Su un particolare insieme numerico - come funziona l'ordinamento

“Cosa rappresenta questa immagine?”.

“Un trucchetto per capire come funziona l'ordinamento tra i numeri surreali”.

“Mi piacciono i trucchetti, forse riuscirò a capire qualcosa”.

“Ricorderai la definizione di numero surreale, suppongo”.

“Sì, ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, in modo tale che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Bene. Questa definizione ricorda vagamente quella di sezione di Dedekind”.

“Ah”.

“Anche il modo di scrivere un numero surreale ricorda le sezioni di Dedekind: abbiamo un insieme di numeri, un elemento di separazione (quello che abbiamo indicato con la barra verticale), e un altro insieme di numeri: {A|B}”.

“Capisco. Dunque il numero surreale {A|B} dovrebbe essere compreso tra A e B?”.

“Sì”.

“Ma se A e B sono insiemi di più numeri?”.

“Vedremo che succede in quel caso”.

“E poi A e B possono anche essere insiemi vuoti, però”.

“Sì, in quel caso il numero rappresentato da {A|} è il successivo di A, mentre quello rappresentato da {|B} è quello che precede B. In un certo senso che vedremo poi”.

“Uhm, ci sono ancora molti misteri”.

“Sì, cominciamo a capirne uno: la definizione di ordinamento. La figura qua sopra ci può aiutare: essa rappresenta due numeri x e y, con x che precede y. Le due semirette che vedi rappresentano i due insiemi, di sinistra e di destra, relativi ai due numeri”.

“Vuoi dire, in pratica, che x = {x_L|x_R} e che y = {y_L|y_R}?”.

“Esattamente. Ho usato la notazione inglese perché tutti i libri fanno così”.

“Bene, fin qua è chiaro”.

“Ora analizziamo la definizione: cosa significa che x ≤ y?”.

“Significa che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo, e che nessun elemento dell'insieme di destra del secondo numero è minore o uguale del primo”.

“Bene. Ora osserva la figura: noterai che l'insieme di sinistra del primo numero, cioè x_L, si trova tutto a sinistra di y”.

“Vero”.

“E quindi nessun suo elemento è maggiore o uguale di y”.

“Ah, ho capito! Questa è la prima parte della definizione! Ora ho capito anche la seconda parte: l'insieme di destra del secondo numero, cioè y_R, si trova tutto a destra rispetto a x, e perciò nessun suo elemento è minore o uguale di x”.

“Perfetto, questo è il trucco. L'ordinamento fra i numeri surreali funziona così”.

“Ma perché usare tutti quei non? Invece di dire che nessun elemento dell'insieme di sinistra del primo numero è maggiore o uguale del secondo numero, non si poteva dire che tutti gli elementi dell'insieme di sinistra del primo numero sono minori del secondo?”.

“Bé, ci sono due motivi per cui si usano i non. Il primo è per una questione di eleganza (sulla quale tu avrai sicuramente da obiettare): in questo modo si usa solo il concetto di minore o uguale (assieme al suo reciproco di maggiore o uguale) e non si tira in ballo il concetto di essere diversi”.

“In che senso?”.

“Nel senso che minore in senso stretto significa minore e non uguale. Quindi per verificare che un numero è minore di un altro dovresti verificare che prima è minore o uguale, e poi che non è uguale”.

“Ah, ho capito. L'abbiamo fatto quando abbiamo dimostrato che 1 è minore di 2, per esempio”.

“Esatto. Il secondo motivo per cui si usano i non è per avere una induzione che non ha bisogno di base”.

“Cosa?”.

“Ne parliamo la prossima volta”.