Su un particolare insieme numerico - la somma di numeri interi

La somma di due numeri interi (n,m) + (p,q) è uguale a (n+p,m+q).

“Sembra facile”.

“Esatto”.

“In che senso, esatto?”.

“Sembra facile”.

“Non è così?”.

“Non è tutto ovvio. Per esempio, è una definizione ben posta?”.

“Cosa significa?”.

“Ricordi che un numero intero è una intera classe di equivalenza, no? Per esempio, la classe individuata da (1,0) contiene anche (2,1), (3,2), e così via. In pratica, contiene tutte le coppie del tipo (a+1,a): a questa classe di equivalenza abbiamo dato il nome di +1”.

“Vero, un numero intero può essere scritto in tanti modi, come coppia di numeri naturali”.

“E allora, se prendo due modi diversi per rappresentare lo stesso numero, otterrò dalla somma lo stesso risultato?”.

“Ah. Uhm, non ci avevo pensato”.

“Cominciamo da un esempio facile: 1+1”.

“Non mi stai prendendo in giro, vero?”.

“No, no. Vorrei che tu calcolassi 1+1 come somma di numeri interi, non come somma di numeri naturali”.

“E non è la stessa cosa?”.

“No, perché ora stiamo costruendo i numeri interi, quindi non sappiamo ancora nulla su di essi. Invece sappiamo tutto sui numeri naturali, che sono i nostri mattoni”.


“Va bene, vediamo se ho capito. Se voglio calcolare 1+1 devo considerare numeri interi, cioè coppie di naturali. Quindi dovrei calcolare (1,0)+(1,0). Secondo la definizione, dovrebbe risultare (2,0)”.

“Giusto. Ora il problema è: cosa succede se al posto di (1,0) prendi un altro rappresentante?”.

“Uhm. Potrei prendere (2,1): mi stai chiedendo che succede se voglio calcolare (2,1)+(2,1)?”.

“O anche (2,1)+(1,0)”.

“Vediamo: (2,1)+(2,1) fa (4,2). Ehi, va bene, perché (4,2) è in relazione con (2,0)!”.

“Giusto. Se invece calcoli (2,1)+(1,0)?”.

“In questo caso risulta (3,1). Va bene ugualmente, perché (3,1) corrisponde a (2,0)”.

“Riesci a trovare una regola generale? Ricordati che il numero +1 si può scrivere in infiniti modi come (a+1,a)”.

“Potrei provare a sommare (n+1,n) con (m+1,m)”.

“Bene, cosa ottieni come risultato?”.

“Risulta (n+1+m+1,n+m), che è uguale a (n+m+2,n+m)”.

“Esatto. Questa coppia è del tipo (a+2,a), vero?”.

“Sì, e quindi è in relazione con (2,0), cioè con +2”.

“Benissimo, quindi è vero che 1+1 fa 2”.

“Uhm, così tanta fatica per dimostrare una cosa che conoscevamo già...”.

“Sì, ma ora l'abbiamo estesa ai nostri nuovi numeri: 1+1 fa 2 nei numeri naturali, ma anche nei numeri interi. Quindi abbiamo esteso la somma ai nuovi numeri che abbiamo costruito”.

“Uhm, ripensandoci, abbiamo esteso soltanto la somma 1+1. Anche le altre somme funzionano altrettanto bene?”.

“Sì, anche se è noioso dimostrarlo. Abbiamo definito la somma di (n,m)+(p,q) come la coppia (n+p,m+q). Ora prendiamo un altro rappresentante generico per la coppia (n,m), cioè (n+a,m+a)”.

“Mi pare di capire: se il risultato della somma rimane uguale, allora la somma è ben definita sempre”.

“Giusto. Prova a fare la somma, dunque”.

“Allora, (n+a,m+a) + (p,q) = (n+a+p,m+a+q)”.

“Ed è vero che questo risultato è in relazione con (n+p,m+q)?”.

“Sì, perché, secondo la definizione, (n+a+p) + (m+q) è uguale a (m+a+q) + (n+p)”.

“Perfetto, quindi siamo a posto, la somma è una buona somma”.

“Va bene, ho capito. Ma voi matematici come fate a far funzionare cose così complicate? Come vi è venuto in mente di inventare una definizione così strana? Per non parlare della relazione di equivalenza iniziale, quella dalla quale è partito tutto?”.

“Eh, in effetti c'è un trucco”.