Su un particolare insieme numerico - il trucco

“Quindi c'è un trucco?”.

“Sì. Vedi, le teorie non nascono già belle e formalizzate. Prima che tutto funzioni bene hanno bisogno di lavoro, prove, tentativi, errori, correzioni”.

“Cosa che, però, i Veri Matematici si guardano bene di far sapere”.

“Eh, questo fa parte dell'alone di mistero che vogliono mantenere”.

“Forse è meglio se mi spieghi il trucco”.

“Sì, credo di sì. Dunque, per quale ragione nasce l'esigenza di utilizzare i numeri interi? Quand'è che i numeri naturali non bastano più?”.

“Uhm, quando si devono calcolare le sottrazioni?”.

“Esatto. Fino a che devi fare solo delle somme, i numeri naturali sono sufficienti. Ma quando devi fare delle sottrazioni, non ti bastano più: puoi calcolare 3-2, ma non puoi calcolare 2-3”.

“Va bene, questo me lo hanno spiegato alle elementari”.

“Perfetto. Ora quello che vogliamo fare è costruire il risultato di operazioni come 2-3 senza utilizzare il segno meno, cioè senza utilizzare numeri che ancora non esistono. Insomma vogliamo scrivere i numeri negativi utilizzando solo i numeri positivi”.

“Ok. Dunque come facciamo?”.

“Nascondiamo la sottrazione all'interno delle coppie di numeri”.

“Eh?”.

“Dovresti aver capito che la nostra definizione di numero intero come coppia di numeri naturali nasconde, al suo interno, una sottrazione”.

“Uhm, cioè vuoi dire che (3,2) corrisponde a +1 perché 3-2 è uguale a 1?”.

“Certo. E quindi (2,3) corrisponde a -1 per lo stesso motivo”.

“Però avevi detto che non potevi usare i numeri negativi”.

“Infatti nella definizione non li ho mai usati. Ora ti sto solo spiegando il trucco”.

“Va bene, vai avanti”.

“Allora, il trucco è questo: i numeri interi sono coppie di numeri, per ottenere il numero a cui corrisponde la coppia (n,m) ti basta calcolare n-m”.

“Fin qua ci sono”.

“Bene. Due numeri (n,m) e (p,q) sono uguali se n-m è uguale a p-q”.

“Ok, giusto”.

“Ma l'uguaglianza n-m = p-q è proibita, perché non sempre fornisce risultati accettabili, cioè non sempre fornisce numeri naturali, che sono gli unici oggetti che possiamo usare”.

“Ok, quindi?”.

“Quindi trasformiamo l'uguaglianza: portiamo m a destra e q a sinistra”.

“E otteniamo n+q = m+p. Ehi, è la definizione della relazione di equivalenza!”.

“Proprio lei”.

“E non potevi dirlo prima? Avrei capito subito dove saresti andato a parare”.

“Perdendo così quell'alone di mistero e quel senso di superiorità che è tanto caro ai Veri Matematici?”.