Su un particolare insieme numerico - sezioni di Dedekind

Una sezione di Dedekind in un campo ordinato è una partizione di tale campo, (A,B), tale che A è non vuoto e chiuso verso il basso, B è non vuoto e chiuso verso l'alto, e A non contiene massimo. I numeri reali possono essere costruiti come sezioni di Dedekind dei numeri razionali.

“Vabbé, dai, ho capito che non ne hai voglia”.

“Che problema c'è?”.

“Dimmi se ti sembra una cosa comprensibile. Sembra che con questa definizione i Veri Matematici abbiano raggiunto l'apice della incomprensibilità”.

“Mh, forse esistono definizioni più complicate di queste”.

“Non ne parliamo nemmeno, eh?”.

“Va bene. Questa non è proprio intuitiva, vero?”.

“Eh, direi”.

“Provo a spiegartela così: cosa diresti se tu fossi un mio studente e io ti dicessi che in pagella ti ho messo un voto che sta tra due insiemi, il primo dei quali contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti i numeri maggiori o uguali di cinque?”.

“Ti chiederei se sei venuto a scuola in macchina”.

“Perché?”.

“Perché se sei in macchina posso bucarti quattro gomme, se sei in bicicletta soltanto due”.

“Ehm. Ho capito. Potevo scegliere sei invece di cinque come esempio, vero?”.

“Già”.

“Comunque hai capito come funziona?”.

“Direi di sì, è il solito metodo demenziale di complicare le cose semplici. Invece di dire cinque, hai detto tutto ciò che non è cinque, ordinando tutto in due parti. Una contiene tutti i numeri minori di cinque, l'altra tutti quelli maggiori di cinque”.

“Eh, l'idea è questa, anche se c'è qualche precisazione da fare”.

“Capirai”.

“Se, come hai detto tu, dividiamo i numeri in minori di cinque e maggiori di cinque, lasciamo fuori un valore, che è proprio cinque. Questo non va bene, perché noi vogliamo fare una partizione”.

“Cosa sarebbe una partizione?”.

“Una suddivisione di un insieme in sottoinsiemi fatta in modo tale che, riunendo tutte le parti, si ottiene l'insieme di partenza”.

“Ah, ok. Se riunisco le mie parti non riottengo l'insieme di partenza, perché lascio fuori cinque”.

“Esatto, ecco perché nel mio esempio ho specificato che il primo insieme contiene tutti i numeri minori di cinque, il secondo tutti quelli maggiori o uguali a cinque”.

“Potevi anche fare il contrario?”.

“No, perché la definizione specifica che il primo insieme non ha massimo. Se metto cinque nel primo insieme, diventa il massimo”.

“Invece il secondo insieme può avere minimo?”.

“Sì, la definizione non dice nulla riguardo a questo”.

“E perché questa asimmetria?”.

“Perché da qualche parte il cinque dobbiamo pur metterlo, e se non specifichiamo nulla abbiamo due modi diversi per fare la partizione. Siccome non ci piace questa ambiguità, decidiamo arbitrariamente di metterlo nell'insieme di destra”.

“Va bene. Ora passiamo a quel chiuso verso il basso e chiuso verso l'alto. Cosa significano quelle specificazioni?”.

“Allora, un insieme è chiuso verso il basso se esso contiene tutti i numeri minori di qualunque suo elemento”.

“Non è mica tanto chiaro, sai?”.

“Te lo spiego con un esempio. Scegli a caso un numero all'interno del primo insieme, quello che contiene tutti i numeri minori di cinque”.

“Tre”.

“Bene. È vero che l'insieme contiene tutti i numeri minori di tre?”.

“Sì, è vero”.

“Questa proprietà è vera perché tre è un qualche elemento particolare? Oppure vale per qualsiasi scelta tu faccia?”.

“Direi che vale sempre”.

“Esatto. Questo significa che il tuo insieme è chiuso verso il basso”.

“Praticamente è una semiretta che va verso sinistra”.

“Benissimo”.

“E suppongo che chiuso verso l'alto significhi che, per ogni elemento del secondo insieme, è vero che tutti i numeri maggiori di esso sono contenuti nell'insieme”.

“Sì. È più difficile da dire che da capire”.

“Ho capito. Cosa ce ne facciamo di queste sezioni di Dedekind?”.

“Ci servono per definire i numeri reali, ma facciamo un passo alla volta: per prima cosa vediamo che tutti i numeri razionali, che abbiamo già definito, possono essere visti come sezioni di Dedekind”.

“Bé, questa credo di averla capita anche io. Si può fare come hai fatto tu con il cinque: basta che tu sostituisca al posto di cinque un qualunque numero razionale”.

“Giusto. Quindi come sarebbe la sezione di Dedekind relativa a 1/2, per esempio?”.

“Direi che sarebbe una coppia di insiemi (A,B) fatta così: A contiene tutti i numeri razionali minori di 1/2, B contiene tutti quelli maggiori o uguali a 1/2”.

“Perfetto”.

“Mi pare semplice. E devo dire che non capisco l'utilità: è davvero una complicazione inutile”.

“Sì, devo darti ragione. È difficile capire il senso di questa costruzione, e quando provi a spiegarla agli studenti l'unica domanda che riescono a farti è: prof, ma ce la chiede questa roba?”.

“Poveretti”.

“A parte il fatto che gli studenti non sono mai poveretti per definizione, andiamo avanti. Quello che dovresti capire è che ogni numero razionale è associato a una sezione di Dedekind”.

“Sì, questo l'ho capito. Immagino che valga anche il contrario”.

“Cioè che ogni sezione di Dedekind è associata a un numero razionale? Certo che no, altrimenti sarebbero davvero inutili”.

“Ah. Uhm... no, non ho capito bene: esistono sezioni di Dedekind che non sono associate a nessun numero razionale? Come è possibile? Non basta prendere, come numero, il minimo del secondo insieme?”.

“No, la definizione non parla di minimo del secondo insieme. Dice solo che il primo insieme non ha massimo”.

“Perché il secondo ha minimo, è sottinteso”.

“Invece no, è possibile che il primo insieme non abbia massimo e il secondo non abbia minimo”.

“Impossibile”.

“Ti faccio un esempio, anche se sarà un pochino più complicato di quello che ti ho fatto col cinque”.

“Va bene, provo a seguirti”.

“Allora, nel primo insieme ci mettiamo, per prima cosa, tutti i numeri negativi”.

“Ok”.

“Poi ci mettiamo anche lo zero, e tutti i numeri positivi il cui quadrato sia minore di 2”.

“Uhm, va bene. Perché poi complicare le definizioni così?”.

“Aspetta e vedrai”.

“Nel secondo insieme ci metto invece tutti i numeri positivi il cui quadrato sia maggiore di 2”.

“Ehi, non va bene! Dovresti dire il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2”.

“Siamo sicuri?”.

“Eh, sì, altrimenti non è più una partizione, l'hai detto prima! Lasci fuori un numero”.

“Quale?”.

“Bé, quello il cui quadrato è uguale a 2”.

“Che non esiste”.

“Non esiste? Come non esiste? È la radice di 2, no?”.

“La radice di 2 non è razionale, caro il mio Ippaso di Metaponto”.

“Uffa, ma cosa c'entra adesso?”.

“C'entra eccome: noi stiamo facendo sezioni di Dedekind sui numeri razionali. Radice di due non è razionale, non esiste ancora. Nella definizione del secondo insieme puoi anche dire, se vuoi, che esso contiene tutti i numeri il cui quadrato sia maggiore o uguale di 2, ma non devi ingannarti: quell'insieme non ha minimo. Quell'insieme contiene, ad esempio, 2, poi 15/10, poi ancora 142/100, 1415/1000, 14143/10000, e così via. Puoi andare avanti così, spostandoti verso il basso, quanto vuoi. Quindi non esiste minimo, e specificare che il quadrato di questi numeri deve essere maggiore o uguale di 2 è inutile: puoi limitarti a dire che deve essere maggiore di 2”.

“Gulp, ho capito. Credevo fosse una cosa semplice, invece no”.

“No, neanche un po'. Ora riassumiamo: è vero che ogni numero razionale corrisponde a una sezione di Dedekind?”.

“Sì, questo l'ho capito”.

“Ed è vero che ogni sezione di Dedekind corrisponde a un numero razionale?”.

“Eh, stando a quanto hai detto adesso, no. La sezione che hai definito prima non corrisponde a nessuna frazione: corrisponderebbe a radice di 2, ma hai detto che non esiste”.

“Perfetto. Allora possiamo dire che abbiamo due tipi di sezioni di Dedekind: il primo tipo è quello che corrisponde a un numero razionale”.

“Ok”.

“E il secondo tipo è quello che non corrisponde a nessun numero razionale”.

“Va bene”.

“Allora siamo a posto: le sezioni di Dedekind del secondo tipo le chiamiamo numeri irrazionali. Le altre continuiamo pure a chiamarle numeri razionali — anche se in realtà abbiamo immerso i vecchi numeri razionali in questa nuova struttura più ricca. L'insieme di tutte le sezioni di Dedekind dei razionali viene chiamato invece insieme dei numeri reali”.

“Wow. Non si può dire che sia una definizione semplice e intuitiva. E poi, scusa, come faccio a capire com'è fatto un numero reale?”.

“In che senso?”.

“Per esempio, radice di 2. Hai detto che corrisponde a quella sezione di Dedekind formata dai numeri il cui quadrato è minore oppure maggiore di 2, ma quali sono questi numeri? Cosa c'è in mezzo ai due insiemi? Sono insiemi infiniti, come faccio a esaminarli tutti?”.

“Ah, certamente non puoi”.

“Ma allora non è una gran definizione”.

“Bé, la definizione è fatta bene, il problema nasce dal fatto che non sai con esattezza come sia fatto l'oggetto che stai definendo”.

“E ti sembra poco?”.

“Ma questo è il problema dei numeri reali. Quando scrivi radice di 2, oppure π, oppure e, in realtà scrivi solo simboli, ma non sai con esattezza cosa siano. Sai che sono numeri decimali illimitati non periodici, e proprio per questo non li potrai mai conoscere”.

“Non ci avevo mai pensato”.

“È una beffa: noi chiamiamo reali degli oggetti che non conosciamo, e che certamente non potremo mai conoscere. Però sappiamo che esistono, e tanto basta”.

“Magra consolazione”.

“Bisogna anche dire che è vero che non conosceremo mai tutte le cifre di un numero irrazionale, ma comunque potremo sempre approssimarlo, bene quanto vogliamo, con delle frazioni. È quello che fanno sempre le calcolatrici, del resto”.

“Giusto: se dovessero maneggiare davvero dei numeri reali, avrebbero bisogno di una memoria infinita”.

“E allora, invece di usare numeri reali, usano le sezioni di Dedekind”.

“In che senso?”.

“Nel senso che i due insiemi A e B di una sezione di Dedekind relativa a un numero irrazionale sono proprio gli insiemi delle frazioni che approssimano per difetto oppure per eccesso quel numero. Le calcolatrici usano una approssimazione, e l'utente non può controllare l'errore, ma esistono programmi di calcolo più specifici che ti dicono, in ogni momento, quale è l'approssimazione che stanno usando. Invece di darti un numero, ti danno un intervallo: non potendo gestire gli infiniti elementi degli insiemi A e B, tengono in memoria solo il più grande elemento di A e il più piccolo di B. Il tuo numero reale è compreso tra essi, e la loro differenza rappresenta quindi il tuo margine d'errore”.

“Ma guarda... Quindi alla fine anche questa definizione ha un suo senso e una sua applicazione”.

“Bé, come tutte le definizioni della matematica, no?”.

“Hai detto che sei in macchina?”.