Un numero è minore o uguale di un altro numero se e solo se nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, e nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero.
“Lo sapevo che era complicato, non si capisce nulla”.
“Proviamo ad applicarlo, forse si capisce meglio”.
“Ok”.
“Vediamo se è vero che 0≤0, come dovrebbe essere se vogliamo che questi nuovi numeri assomiglino a quelli vecchi che già conosciamo”.
“Va bene. Allora, la definizione comincia dicendo che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero”.
“Bene. Ricordati che 0 è uguale a {∅|∅}, che possiamo anche scrivere come {|}”.
“Allora, dovrei verificare che nessun elemento di ∅ è maggiore o uguale di 0. Giusto, l'insieme vuoto non ha elementi, quindi siamo a posto”.
“Ottimo, vedo che cominci ad apprezzare l'insieme vuoto”.
“Sì, sto cominciando a capire la sua utilità. L'altra parte della definizione dice che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo numero”.
“Vero. Quindi, se suddividi 0 nei suoi insiemi componenti, come diventa?”.
“Diventa così: nessun elemento di ∅ è minore o uguale di 0. Perfetto, giusto, non ci sono elementi nell'insieme vuoto, quindi è automaticamente vera”.
“E così abbiamo dimostrato che 0 è minore o uguale di 0, come ci aspettavamo”.
“Già. Si potrebbe anche generalizzare, grazie alla presenza dell'insieme vuoto”.
“Ottimo: come generalizzeresti?”.
“Direi che qualunque siano x e y, si ha che {∅|x} è minore o uguale di {y|∅}”.
“Perfetto: dato che nella definizione di ordinamento ci vengono richieste delle proprietà riguardanti l'insieme di sinistra del primo numero e l'insieme di destra del secondo, se entrambi sono vuoti le proprietà sono automatiche”.
“E tante grazie all'insieme vuoto”.
“Tra l'altro, hai anche ordinato i tre numeri che abbiamo a disposizione”.
“Ah, è vero! {∅|0} è minore o uguale di {0|∅}, secondo quanto abbiamo appena detto. No, un momento: dove metto lo zero?”.
“Allora, andiamo per ordine: è vero che {∅|0} ≤ 0, cioè {∅|0} ≤ {∅|∅}?”.
“Sì, senza dubbio, l'abbiamo dimostrato prima per qualunque numero del tipo {y|∅}”.
“Ed è vero che {∅|∅} ≤ {0|∅}?”.
“Sempre secondo quanto abbiamo detto prima, certo. Allora siamo a posto”.
“Quasi”.
“Cosa manca?”.
“Dovremmo verificare che 0 non è minore o uguale di {∅|0}, per esempio”.
“Ah, non è automatico?”.
“Niente è automatico”.
“Va bene, va bene... Allora, aspetta, 0 ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra di 0 (cioè nessun elemento di ∅) è maggiore o uguale del secondo numero — vero, perché non ci sono elementi da controllare; poi nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero (cioè 0, c'è solo lui) è minore o uguale del primo numero — falso, 0 è minore o uguale di 0, l'abbiamo appena visto!”.
“Ottimo. Quindi?”.
“Quindi non è vero che 0 ≤ {∅|0}”.
“Benissimo. Ti lascio per esercizio verificare che {0|∅} non è minore o uguale di 0”.
“Ok, ci proverò”.
“Noi invece vediamo insieme che {0|∅} non è minore o uguale di {∅|0}”.
“Uh, va bene. Dunque, {0|∅} ≤ {∅|0} significherebbe che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero (cioè 0) è maggiore o uguale di {∅|0}: falso, l'abbiamo visto prima. Posso anche fermarmi qua: non è vero che {0|∅} ≤ {∅|0}”.
“Benissimo. Quindi abbiamo un ordinamento stretto tra i tre numeri che abbiamo definito: {∅|0} è minore e non è uguale a 0 che è minore e non uguale a {0|∅}”.
“Uff, non è stato facile”.
“Manca ancora una cosa per completare il quadro”.
“Quale?”.
“I nomi dei numeri. Eccoli qua: {0|∅} lo chiamiamo +1 (o semplicemente 1), mentre {∅|0} lo chiamiamo -1”.
“A-ah! Ma sono proprio quei numeri?”.
“Ecco, per rispondere a questa domanda serve, naturalmente, la definizione di somma”.
2 commenti:
non sono d'accordo che serva la definizione di somma. Con quella potresti tranquillamente dire che {0|} è uguale a 2. Secondo me occorre almeno il prodotto (e quindi l'esistenza di un elemento neutro per quest'ultima operazione)
Uhm uhm, hai ragione. Io pensavo alla giustificazione dei segni + e -, ma in effetti con la somma puoi solo dimostrare che sono opposti.
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