza cambiare il valore di x?”.

“Ah, ora ho capito. Avevamo dimostrato che {0,1|} e {1|} sono uguali, per esempio. Quindi quello 0 a sinistra era inutile”.

“Esatto: ora troviamo una regola generale. Consideriamo i due numeri x e X che abbiamo appena definito e chiediamoci quando x ≤ X”.

“Uhm, dovrei saperlo dire, ormai. Vediamo: x è minore o uguale di X a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra di x, cioè x_L, non sia maggiore o uguale di X (no, è impossibile, perché ogni x_L è anche un X_L, che non può essere maggiore o uguale di X), oppure a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero, cioè X_R, non sia minore o uguale di x (no, impossibile, perché ogni X_R è anche un x_R)”.

“Perfetto, ottima analisi. Dunque x ≤ X. Puoi fare la stessa analisi anche per X ≤ x?”.

“Ormai non mi ferma più nessuno. Allora, X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero, cioè {y, x_L}, sia maggiore o uguale di x — uhm, tutti gli x_L non sono maggiori o uguali di x, ma di y non so niente. Quindi devo imporre che anche y non sia maggiore o uguale di x”.

“Perfetto, vai avanti, manca la seconda condizione”.

“Ah, già. La seconda condizione dice che X è minore o uguale di x, a meno che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero non sia minore o uguale di X — questo non può succedere perché ogni x_R è anche un X_R. Quindi siamo a posto, l'unica condizione che devo imporre è quella su y”.

“Ottimo. Riassumendo, {y, x_L|x_R} = {x_L|x_R} purché y non sia maggiore o uguale di x”.

“Ah, finalmente un bel risultato. A questo punto possiamo accorciare quella lista di venti numeri che avevamo fatto tempo fa?”.

“Sì, prova a semplificarla, ricordandoti che puoi eliminare un numero dalla parte sinistra dell'insieme se, sempre nella parte sinistra, ne esiste un altro maggiore di quello”.

“Eh, però mi piacerebbe sapere come fare a semplificare quei numeri che hanno più elementi nella parte destra”.

“Hai ragione: puoi usare evidenti ragioni di simmetria per dedurre che, nella parte destra, puoi eliminare un numero se ne esiste un altro minore di quello”.

“Uhm, non faccio commenti sulle ragioni di simmetria... Quindi posso dire che ogni numero x è uguale a quel numero che si ottiene prendendo il più grande elemento di x_L e il più piccolo elemento di x_R?”.

“Esatto, ammesso che, naturalmente, esista il più grande elemento dell'insieme di sinistra o il più piccolo di quello di destra”.

“Naturalmente”.

“Questa proprietà è valida per i nostri venti numeri, quindi possiamo andare avanti tranquilli”.

“Ok, allora, vediamo. L'elenco dei nuovi numeri dovrebbe ridursi così:”.

{|} = 0
{-1|}
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|}
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1}
{|0,1} = {|0} = -1
{|1}
{-1|0,1} = {-1|0}
{-1|1}
{-1,0|1} = {0|1}

“Giusto. Per ora ci fermiamo qua, poi vedremo come ridurlo ancora”.

Su un particolare insieme numerico - induzione

“Allora, hai visto come funzionano le dimostrazioni riguardanti l'ordinamento tra due numeri?”.

“Sì, ho visto: una cosa complicatissima, abbiamo impiegato un sacco di tempo solo per verificare che 1 è minore di 2”.

“Sì, è vero, ma ora vorrei farti notare questo: ti sei accorto che la definizione di ordinamento è ricorsiva?”.

“Cioè?”.

“Cioè richiama sé stessa: per dimostrare che x è minore di y devi dimostrare che x_L non è maggiore o uguale di y, e poi che y_R non è minore o uguale di x”.

“Ah, hai ragione. Ora che ci penso, è poi il metodo che abbiamo usato per dimostrare che 1 è minore di 2: abbiamo sospeso la dimostrazione per verificare altre disuguaglianze”.

“Infatti, è così. Ogni dimostrazione fa riferimento su una dimostrazione precedente, è su questo che si basa il principio di induzione”.

“Siamo sicuri che sia sempre precedente?”.

“In che senso?”.

“Voglio dire: per dimostrare che a è minore di b devo prima aver dimostrato altre due disuguaglianze. Siamo sicuri che queste facciano riferimento a disuguaglianze che ho già dimostrato prima? Non può succedere che, per dimostrare che a è minore di b, devo prima dimostrare che c è minore di d, e quando vado a dimostrare che c è minore di d devo dimostrare che a è minore di b? Non ci possono essere riferimenti circolari?”.

“Ah, bene, ottima domanda. No, non possono esserci riferimenti circolari, ed è facile vederlo se pensi alla genesi dei numeri”.

“Uhm, quella storia per cui ogni giorno vengono creati nuovi numeri?”.

“Esatto. Ogni numero ha il suo compleanno, anche se la parola inglese rende meglio”.

“Birthday?”.

“Sì: letteralmente significa giorno di nascita. Ad ogni numero possiamo associare il giorno in cui è stato creato”.

“Va bene, ma questo come ci aiuta?”.

“Immagina di dover dimostrare che x ≤ y. Sia x che y hanno i loro giorni di nascita”.

“Ok. Non è che potremmo continuare a chiamarli compleanni? Mi pare che suoni meglio”.

“Va bene. Allora, per dimostrare che x ≤ y devi dimostrare che x_L non è maggiore o uguale di y, e poi che y_R non è minore o uguale di x. Cosa puoi dire sul compleanno di x_L?”.

“Ah, non so”.

“Ricorda che x_L ti è servito per costruire il numero x”.

“Ah, vuoi dire che i numeri contenuti in x_L devono essere stati creati prima di x?”.

“Esatto”.

“Forse comincio a capire: le due disuguaglianze x_L ≥ y e y_R ≤ x prendono in considerazione numeri creati precedentemente”.

“È così: ogni disuguaglianza è più semplice della precedente, perché ogni volta consideri dei numeri creati precedentemente. Ora, questo procedimento di andare indietro a un certo punto termina”.

“Quando arrivo al primo giorno?”.

“Sì. Anzi, no, quando arrivi al zeresimo giorno. E qual è l'unico numero nato in quel giorno?”.

“Zero! Che è composto, nelle sue due parti, dall'insieme vuoto”.

“E quali sono le proprietà che non sono valide per l'insieme vuoto?”.

“Nessuna, mi hai detto che gli elementi dell'insieme vuoto godono di qualunque proprietà, dato che non esistono”.

“Infatti. Quindi questo procedimento di induzione non ha bisogno di un punto di partenza. O meglio, il punto di partenza è sottinteso, perché riguarda sempre l'insieme vuoto”.

“Bè, questo sì che è elegante”.

“E funziona anche se abbiamo a che fare con insiemi infiniti, modificandolo un po'”.

“Oh, è vero che ci saranno prima o poi anche gli insiemi infiniti...”.

“L'induzione funziona così: P(x) è vera se lo sono P(x_L) e P(x_R)”.

“Tutto qua?”.

“Tutto qua”.

Su un particolare insieme numerico - come funziona l'ordinamento

“Cosa rappresenta questa immagine?”.

“Un trucchetto per capire come funziona l'ordinamento tra i numeri surreali”.

“Mi piacciono i trucchetti, forse riuscirò a capire qualcosa”.

“Ricorderai la definizione di numero surreale, suppongo”.

“Sì, ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, in modo tale che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Bene. Questa definizione ricorda vagamente quella di sezione di Dedekind”.

“Ah”.

“Anche il modo di scrivere un numero surreale ricorda le sezioni di Dedekind: abbiamo un insieme di numeri, un elemento di separazione (quello che abbiamo indicato con la barra verticale), e un altro insieme di numeri: {A|B}”.

“Capisco. Dunque il numero surreale {A|B} dovrebbe essere compreso tra A e B?”.

“Sì”.

“Ma se A e B sono insiemi di più numeri?”.

“Vedremo che succede in quel caso”.

“E poi A e B possono anche essere insiemi vuoti, però”.

“Sì, in quel caso il numero rappresentato da {A|} è il successivo di A, mentre quello rappresentato da {|B} è quello che precede B. In un certo senso che vedremo poi”.

“Uhm, ci sono ancora molti misteri”.

“Sì, cominciamo a capirne uno: la definizione di ordinamento. La figura qua sopra ci può aiutare: essa rappresenta due numeri x e y, con x che precede y. Le due semirette che vedi rappresentano i due insiemi, di sinistra e di destra, relativi ai due numeri”.

“Vuoi dire, in pratica, che x = {x_L|x_R} e che y = {y_L|y_R}?”.

“Esattamente. Ho usato la notazione inglese perché tutti i libri fanno così”.

“Bene, fin qua è chiaro”.

“Ora analizziamo la definizione: cosa significa che x ≤ y?”.

“Significa che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo”.

“Bene. Ora osserva la figura: noterai che l'insieme di sinistra del primo numero, cioè x_L, si trova tutto a sinistra di y”.

“Vero”.

“E quindi nessun suo elemento è maggiore o uguale di y”.

“Ah, ho capito! Questa è la prima parte della definizione! Ora ho capito anche la seconda parte: l'insieme di destra del secondo numero, cioè y_R, si trova tutto a destra rispetto a x, e perciò nessun suo elemento è minore o uguale di x”.

“Perfetto, questo è il trucco. L'ordinamento fra i numeri surreali funziona così”.

“Ma perché usare tutti quei non? Invece di dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, non si poteva dire che tutti gli elementi dell'insieme di sinistra del primo numero sono minori del secondo?”.

“Bé, ci sono due motivi per cui si usano i non. Il primo è per una questione di eleganza (sulla quale tu avrai sicuramente da obiettare): in questo modo si usa solo il concetto di minore o uguale (assieme al suo reciproco di maggiore o uguale) e non si tira in ballo il concetto di essere diversi”.

“In che senso?”.

“Nel senso che minore in senso stretto significa minore e non uguale. Quindi per verificare che un numero è minore di un altro dovresti verificare che prima è minore o uguale, e poi che non è uguale”.

“Ah, ho capito. L'abbiamo fatto quando abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, per esempio”.

“Esatto. Il secondo motivo per cui si usano i non è per avere una induzione che non ha bisogno di base”.

“Cosa?”.

“Ne parliamo la prossima volta”.

Su un particolare insieme numerico - disuguaglianze

“Abbiamo chiamato 0 il numero {|}, poi abbiamo chiamato 1 il numero {0|}, viene naturale chiamare 2 il numero {1|}”.

“Ti ho già detto che quello che tu consideri naturale potrebbe risultare oscuro al resto del mondo?”.

“Sì, infatti vedremo poi che 1+1 dà proprio 2 come risultato, ma non vorrei ancora parlare di somme”.

“Va bene, per ora mi fido, poi vedremo come si sommano questi numeri”.

“Sì, lasciamo le somme a dopo: ora prova però a dimostrare che 1 è minore di 2”.

“Come si fa? Noi sappiamo solo verificare se un numero è minore o uguale di un altro”.

“Ma sappiamo anche che due numeri sono uguali se il primo è minore o uguale del secondo, e viceversa”.

“E quindi?”.

“E quindi se noi dimostriamo che 1 è minore o uguale di 2, ma che 2 non è minore o uguale di 1, siamo a posto”.

“Ah, ho capito. Va bene, allora provo a dimostrare che 1 ≤ 2”.

“E cioè che {0|} ≤ {1|}”.

“Allora, questo vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di 2, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo (vero, non ci sono elementi nell'insieme di destra del secondo numero)”.

“Bene”.

“Ma come faccio a dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di 2?”.

“Conosci la definizione di 0, conosci quella di 2, fai la prova”.

“Ah, devo lasciare in sospeso la prima dimostrazione per verificare questa seconda affermazione?.

“Esatto”.

“Allora, 2 ≤ 0 significherebbe che {1|} ≤ {|}. Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) è maggiore o uguale di 0... no, non va bene, 1 è maggiore o uguale di 0”.

“Benissimo, quindi 0 non è maggiore o uguale di 2”.

“Ho capito”.

“Bene. Ora prendiamo in considerazione il numero {0,1|}”.

“Uhm, il primo esempio di numero in cui sono presenti due elementi in una delle sue parti”.

“Sì, infatti. Vogliamo dimostrare che questo numero, che per ora indichiamo con x, è maggiore di 1”.

“Va bene, allora, cominciamo a dimostrare che 1 ≤ x. Provo io?”.

“Vai”.

“Dovrei dimostrare quindi che 1 ≤ {0,1|}”.

“E cioè, tenendo presente la definizione di 1, che {0|} ≤ {0,1|}”.

“Questo è vero se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0, c'è solo lui) è maggiore o uguale di x, e nessun membro dell'insieme di destra del secondo numero è..., bé, qua mi fermo perché l'insieme di destra del secondo numero è vuoto. Ora però devo dimostrare che 0 non è maggiore o uguale di x”.

“Sì: come prima, conosci la definizione di 0, conosci quella di x, quindi provi”.

“Quindi devo dimostrare che non è vero che {0,1|} ≤ {|}”.

“Sì”.

“Quella disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 0 e che... un momento, già questa prima parte è falsa: 0 è maggiore o uguale di 0, e anche 1”.

“Giusto. Quindi questa seconda dimostrazione è vera, puoi tornare a quella che avevi lasciato in sospeso”.

“Che quindi risulta vera pure lei”.

“Esatto. Hai dimostrato che 1 ≤ x”.

“Ora dovrei dimostrare che x non è minore o uguale di 1”.

“Sì. Devi quindi far vedere che è falsa la disuguaglianza {0,1|} ≤ {0|}”.

“Questa volta la disuguaglianza vorrebbe dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 e 1) è maggiore o uguale di 1... questo è già falso: 1 è maggiore o uguale di 1”.

“Perfetto, quindi hai dimostrato che 1 è minore o uguale di x e che x non è minore o uguale di 1”.

“Quindi 1 è minore di x”.

“Anche se non sappiamo ancora quanto vale x”.

“Ora possiamo saperlo: prova a dimostrare che x è uguale a 2”.

“Allora, per prima cosa dovrei far vedere che 2 ≤ x, e poi che x ≤ 2”.

“Giusto. Comincia dalla prima disuguaglianza”.

“Voglio dimostrare che {1|} ≤ {0,1|}. Questo è vero, a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 1) sia maggiore o uguale di x (no, l'abbiamo appena dimostrato, 1 è minore di x), o che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... no, mi fermo, l'insieme di destra è vuoto. Bene, è vero”.

“Ora la seconda disuguaglianza”.

“Questa volta voglio dimostrare che {0,1|} ≤ {1|}. Allora, è vero a meno che qualche elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0 oppure 1) sia maggiore o uguale di 2 (no, abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, e quindi anche 0 lo è) oppure che qualche elemento dell'insieme di destra del secondo numero... (no, è vuoto). È vero anche questo”.

“Ecco fatto: dato che 2 ≤ x e che x ≤ 2, hai dimostrato che x è uguale a 2”.

“E quindi questi due insiemi, {0,1|} e {1|}, pur essendo diversi, rappresentano lo stesso numero”.

“Proprio così”.

“Ora però cerchiamo una regola generale, vero?”.

“Già”.

Su un particolare insieme numerico - Genesi

“Ho sb”.

“Come, scusa?”.

“Ho sbb... ho sbbb”.

“Non capisco”.

“Ho dato un'informazione che, seppur corretta, poteva portare a cattive interpretazioni”.

“Ah, hai sbagliato”.

“Ehm”.

“E quale sarebbe, questa informazione?”.

“Ecco, avevo detto che per essere sicuri che i numeri che abbiamo indicato con +1 e -1 siano davvero quei numeri, avremmo avuto bisogno della somma”.

“E non è vero?”.

“Bé, è vero che ci serve la somma per verificare che sono opposti (e in questo, quindi, la mia informazione è corretta), però per controllare che +1 sia proprio l'unità, ci serve la definizione di moltiplicazione. In sostanza, +1 è l'elemento neutro della moltiplicazione”.

“Ah. E quindi adesso definiamo somma e moltiplicazione?”.

“No, no, è ancora presto: prima ci serve qualche altro numero, per prendere confidenza con un concetto molto importante”.

“Costruiamo quindi altri numeri? A partire da quelli vecchi, immagino”.

“Certo, ogni giorno ne vengono costruiti dei nuovi a partire da quelli vecchi”.

“Giorno?”.

“Sì, quelli che studiano i numeri surreali parlano di giorni. Vedi, in principio c'era solo l'insieme vuoto. Conway definì la regola per costruire numeri, e creò lo zero, cioè {|}. Conway vide che era cosa buona. E fu sera e fu mattina, zeresimo giorno”.

“Voi siete malati”.

“Conway costruì {0|} e {|0}, e li chiamò +1 e -1, e vide che erano cosa buona. Conway separò le coppie che rispettavano la sua regola dalle coppie che non la rispettavano, come {0|0}, e chiamò le coppie del primo tipo numeri, e quelle del secondo tipo giochi. E fu sera e fu mattina, primo giorno”.

“Ci mancavano anche i giochi”.

“Conway disse: tutti i numeri sono costruiti in questo modo, e creò l'induzione, risolvendo il problema del contare fino a ℵ senza annoiarsi”.

“Sono senza parole”.

“Quindi ogni giorno vengono creati nuovi numeri, a partire da quelli vecchi. Noi siamo arrivati al primo giorno, ora proviamo a vedere cosa succede nel secondo”.

“Va bene, anche se tremo all'idea di quello che succederà al giorno ℵ”.

“Non ti preoccupare, c'è tempo”.

“Un tempo infinito, immagino...”.

“Bé, poi l'induzione ci aiuta, ma andiamo per gradi. Ora proviamo a vedere quali numeri vengono creati il secondo giorno”.

“Va bene, proviamo. Allora, abbiamo a disposizione i numeri -1, 0 e +1. Posso evitare di mettere sempre quel segno positivo davanti al +1?”.

“Certo, certo. Ricordati anche che li abbiamo ordinati, sappiamo che -1 è minore degli altri due, 0 è compreso tra -1 e 1, mentre 1 è maggiore degli altri due”.

“Uhm, perché mi stai ricordando questo?”.

“Perché, secondo la definizione di numero, nessun numero dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche numero dell'insieme di destra”.

“Ah, giusto! Allora, avendo a disposizione questi tre simboli potrei creare queste coppie:”.

{|} = 0
{-1|}
{0|} = 1
{1|}
{|-1}
{|0} = -1
{|1}
{-1|0}
{-1|1}
{0|1}
{-1,0|}
{-1,1|}
{0,1|}
{-1,0,1|}
{|-1,0}
{|-1,1}
{|0,1}
{|-1,0,1}
{-1,0|1}
{-1|0,1}

“Ottimo”.

“Sono venti, non me ne aspettavo così tante!”.

“Bè, alcune coppie potrebbero essere uguali”.

“Ma no, sono tutte composte da numeri diversi!”.

“Intendevo dire che potrebbero rappresentare lo stesso numero”.

“Ah. Uhm. No, non ho ben capito. Come è possibile?”.

“Allora, distinguiamo due concetti: due numeri si dicono identici se i loro insiemi di sinistra e di destra contengono gli stessi elementi”.

“E, in questa lista, di numeri identici non ce ne sono, vero?”.

“Perfetto”.

“E quand'è che due numeri si dicono uguali?”.

“Due numeri x e y sono uguali se x ≤ y e y ≤ x”.

“Ah! Ora ho capito: potrebbero esistere modi diversi per scrivere lo stesso numero”.

“Esatto”.

“E dobbiamo provare tutte le possibili combinazioni? Mi sembra un po' noioso, soprattutto pensando a quello che può succedere durante il terzo giorno”.

“Hai ragione: per questo faremo una prova, e poi cercheremo di ricavare una regola generale”.

Su un particolare insieme numerico - ordinamento dei numeri surreali

Un numero è minore o uguale di un altro numero se e solo se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, e nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero.

“Lo sapevo che era complicato, non si capisce nulla”.

“Proviamo ad applicarlo, forse si capisce meglio”.

“Ok”.

“Vediamo se è vero che 0≤0, come dovrebbe essere se vogliamo che questi nuovi numeri assomiglino a quelli vecchi che già conosciamo”.

“Va bene. Allora, la definizione comincia dicendo che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero”.

“Bene. Ricordati che 0 è uguale a {∅|∅}, che possiamo anche scrivere come {|}”.

“Allora, dovrei verificare che nessun elemento di ∅ è maggiore o uguale di 0. Giusto, l'insieme vuoto non ha elementi, quindi siamo a posto”.

“Ottimo, vedo che cominci ad apprezzare l'insieme vuoto”.

“Sì, sto cominciando a capire la sua utilità. L'altra parte della definizione dice che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero”.

“Vero. Quindi, se suddividi 0 nei suoi insiemi componenti, come diventa?”.

“Diventa così: nessun elemento di ∅ è minore o uguale di 0. Perfetto, giusto, non ci sono elementi nell'insieme vuoto, quindi è automaticamente vera”.

“E così abbiamo dimostrato che 0 è minore o uguale di 0, come ci aspettavamo”.

“Già. Si potrebbe anche generalizzare, grazie alla presenza dell'insieme vuoto”.

“Ottimo: come generalizzeresti?”.

“Direi che qualunque siano x e y, si ha che {∅|x} è minore o uguale di {y|∅}”.

“Perfetto: dato che nella definizione di ordinamento ci vengono richieste delle proprietà riguardanti l'insieme di sinistra del primo numero e l'insieme di destra del secondo, se entrambi sono vuoti le proprietà sono automatiche”.

“E tante grazie all'insieme vuoto”.

“Tra l'altro, hai anche ordinato i tre numeri che abbiamo a disposizione”.

“Ah, è vero! {∅|0} è minore o uguale di {0|∅}, secondo quanto abbiamo appena detto. No, un momento: dove metto lo zero?”.

“Allora, andiamo per ordine: è vero che {∅|0} ≤ 0, cioè {∅|0} ≤ {∅|∅}?”.

“Sì, senza dubbio, l'abbiamo dimostrato prima per qualunque numero del tipo {y|∅}”.

“Ed è vero che {∅|∅} ≤ {0|∅}?”.

“Sempre secondo quanto abbiamo detto prima, certo. Allora siamo a posto”.

“Quasi”.

“Cosa manca?”.

“Dovremmo verificare che 0 non è minore o uguale di {∅|0}, per esempio”.

“Ah, non è automatico?”.

“Niente è automatico”.

“Va bene, va bene... Allora, aspetta, 0 ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra di 0 (cioè nessun elemento di ∅) è maggiore o uguale del secondo numero — vero, perché non ci sono elementi da controllare; poi nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero (cioè 0, c'è solo lui) è minore o uguale del primo numero — falso, 0 è minore o uguale di 0, l'abbiamo appena visto!”.

“Ottimo. Quindi?”.

“Quindi non è vero che 0 ≤ {∅|0}”.

“Benissimo. Ti lascio per esercizio verificare che {0|∅} non è minore o uguale di 0”.

“Ok, ci proverò”.

“Noi invece vediamo insieme che {0|∅} non è minore o uguale di {∅|0}”.

“Uh, va bene. Dunque, {0|∅} ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di {∅|0}: falso, l'abbiamo visto prima. Posso anche fermarmi qua: non è vero che {0|∅} ≤ {∅|0}”.

“Benissimo. Quindi abbiamo un ordinamento stretto tra i tre numeri che abbiamo definito: {∅|0} è minore e non è uguale a 0 che è minore e non uguale a {0|∅}”.

“Uff, non è stato facile”.

“Manca ancora una cosa per completare il quadro”.

“Quale?”.

“I nomi dei numeri. Eccoli qua: {0|∅} lo chiamiamo +1 (o semplicemente 1), mentre {∅|0} lo chiamiamo -1”.

“A-ah! Ma sono proprio quei numeri?”.

“Ecco, per rispondere a questa domanda serve, naturalmente, la definizione di somma”.

Su un particolare insieme numerico - altri numeri

“Vai, ho capito, dato che ora abbiamo a disposizione un numero, possiamo costruirne altri secondo la tua regola, così:”.

{∅|∅}, {∅|0}, {0|∅}, {0|0}.

“Uhm, siamo sicuri che siano numeri?”.

“Eh?”.

“Secondo la definizione, dovresti verificare che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Ah. Ehm, non possiamo usare quelle meravigliose proprietà dell'insieme vuoto?”.

“Dipende. Vediamo un po': il primo dei tuoi numeri l'abbiamo già visto, è lo zero”.

“Sì, l'ho scritto solo per completezza, quelli nuovi sono quelli dopo”.

“Ok. Prendiamo allora {∅|0}. È un numero? Vale la definizione?”.

“Mi pare proprio di sì: secondo quanto hai detto tu, nell'insieme di sinistra non ci sono elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra. In effetti, non ci sono proprio elementi”.

“Ottimo. Hai dimostrato una proprietà generale: qualunque sia x, {∅|x} è un numero”.

“Giusto”.

“Ora prendi {0|∅}. È un numero?”.

“Uhm, qui nell'insieme di sinistra c'è effettivamente un numero. No, un momento, forse ho sbagliato qualcosa: l'insieme di sinistra non è un insieme!”.

“Sì, hai ragione, avresti dovuto scrivere {{0}|∅}; questo è il motivo per cui usiamo la barra verticale invece della virgola per dividere i due insiemi di sinistra e di destra: tutto ciò che sta da una parte o dall'altra della barra è da considerarsi un insieme. Insomma, invece di scrivere {{x₁,x₂,x₃,...},{y₁,y₂,y₃,...}} scriviamo {x₁,x₂,x₃,...|y₁,y₂,y₃,...}”.

“Ah, ok. Sì, effettivamente semplifica un po'”.

“Bene. Allora, prova a vedere se {0|∅} è un numero”.

“Allora, nell'insieme di sinistra questa volte c'è un numero, è 0. Però è vero che 0 non è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra: l'insieme di destra è vuoto”.

“Perfetto. Anche in questo caso, hai dimostrato un caso generale: qualunque sia x, {x|∅} è un numero”.

“Rimane {0|0}. Uhm, è vero che 0 (l'unico elemento dell'insieme di sinistra), non è maggiore o uguale di 0 (l'unico elemento dell'insieme di destra)? Boh, mi pare di no, 0 è uguale a 0”.

“Ecco, in questo caso dovremmo sapere cosa significa essere maggiore o uguale”.

“Non lo sappiamo?”.

“Eh, no. Finora non abbiamo dato la definizione, e dato che questi numeri sono del tutto nuovi, e stiamo partendo da zero (anzi, stiamo partendo da ∅), dobbiamo definire tutto, anche l'ordinamento”.

“Uh, ho paura che non sarà una cosa semplice”.

“Sì, effettivamente la definizione è un po' arzigogolata. Ma è fatta in modo tale da sfruttare ancora una volta le proprietà dell'insieme vuoto. La vediamo la prossima volta”.

Su un particolare insieme numerico - il primo numero

“Ma se ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, all'inizio con quali numeri partiamo? I naturali?”.

“No, no, niente naturali: all'inizio non esistono numeri”.

“Ma allora? Se precedentemente non esiste niente, come si fa?”.

“All'inizio non esistono numeri, ma c'è un oggetto che esiste sempre: è l'insieme vuoto”.

“Che non è un numero, però”.

“Ma è un insieme di numeri”.

“Di numeri? Ma se non contiene niente!”.

“Appunto: puoi forse dire che contiene oggetti che non sono numeri?”.

“Uh, se la metti così allora l'insieme vuoto è anche un insieme di banane”.

“Certamente. L'insieme vuoto può essere visto come insieme di qualsiasi tipo di elementi”.

“Bella roba: è un insieme che può contenere tutto ma che in realtà non contiene nulla”.

“E, però, esiste”.

“Va bene, esiste. È una scatola vuota”.

“Ci accontentiamo: ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri (ce li abbiamo, sono entrambi l'insieme vuoto) creati precedentemente (non ci sono numeri dentro all'insieme vuoto, quindi non abbiamo il problema del regresso all'infinito). Siamo a posto”.

“Però la tua definizione specifica anche che nessun elemento dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“E infatti è così: vedi forse qualche elemento nell'insieme di sinistra che sia maggiore uguale a qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“Ma cosa vuol dire insieme di sinistra o di destra?”.

“Allora, usiamo qualche simbolo, così ci capiamo. La definizione dice che ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri, giusto?”.

“Sì”.

“Allora, scriviamo i due insiemi in questo modo: {A|B}”.

“Uhm, perché metti una barretta verticale invece di una virgola?”.

“Per non confondermi quando elencherò gli elementi di A o B. E poi per ricordare, in modo grafico, le sezioni di Dedekind”.

“Ah, ecco perché hai voluto parlarmi delle sezioni di Dedekind, anche se era evidente che non ti andava molto...”.

“Già. Questa costruzione le ricorda un po'. Comunque, dato che scriviamo i numeri come coppia di insiemi in questo modo, {A|B}, risulta abbastanza naturale chiamare A insieme di sinistra e B insieme di destra. Potremmo anche indicare i numeri con {S|D} o, se vogliamo fare gli inglesi, {L|R}”.

“Va bene, fino a questo livello di naturalità ci arrivo”.

“Allora, noi abbiamo a disposizione, all'inizio, solo l'insieme vuoto”.

“E questo l'ho capito”.

“Quindi l'unico numero che possiamo costruire è {∅|∅}”.

“E questo è un numero?”.

“Secondo la definizione, lo è se è vero che nessun elemento dell'insieme di sinistra è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Insisto, l'insieme di sinistra non ha elementi”.

“E insisto anche io: è forse vero che l'insieme di sinistra contiene elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“No, assolutamente no. L'insieme di sinistra non. contiene. elementi”.

“Allora siamo a posto. È un numero”.

“Non ci posso credere”.

“Le infinite e meravigliose proprietà dell'insieme vuoto ti danno il benvenuto in questo nuovo mondo”.

“Povero me. Che numero sarebbe, allora?”.

“Direi che, per cominciare, potremmo chiamarlo 0”.

“Zero?”.

“Già. Si parte da qui: 0 = {∅|∅}”.

Su un particolare insieme numerico - in principio

Ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, in modo tale che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra. Tutti i numeri vengono costruiti in questo modo.

“E questo cosa sarebbe?”.

“Una nuova definizione”.

“Di un qualche insieme numerico?”.

“Sì”.

“Quali numeri?”.

“Tutti”.

“Tutti insieme?”.

“Tutti insieme, tutti in una volta, e molti di più di quelli che pensi”.

“E come si chiama, questo insieme?”.

“Su”.

“Eeh?”.

“Non hai notato il titolo di questa serie di nostre conversazioni?”.

“Su un particolare insieme numerico?”.

“Già. Puoi anche leggerlo in un altro modo, però. E cioè Su: un particolare insieme numerico”.

“Un gioco di parole?”.

“Bello, eh?”.

“Me. Ra. Vi. Glio. So. Ma cosa significherebbe Su?”.

“Bè, è una mia traduzione di un gioco di parole inglese”.

“Sempre meglio. Com'era, in originale?”.

“Allora, parto dall'inizio. Conway (ti ricordi di lui, vero?) ha definito una particolare classe di numeri in un testo intitolato On Numbers and Games”.

“E vabbè, in italiano sarebbe Riguardo ai numeri e ai giochi, o qualcosa del genere”.

“Infatti. All'interno del testo, però, l'insieme di numeri che Conway definisce viene indicato con il simbolo On”.

“Ah, ecco. Quindi il titolo potrebbe essere anche tradotto (un po' liberamente) come Numeri e Giochi dell'insieme On”.

“Esatto, ecco quindi il gioco di parole originale. Così come si dice Real Numbers, Conway dice On Numbers”.

“E i Games?”.

“Bè, quelli sono un'altra storia: ammorbidendo un po' la definizione, si possono definire dei Giochi”.

“Ok, per adesso lasciamola così. E quindi la tua traduzione di On sarebbe Su?”.

“Già, ma non è una semplice traduzione. È successo che Knuth, dopo aver letto il testo di Conway, si è entusiasmato per la definizione di questi nuovi numeri e ha scritto un breve racconto, in forma di dialogo, che narra di due ragazzi che, trovandosi soli su un'isola deserta, scoprono un antico scritto riguardante la creazione dei numeri e si mettono a studiarne le proprietà, scoprendo così i piaceri della matematica”.

“Solo un Vero Matematico può pensare che due ragazzi soli su un'isola deserta si mettano a esplorare i piaceri della matematica”.

“Bè, comunque, Knuth ha coniato anche un nome per questi nuovi numeri, li ha chiamati numeri surreali”.

“Carino”.

“Capito il gioco di parole? Su-reali, oltre i reali, al di sopra dei reali. Bello, eh?”.

“Rabbrividisco”.

“E quindi ecco il mio gioco di parole: Su è l'insieme dei numeri surreali”.

“Sì, direi che questa situazione sia veramente surreale”.

Su un particolare insieme numerico - costruzione dei numeri complessi

“Ora che sono stati definiti i numeri reali, le cose tornano ad essere facili. I numeri complessi possono essere definiti in modo molto semplice, per esempio”.

“Oh, bene. Anche qua si può usare il trucchetto?”.

“Sì, basta che ti ricordi come funzionano i numeri complessi”.

“Ricordo che un numero complesso si può scrivere nella forma a+ib, dove a e b sono numeri reali, e i è la radice di -1”.

“Quale radice?”.

“Come quale? Quante ce ne sono?”.

“Dimmi tu: quanti sono i numeri che elevati al quadrato danno come risultato -1?”.

“Uhm, intendi i e -i?”.

“Sì. Quale dei due è la radice di -1?”.

“Non è i?”.

“E non potrebbe essere -i?”.

“Boh, penso di sì”.

“Allora non è proprio corretto dire che i è la radice di -1”.

“Cos'è, una sottigliezza da Vero Matematico?”.

“Già: i è uno dei due numeri che, elevato al quadrato, dà come risultato -1. Ne esiste anche un altro, che è -i, indistinguibile dal primo”.

“In che senso, indistinguibile? Uno è positivo, l'altro è negativo, no?”.

“Assolutamente no, non esistono numeri complessi positivi o negativi (per la gioia degli studenti non esistono quindi le disequazioni tra numeri complessi)”.

“Ma come? E allora, quel segno negativo messo davanti a -i?”.

“È solo un modo per distinguere +i da -i, ma non dobbiamo pensare che uno dei due numeri sia privilegiato rispetto all'altro. L'unico modo per definire quei due numeri è l'equazione x²+1=0, la quale ha due soluzioni immaginarie, che sono +i e -i”.

“Mah, va bene, prendo atto di questa faccenda. Comunque posso continuare a usare i segni davanti a i, per distinguere i due numeri?”.

“Certo, certo. Esistono due numeri che elevati al quadrato danno -1, e per distinguerli li indichiamo con +i e -i, ma se li avessimo indicati con -i e +i non sarebbe cambiato nulla: sono sempre loro due”.

“Va bene. Allora, possiamo tornare alla definizione di numero complesso?”.

“Sì, hai detto che è un numero fatto così: a+ib”.

“Infatti. Ora come costruisco l'insieme dei numeri complessi?”.

“Semplice: è l'insieme delle coppie di numeri reali (a,b)”.

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Il prodotto cartesiano R×R è l'insieme C dei numeri complessi. Invece di scrivere a+ib puoi scrivere (a,b)”.

“Mi pare troppo facile”.

“Naturalmente dobbiamo definire le operazioni”.

“Ah, ecco”.

“Ma qua puoi usare il trucchetto: fai prima le operazioni con la notazione solita, poi trasforma le formule utilizzando il linguaggio delle coppie”.

“D'accordo. Allora, la somma di due numeri complessi dovrebbe essere questa:”.

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d).

“Ottimo. Come diventa nella nuova notazione?”.

“Diventa (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)”.

“Benissimo, questa è la somma. Ora prova il prodotto”.

“Allora, (a+ib)(c+id) = ac-bd+i(ad+bc)”.

“Bene. Trasforma anche questa, adesso”.

“Uhm, ecco: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)”.

“Ecco fatto”.

“Tutto qua?”.

“Sì, molto facile. Fai una prova: come diventa i, nella notazione con le coppie?”.

“i da solo?”.

“Sì”.

“Uhm, non ha parte reale, quindi dovrebbe essere (0,1)”.

“Bene, utilizzando la regola della moltiplicazione, calcola i²”.

“Ecco: i² = (0,1)(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0). Ehi, ma questo è -1, funziona!”.

“Avevi dei dubbi?”.

“Mah, a volte ho l'impressione che voi Veri Matematici confidiate molto sul fatto che tanto nessuno va mai a controllare”.

“Comunque sia, l'insieme dei numeri complessi è stato ben definito, e ha anche alcune interessanti proprietà”.

“Quali?”.

“Per esempio, è un insieme algebricamente chiuso”.

“Cosa significa?”.

“Significa che qualunque polinomio in una variabile di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti in C, ha una radice in C”.

“Mmmh, puoi espandere un po' il concetto?”.

“Tutte le equazioni polinomiali hanno almeno una soluzione in C”.

“Ah”.

“E dato che, appena trovi una soluzione di un'equazione di grado n, puoi abbassare di 1 il grado dell'equazione, ti rimane una nuova equazione di grado n-1. Anch'essa ha almeno una soluzione in C”.

“Ah. Quindi posso andare avanti fino a che non arrivo a un'equazione di primo grado?”.

“Sì. In pratica ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti in C ha sempre n soluzioni in C”.

“Bé, bello. Non esistono le equazioni impossibili”.

“Esatto. Questo risultato prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra”.

“Ah. E lo dimostriamo?”.

“No, no. In realtà avevo pensato di non parlare proprio dei numeri complessi”.

“E perché?”.

“Perché il mio problema era fare vedere come si riempie la retta dei numeri, e per questo sono sufficienti i numeri reali. I numeri complessi sono solo due rette messe in croce”.

“Ehm, questa non mi sembra una definizione da Vero Matematico”.

“No, infatti, hai ragione”.

“Ma se non volevi parlare dei numeri complessi, che intenzioni avevi?”.

“Volevo ricominciare tutto da capo”.

Su un particolare insieme numerico - tedioso

“La definizione che abbiamo dato di sezione di Dedekind è sovrabbondante”.

“Cioè?”.

“A cosa ci serve specificare entrambi gli insieme della sezione? Perché definire una sezione di Dedekind con una coppia di insiemi (A,B)? Non serve, se conosciamo A è automaticamente determinato anche B. Quindi potremmo limitarci a dire che la sezione di Dedekind di un certo insieme è un insieme A, non vuoto, chiuso verso il basso, che non contiene massimo”.

“Dopo, però, non sembra più una sezione. Il lettore può rimanere disorientato nel leggere sezione e non vedere le due parti in cui l'insieme è stato sezionato”.

“E tu pensi che ai Veri Matematici importi qualcosa del disorientamento di chi legge?”.

“Ah, già. Non ci avevo pensato”.

“Qualche maligno potrebbe pensare che il limitare la definizione di sezione di Dedekind al solo primo insieme potrebbe essere una complicazione voluta, perché in fondo non è un gran spreco di tempo e di spazio specificare anche il secondo insieme”.

“Ma noi non siamo maligni”.

“Infatti. Anche perché io ti ho prima dato la definizione con i due insiemi, e solo adesso ti sto dicendo che possiamo evitare di specificare il secondo”.

“La tua maestria didattica mi sbalordisce”.

“Uhm”.

“Ma vai pure avanti, pendo dalle tue labbra”.

“Mh. Allora, ci sarebbero da definire le operazioni tra numeri reali”.

“Eh, dato che i numeri reali sono determinati da una coppia di insiemi — anzi, da un unico insieme, ma pur sempre un insieme contenente infiniti valori — non deve essere facile”.

“Più che altro è noioso. Utilizziamo, per evitare un po' di noia, la notazione con un unico insieme. Cosa significa sommare due numeri x e y?”.

“Cosa significa?”.

“Ricordiamo che x è associato a una sezione di Dedekind, indichiamola con X”.

“E allora indichiamo con Y la sezione di Dedekind relativa a y”.

“Bene. Allora x+y è definito come la sezione di Dedekind formata dal seguente insieme:”.

{x+y | x∈X, y∈Y}

“Ehm, dunque... L'insieme formato da tutte le possibili somme tra un elemento di X e uno di Y?”.

“Esatto. Si somma tutto e si ottiene una nuova sezione di Dedekind”.

“Siamo sicuri che l'insieme che si ottiene sia una sezione di Dedekind?”.

“Bella domanda. Te la lascio come esercizio, però”.

“Mh, vabbé. Si fa così anche la moltiplicazione?”.

“Sì, però c'è il problema dei segni che complica ulteriormente le cose. Quindi si parte considerando due numeri x e y positivi, e si definisce il loro prodotto come quel numero associato alla seguente sezione:”.

{xy | x∈X, x≥0, y∈Y, y≥0} ∪ {a∈Q, a<0}

“Bruttina”.

“Concordo. Se poi c'è qualche numero negativo, si usa la solita regola dei segni per fare tornare tutto”.

“In che senso?”.

“Nel senso che se devi calcolare, ad esempio, 5×(-3), con la regola dei segni stabilisci che il segno del risultato è negativo, dopodiché calcoli 5×3 con la regola precedente”.

“Va bene, ma è proprio necessario stare a definire tutte queste operazioni?”.

“Bé, necessario lo è certamente, perché altrimenti non sai come fare per fare i conti. Tieni presente che, nell'insieme dei numeri reali, si possono scrivere anche operazioni strane come e^π: noi siamo abituati a farle con la calcolatrice, e non ci poniamo nessun tipo di problema, ma se ci pensi un momento non è proprio ovvio il significato di quell'esponente irrazionale”.

“Sì, in effetti non ha molto senso dire che e^π è uguale a e moltiplicato per sé stesso π volte”.

“No, infatti. L'estensione del concetto di potenza ai numeri reali non è una cosa ovvia. E poi ci sarebbero anche tutte le altre proprietà dell'insieme dei numeri reali da dimostrare”.

“Quali?”.

“Ricordi? I numeri reali sono l'unico campo ordinato archimedeo completo”.

“Gulp! Bisogna dimostrare che tutte quelle proprietà valgono per la nostra costruzione?”.

“Eh già, bisognerebbe”.

“Non lo facciamo?”.

“Guarda, se vai a dare un'occhiata alla pagina di wikipedia che parla delle varie costruzioni dei numeri reali, trovi tante cose già scritte. Oltre all'approccio assiomatico, di cui abbiamo già parlato, ci sono le sezioni di Dedekind, le successioni di Cauchy, le espansioni decimali, i numeri iperreali, i numeri surreali, i quasi omomorfismi. La cosa più interessante comunque è l'ultima frase”.

“Cosa dice?”.

“Dice che esistono molti approcci diversi per la definizione dei numeri reali, che ogni tanto qualche matematico ne propone una nuova, in cui the details are all included, but as usual they are tedious and not too instructive”.

Su un particolare insieme numerico - sezioni di Dedekind

Una sezione di Dedekind in un campo ordinato è una partizione di tale campo, (A,B), tale che A è non vuoto e chiuso verso il basso, B è non vuoto e chiuso verso l'alto, e A non contiene massimo. I numeri reali possono essere costruiti come sezioni di Dedekind dei numeri razionali.

“Vabbé, dai, ho capito che non ne hai voglia”.

“Che problema c'è?”.

“Dimmi se ti sembra una cosa comprensibile. Sembra che con questa definizione i Veri Matematici abbiano raggiunto l'apice della incomprensibilità”.

“Mh, forse esistono definizioni più complicate di queste”.

“Non ne parliamo nemmeno, eh?”.

“Va bene. Questa non è proprio intuitiva, vero?”.

“Eh, direi”.

“Provo a spiegartela così: cosa diresti se tu fossi un mio studente e io ti dicessi che in pagella ti ho messo un voto che sta tra due insiemi, il primo dei quali contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti i numeri maggiori o uguali di cinque?”.

“Ti chiederei se sei venuto a scuola in macchina”.

“Perché?”.

“Perché se sei in macchina posso bucarti quattro gomme, se sei in bicicletta soltanto due”.

“Ehm. Ho capito. Potevo scegliere sei invece di cinque come esempio, vero?”.

“Già”.

“Comunque hai capito come funziona?”.

“Direi di sì, è il solito metodo demenziale di complicare le cose semplici. Invece di dire cinque, hai detto tutto ciò che non è cinque, ordinando tutto in due parti. Una contiene tutti i numeri minori di cinque, l'altra tutti quelli maggiori di cinque”.

“Eh, l'idea è questa, anche se c'è qualche precisazione da fare”.

“Capirai”.

“Se, come hai detto tu, dividiamo i numeri in minori di cinque e maggiori di cinque, lasciamo fuori un valore, che è proprio cinque. Questo non va bene, perché noi vogliamo fare una partizione”.

“Cosa sarebbe una partizione?”.

“Una suddivisione di un insieme in sottoinsiemi fatta in modo tale che, riunendo tutte le parti, si ottiene l'insieme di partenza”.

“Ah, ok. Se riunisco le mie parti non riottengo l'insieme di partenza, perché lascio fuori cinque”.

“Esatto, ecco perché nel mio esempio ho specificato che il primo insieme contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti quelli maggiori o uguali a cinque”.

“Potevi anche fare il contrario?”.

“No, perché la definizione specifica che il primo insieme non ha massimo. Se metto cinque nel primo insieme, diventa il massimo”.

“Invece il secondo insieme può avere minimo?”.

“Sì, la definizione non dice nulla riguardo a questo”.

“E perché questa asimmetria?”.

“Perché da qualche parte il cinque dobbiamo pur metterlo, e se non specifichiamo nulla abbiamo due modi diversi per fare la partizione. Siccome non ci piace questa ambiguità, decidiamo arbitrariamente di metterlo nell'insieme di destra”.

“Va bene. Ora passiamo a quel chiuso verso il basso e chiuso verso l'alto. Cosa significano quelle specificazioni?”.

“Allora, un insieme è chiuso verso il basso se esso contiene tutti i numeri minori di qualunque suo elemento”.

“Non è mica tanto chiaro, sai?”.

“Te lo spiego con un esempio. Scegli a caso un numero all'interno del primo insieme, quello che contiene tutti i numeri minori di cinque”.

“Tre”.

“Bene. È vero che l'insieme contiene tutti i numeri minori di tre?”.

“Sì, è vero”.

“Questa proprietà è vera perché tre è un qualche elemento particolare? Oppure vale per qualsiasi scelta tu faccia?”.

“Direi che vale sempre”.

“Esatto. Questo significa che il tuo insieme è chiuso verso il basso”.

“Praticamente è una semiretta che va verso sinistra”.

“Benissimo”.

“E suppongo che chiuso verso l'alto significhi che, per ogni elemento del secondo insieme, è vero che tutti i numeri maggiori di esso sono contenuti nell'insieme”.

“Sì. È più difficile da dire che da capire”.

“Ho capito. Cosa ce ne facciamo di queste sezioni di Dedekind?”.

“Ci servono per definire i numeri reali, ma facciamo un passo alla volta: per prima cosa vediamo che tutti i numeri razionali, che abbiamo già definito, possono essere visti come sezioni di Dedekind”.

“Bé, questa credo di averla capita anche io. Si può fare come hai fatto tu con il cinque: basta che tu sostituisca al posto di cinque un qualunque numero razionale”.

“Giusto. Quindi come sarebbe la sezione di Dedekind relativa a 1/2, per esempio?”.

“Direi che sarebbe una coppia di insiemi (A,B) fatta così: A contiene tutti i numeri razionali minori di 1/2, B contiene tutti quelli maggiori o uguali a 1/2”.

“Perfetto”.

“Mi pare semplice. E devo dire che non capisco l'utilità: è davvero una complicazione inutile”.

“Sì, devo darti ragione. È difficile capire il senso di questa costruzione, e quando provi a spiegarla agli studenti l'unica domanda che riescono a farti è: prof, ma ce la chiede questa roba?”.

“Poveretti”.

“A parte il fatto che gli studenti non sono mai poveretti per definizione, andiamo avanti. Quello che dovresti capire è che ogni numero razionale è associato a una sezione di Dedekind”.

“Sì, questo l'ho capito. Immagino che valga anche il contrario”.

“Cioè che ogni sezione di Dedekind è associata a un numero razionale? Certo che no, altrimenti sarebbero davvero inutili”.

“Ah. Uhm... no, non ho capito bene: esistono sezioni di Dedekind che non sono associate a nessun numero razionale? Come è possibile? Non basta prendere, come numero, il minimo del secondo insieme?”.

“No, la definizione non parla di minimo del secondo insieme. Dice solo che il primo insieme non ha massimo”.

“Perché il secondo ha minimo, è sottinteso”.

“Invece no, è possibile che il primo insieme non abbia massimo e il secondo non abbia minimo”.

“Impossibile”.

“Ti faccio un esempio, anche se sarà un pochino più complicato di quello che ti ho fatto col cinque”.

“Va bene, provo a seguirti”.

“Allora, nel primo insieme ci mettiamo, per prima cosa, tutti i numeri negativi”.

“Ok”.

“Poi ci mettiamo anche lo zero, e tutti i numeri positivi il cui quadrato sia minore di 2”.

“Uhm, va bene. Perché poi complicare le definizioni così?”.

“Aspetta e vedrai”.

“Nel secondo insieme ci metto invece tutti i numeri positivi il cui quadrato sia maggiore di 2”.

“Ehi, non va bene! Dovresti dire il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2”.

“Siamo sicuri?”.

“Eh, sì, altrimenti non è più una partizione, l'hai detto prima! Lasci fuori un numero”.

“Quale?”.

“Bé, quello il cui quadrato è uguale a 2”.

“Che non esiste”.

“Non esiste? Come non esiste? È la radice di 2, no?”.

“La radice di 2 non è razionale, caro il mio Ippaso di Metaponto”.

“Uffa, ma cosa c'entra adesso?”.

“C'entra eccome: noi stiamo facendo sezioni di Dedekind sui numeri razionali. Radice di due non è razionale, non esiste ancora. Nella definizione del secondo insieme puoi anche dire, se vuoi, che esso contiene tutti i numeri il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2, ma non devi ingannarti: quell'insieme non ha minimo. Quell'insieme contiene, ad esempio, 2, poi 15/10, poi ancora 142/100, 1415/1000, 14143/10000, e così via. Puoi andare avanti così, spostandoti verso il basso, quanto vuoi. Quindi non esiste minimo, e specificare che il quadrato di questi numeri deve essere maggiore o uguale di 2 è inutile: puoi limitarti a dire che deve essere maggiore di 2”.

“Gulp, ho capito. Credevo fosse una cosa semplice, invece no”.

“No, neanche un po'. Ora riassumiamo: è vero che ogni numero razionale corrisponde a una sezione di Dedekind?”.

“Sì, questo l'ho capito”.

“Ed è vero che ogni sezione di Dedekind corrisponde a un numero razionale?”.

“Eh, stando a quanto hai detto adesso, no. La sezione che hai definito prima non corrisponde a nessuna frazione: corrisponderebbe a radice di 2, ma hai detto che non esiste”.

“Perfetto. Allora possiamo dire che abbiamo due tipi di sezioni di Dedekind: il primo tipo è quello che corrisponde a un numero razionale”.

“Ok”.

“E il secondo tipo è quello che non corrisponde a nessun numero razionale”.

“Va bene”.

“Allora siamo a posto: le sezioni di Dedekind del secondo tipo le chiamiamo numeri irrazionali. Le altre continuiamo pure a chiamarle numeri razionali — anche se in realtà abbiamo immerso i vecchi numeri razionali in questa nuova struttura più ricca. L'insieme di tutte le sezioni di Dedekind dei razionali viene chiamato invece insieme dei numeri reali”.

“Wow. Non si può dire che sia una definizione semplice e intuitiva. E poi, scusa, come faccio a capire com'è fatto un numero reale?”.

“In che senso?”.

“Per esempio, radice di 2. Hai detto che corrisponde a quella sezione di Dedekind formata dai numeri il cui quadrato è minore oppure maggiore di 2, ma quali sono questi numeri? Cosa c'è in mezzo ai due insiemi? Sono insiemi infiniti, come faccio a esaminarli tutti?”.

“Ah, certamente non puoi”.

“Ma allora non è una gran definizione”.

“Bé, la definizione è fatta bene, il problema nasce dal fatto che non sai con esattezza come sia fatto l'oggetto che stai definendo”.

“E ti sembra poco?”.

“Ma questo è il problema dei numeri reali. Quando scrivi radice di 2, oppure π, oppure e, in realtà scrivi solo simboli, ma non sai con esattezza cosa siano. Sai che sono numeri decimali illimitati non periodici, e proprio per questo non li potrai mai conoscere”.

“Non ci avevo mai pensato”.

“È una beffa: noi chiamiamo reali degli oggetti che non conosciamo, e che certamente non potremo mai conoscere. Però sappiamo che esistono, e tanto basta”.

“Magra consolazione”.

“Bisogna anche dire che è vero che non conosceremo mai tutte le cifre di un numero irrazionale, ma comunque potremo sempre approssimarlo, bene quanto vogliamo, con delle frazioni. È quello che fanno sempre le calcolatrici, del resto”.

“Giusto: se dovessero maneggiare davvero dei numeri reali, avrebbero bisogno di una memoria infinita”.

“E allora, invece di usare numeri reali, usano le sezioni di Dedekind”.

“In che senso?”.

“Nel senso che i due insiemi A e B di una sezione di Dedekind relativa a un numero irrazionale sono proprio gli insiemi delle frazioni che approssimano per difetto oppure per eccesso quel numero. Le calcolatrici usano una approssimazione, e l'utente non può controllare l'errore, ma esistono programmi di calcolo più specifici che ti dicono, in ogni momento, quale è l'approssimazione che stanno usando. Invece di darti un numero, ti danno un intervallo: non potendo gestire gli infiniti elementi degli insiemi A e B, tengono in memoria solo il più grande elemento di A e il più piccolo di B. Il tuo numero reale è compreso tra essi, e la loro differenza rappresenta quindi il tuo margine d'errore”.

“Ma guarda... Quindi alla fine anche questa definizione ha un suo senso e una sua applicazione”.

“Bé, come tutte le definizioni della matematica, no?”.

“Hai detto che sei in macchina?”.

Su un particolare insieme numerico - Reali?

“Cominci con i numeri reali, allora?”.

“Mah...”.

“Cosa?”.

“Che bisogno c'è?”.

“Eh?”.

“Voglio dire: a cosa ci serve? Hai mai visto un numero reale?”.

“Se è per questo non ho mai visto nemmeno un numero naturale”.

“No? Guardati la mano?”.

“Cos'ha?”.

“Quante dita ci sono?”.

“Cinque”.

“Ecco. Un numero naturale”.

“No, un momento, non è un numero naturale. È un insieme di oggetti reali, tangibili, composto da cinque elementi. Cinque rappresenta solo la quantità di elementi”.

“Quindi tu sostieni che un numero esiste solo se puoi in qualche modo toccarlo? Altrimenti non esiste?”.

“Bé, sì”.

“Chiedi a uno studente che ha avuto un cinque in pagella se quel cinque è reale oppure no”.

“Ma dai, cosa c'entra?”.

“C'entra eccome: un cinque in pagella, un simbolo intangibile e, per te, non esistente, ha degli effetti (di solito negativi) sulla vita del povero studente. Per lui è certamente reale. A volte prendere un cinque comporta una diminuzione negli introiti di denaro dello studente, altre volte comporta arrossamenti dei glutei, privazioni di qualche libertà, mancanza di banda nella connessione a internet, improvvise sparizioni di modem, isolamento dalle comunicazioni telefoniche, lavoro estivo. Tutto realissimo”.

“Vabbé. Quindi? I numeri naturali esistono, i reali no?”.

“Proprio così. Prendi questo tavolo, se lo tagli a metà cosa ottieni?”.

“Due mezzi tavoli”.

“Per quanto tu voglia tagliarlo, otterrai sempre parti misurabili con frazioni. Poi a un certo punto ti fermi, non puoi certo andare avanti all'infinito”.

“Va bene, ma il tavolo è un oggetto reale”.

“Certo che è reale. E per misurare un oggetto reale non servono i numeri reali. Ti pare logico?”.

“Effettivamente...”.

“La favola della continuità è una invenzione. Non esiste la continuità, tutto è discreto. A chi servono i numeri reali?”.

“Mamma mia, ma ti senti bene?”.

“Mai stato meglio! Abbiamo visto che con i numeri naturali possiamo definire gli interi e i razionali. Tutto è misurabile con i razionali, non ci serve altro!”.

“Ma allora, la faccenda della diagonale del quadrato...”.

“Cosacosacosa?”.

“Ma sì, dai, il fatto che la diagonale di un quadrato non si può esprimere in nessun modo come frazione del lato”.

“Mmmmh”.

“Cosa?”.

“Tra un po' vai in vacanza, vero?”.

“Eh? Sì, ma cosa c'entra?”.

“E come vai? In nave?”.

“Sì, ma... Sicuro di stare bene?”.

“Sì, sì, non ti preoccupare. Ecco, più o meno è andata così”.

“Cosa?”.

“La vicenda della scoperta dei numeri irrazionali, che ha portato alla consapevolezza che i numeri razionali non sono sufficienti. La scoperta, insomma, del fatto che anche se i numeri razionali riempiono una retta in modo denso, rimangono comunque di buchi”.

“Sai, per un attimo ho pensato che tu fossi impazzito”.

“Ho solo fatto finta di essere Pitagora. La leggenda narra che il divulgatore di questa notizia abbia fatto una brutta fine”.

“L'hanno ammazzato?”.

“Diciamo che la sua nave è naufragata. Almeno questa è la versione ufficiale”.

“Anche Pitagora non era sano di mente, allora”.

“Il fatto è che in un certo senso aveva ragione: i numeri reali non servirebbero per descrivere la natura. E nonostante questo li chiamiamo reali: sembra una presa in giro”.

“E allora perché li definiamo?”.

“L'hai detto tu: se ammetti l'esistenza di un quadrato ideale, hai bisogno di definire la radice di due. È necessario. E anche su questo termine ci sarebbe molto da discutere”.

“Sì, è vero. Basta anche solo parlare di numeri naturali per dare avvio a qualche discussione filosofica”.

“Infatti. Eppure, se ammettiamo l'esistenza dei numeri naturali, necessariamente dobbiamo arrivare a definire i numeri reali: è una questione di completezza. Se sulla retta dei numeri (razionali) ci sono ancora dei buchi, vuole dire che esistono altri numeri. Sono già lì, aspettano solo di essere scoperti ”.

“Ma allora, li costruiamo o li scopriamo?”.

“O li descriviamo? Questo è pane per i filosofi”.

“Mi viene in mente una storiella, sui matematici e i filosofi...”.

“Quale?”.

“Un fisico sperimentale, per lavorare, ha bisogno di carta, penna, di un cestino per buttare via i conti sbagliati, e di un acceleratore di particelle. Un fisico teorico, invece, ha bisogno di carta, penna, un cestino, e un terminale col quale poter accedere alle risorse di qualche supercomputer. Un matematico ha bisogno solo di carta, penna e cestino. Coi filosofi puoi risparmiare il prezzo del cestino”.

Su un particolare insieme numerico - operazioni nei numeri razionali

“Ora definiamo le operazioni in Q?”.

“Sì, anche se prima dobbiamo verificare che l'insieme che abbiamo definito esiste”.

“In che senso?”.

“Nel senso che non abbiamo ancora visto se la relazione che abbiamo definito è una relazione di equivalenza”.

“Ah, già. Allora, dobbiamo verificare se valgono le tre proprietà: riflessiva, simmetrica, transitiva. Giusto?”.

“Giusto. Parti con la proprietà riflessiva, allora”.

“Dunque, vediamo: (a,b) è in relazione con (a,b). Questo significa, secondo la definizione, che ab=ab. Bé, facile, è vero”.

“Bene, ora vai con la proprietà simmetrica. È vero che se (a,b) è in relazione con (c,d) allora (c,d) è in relazione con (a,b)?”.

“La prima uguaglianza significa ad=bc; la seconda cb=da. Mi pare che sia giusto”.

“Sì, è giusto perché facciamo riferimento alla proprietà commutativa dei numeri interi, insieme che abbiamo già definito (anche se non abbiamo dimostrato esplicitamente questa proprietà, ma ti posso lasciare la dimostrazione come esercizio)”.

“Va bene, va bene. Ora la proprietà transitiva, che è sempre la più complicata”.

“Già. Le tue ipotesi sono queste: (a,b) è in relazione con (c,d) e (c,d) è in relazione con (e,f). Devi dimostrare che (a,b) è in relazione con (e,f)”.

“Vediamo: la prima si traduce nell'uguaglianza ad=bc, la seconda invece diventa cf=de. Adesso?”.

“Adesso moltiplicale tra loro. A cosa è uguale adcf?”.

“Uhm, adcf=bcde”.

“Ora puoi semplificare a destra e a sinistra”.

“E rimane af=be. Giusto! Allora Q esiste davvero...”.

“Infatti. Ora, già che ci sei, definisci le operazioni di somma e prodotto”.

“Come faccio? Usando il solito trucco?”.

“Sì: fai prima le operazioni con le frazioni, poi traduci”.

“Allora, vediamo: devo calcolare a/b + c/d. Devo calcolare il denominatore comune, e mi risulta (ad+cb)/(bd)”.

“Perfetto. Ora traduci nel linguaggio delle coppie”.

“Dovrebbe essere questo: (a,b) + (c,d) = (ad+bc,bd)”.

“Perfetto: questa è la somma. Prova a calcolare, per esempio, 1/2 + 1/2”.

“Uhm, cioè (1,2)+(1,2). Risulta (1×2+ 2×1, 2×2), cioè (4,4)”.

“Che è equivalente a (1,1), giusto?”.

“Eh, sì, secondo la definizione (4,4) è in relazione con (1,1) perché 4×1 è uguale a 4×1”.

“Perfetto, ti lascio come esercizio la verifica del fatto che questa è una definizione ben posta”.

“Uh, è vero, bisogna fare anche questo tipo di verifica”.

“Pensaci. Intanto, definiamo anche il prodotto”.

“Vado: a/b × c/d dà come risultato ac/bd. Questo è più facile”.

“Sì, non ci sono denominatori comuni da fare”.

“Viene così: (a,b)×(c,d) = (ac,bd)”.

“Perfetto. Prova a calcolare 2×1/2”.

“(2,1)×(1,2) = (2,2). Perfetto, risulta 1”.

“In generale abbiamo che il reciproco di (a,b) è (b,a)”.

“Ah, sì, giusto: se li moltiplico risulta 1”.

“Perfetto. Così abbiamo definito l'insieme Q”.

“E ora con lo stesso sistema definiamo R? Facciamo una nuova relazione di equivalenza, e creiamo i numeri reali?”.

“Eh, no, non si può”.

“Perché?”.

“Perché i numeri reali sono troppi. Il prodotto cartesiano Q×Q contiene pochi elementi: ricordi? Ne avevamo parlato: la cardinalità dei numeri reali è maggiore di quella dei numeri razionali (mentre il prodotto cartesiano di Q per sé stesso ha la stessa cardinalità di Q — ℵ₀ moltiplicato ℵ₀ fa ℵ₀)”.

“Ahi. Allora questo bel sistema non funziona più?”.

“Purtroppo no. Costruire i numeri reali è complicato (e infatti l'altra volta li avevamo definiti in modo assiomatico, ma avevamo evitato il problema di costruirli)”.

“Adesso il problema non lo evitiamo più?”.

“No, ci tuffiamo proprio dentro, al problema. Dovremo prendere i razionali e tagliuzzarli per bene, per riuscire ad ottenere tutti i numeri reali”.