Su un particolare insieme numerico - costruzione dei numeri interi

Sia data la seguente relazione, definita sul prodotto cartesiano N×N:

due coppie (n,m) e (p,q) sono in relazione se e solo se n+q = m+p.

L'insieme quoziente di questa relazione di equivalenza si chiama insieme dei numeri interi.

“Ecco fatto”.

“Fatto cosa?”.

“Abbiamo costruito i numeri interi”.

“Tu avrai anche costruito i numeri interi, ma io non ho capito praticamente niente”.

“Spiego?”.

“Sarà meglio. E parti dall'inizio: cos'è il prodotto cartesiano?”.

“Questo è facile: il prodotto cartesiano tra due insiemi A e B è l'insieme delle coppie ordinate (a,b), costruite prendendo un qualunque elemento a appartenente ad A e un qualunque b appartenente a B”.

“Va bene, questa l'ho capita. Tu però dici che prendi N×N: prendi due volte lo stesso insieme?”.

“Sì, non è vietato. N×N contiene tutte le possibili coppie di numeri naturali”.

“Ah, ora ci sono. Quindi quando parli di (n,m) e di (p,q) intendi dire che prendi due coppie di naturali, contenute dentro a N×N. Ho capito”.

“Sì, è semplice. Ora prova ad analizzare la relazione”.

“Questa mi pare oscura. Due coppie sono in relazione se n+q è uguale a m+p: che significa?”.

“Prova con qualche esempio: (3,2) e (5,3) sono in relazione?”.

“Uhm, 3+3 fa 6, mentre 2+5 fa 7. No, non lo sono”.

“Giusto. Prova a fare qualche esempio di coppie in relazione con (3,2), allora”.

“Mah, forse (4,3)? Sì, dovrebbe essere giusto, (3,2) e (4,3) sono in relazione perché 3+3 fa 6 e anche 2+4 fa 6”.

“Giusto”.

“Ah, ma allora ho capito: (5,4), (6,5), (7,6) sono tutte coppie in relazione con (3,2). Dato che 3 e 2 differiscono di 1, posso andare avanti quanto voglio creando coppie i cui elementi differiscono di 1. Le due somme n+q e m+p si bilanciano sempre”.

“Esatto”.

“Posso anche scrivere una formula generale: (3,2) è in relazione con qualunque coppia del tipo (a,a-1)”.

“Quasi giusto”.

“Perché quasi?”.

“Perché nell'insieme dei numeri naturali non è sempre definita la sottrazione: quando scrivi a-1 potresti scrivere un numero inesistente”.

“Ma come inesistente?”.

“Ricordati che stiamo costruendo numeri, e che abbiamo a disposizione solo numeri naturali. Se a è uguale a 0, a-1 sarebbe un numero negativo, che non abbiamo ancora definito”.

“Ah, ho capito. Allora la mia formula generale non vale”.

“Potresti modificarla un po' e renderla perfettamente valida”.

“E come faccio?”.

“Rigira il problema: se non puoi affermare che il secondo elemento della coppia si ottiene dal primo elemento sottraendo 1, come puoi cavartela?”.

“Posso dire che il primo si ottiene dal secondo sommando 1. La somma posso sempre farla, giusto?”.

“Proprio così. Quindi il tuo generico elemento diventa (a+1,a)”.

“Bello. Quindi (3,2) è in relazione con (a+1,a), perché 3+a è uguale a 2+(a+1). Giusto!”.

“Ora bisognerebbe dimostrare che quella appena definita è una relazione di equivalenza”.

“Uhm, ricordo che deve soddisfare a tre proprietà: riflessiva, simmetrica e transitiva”.

“Perfetto. La proprietà riflessiva dice che un elemento è in relazione con sé stesso. Come diventa nel nostro caso?”.

“Sarebbe (n,m) in relazione con (n,m), cioè n+m = m+n. Mi pare giusto”.

“Giusto perché stai usando una proprietà della somma di numeri naturali, che (anche se non abbiamo dimostrato esplicitamente) diamo per scontata. Vai con la seconda proprietà delle relazioni di equivalenza, adesso”.

“La proprietà simmetrica. Dice che se (n,m) è in relazione con (p,q), anche (p,q) è in relazione con (n,m)”.

“Esatto. Se applichi la definizione, come diventa?”.

“Se n+q = m+p, allora anche p+m = q+n. Giusto. Anche qui usiamo proprietà dei numeri naturali”.

“Ora la proprietà transitiva. Questa è più difficile”.

“Vediamo: dobbiamo supporre che (n,m) sia in relazione con (p,q) e che (p,q) sia in relazione con (r,s). Dobbiamo dimostrare che (n,m) è in relazione con (r,s)”.

“Ora traduci applicando la nostra definizione”.

“So che n+q = m+p e che p+s = q+r, voglio dimostrare che n+s = m+r. Come faccio?”.

“Somma le tue due ipotesi: quanto fa (n+q) + (p+s)?”.

“Aspetta: che cosa stai facendo?”.

“Ho sommato le due espressioni a sinistra dell'uguale nelle tue due ipotesi. Questa somma sarà uguale a ciò che ottieni sommando le due espressioni a destra dell'uguale”.

“Quindi (n+q) + (p+s) = (m+p) + (q+r), è questo che intendevi?”.

“Sì, va bene. Ora togli tutte le parentesi che non servono”.

“Ottengo n+q+p+s = m+p+q+r”.

“Ora sottrai a destra e a sinistra l'espressione p+q”.

“Rimane n+s = m+r. Ehi, è la tesi!”.

“Quindi anche la proprietà transitiva è vera, e quella che ti ho proposto è davvero una relazione di equivalenza”.

“Bene, Però, boh...”.

“Cosa c'è?”.

“Siam sicuri che questi siano proprio i numeri interi? Quelli delle elementari?”.

“Bella domanda”.