Su un particolare insieme numerico - partiamo dai numeri naturali

“Dei numeri naturali abbiamo già parlato”.

“Vero: due volte. Hai parlato degli assiomi di Peano e anche di quella bella costruzione basata sull'insieme vuoto”.

“Già, la definizione di Von Neumann. Abbiamo anche parlato delle relazioni di equivalenza, giusto?”.

“Eh, sì, per spiegarle ti sei messo a raccontar parabole... Come dimenticarlo?”.

“Non rinvanghiamo episodi imbarazzanti, per favore”.

“Come vuoi, ma perché stiamo parlando di questi argomenti?”.

“Perché sono il nostro punto di partenza per una serie di costruzioni”.

“Ah, quindi sarebbe meglio ripassare il tutto?”.

“Già, sarebbe bene. Facciamo un elenchino riassuntivo?”.

“Se mi ricordo, sì. Vediamo, dovrei ricordarmi gli assiomi di Peano:”.

1) esiste un numero naturale, 0 (oppure 1).

2) ogni numero naturale n ha un numero naturale successore, che chiamiamo S(n).

3) numeri diversi hanno successori diversi.

4) 0 (oppure 1) non è successore di nessun numero naturale.

5) ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero (o l'uno) e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'insieme dei numeri naturali.

“Bene, ottimo”.

“Però il quinto mi piace di più espresso nell'altro modo:”.

5) indichiamo con P(x) una proprietà valida per il numero x. Se P è vera per 0 (oppure 1) e se la verità di P(n) implica la verità di P(n+1), allora P è vera per tutti i numeri naturali.

“Va bene, sia nel primo modo che nel secondo. L'avevamo chiamato principio di induzione, ricordi?”.

“Giusto”.

“L'altra costruzione, invece?”.

“Ah, quella è molto bella. Ricordo che si basa sull'insieme vuoto, e si costruiscono i numeri in questo modo:”.

0 = {},
1 = {0} = {{}},
2 = {0,1} = {0,{0}} = {{},{{}}},
3 = {0,1,2} = {0,{0},{0,{0}}} = {{},{{}},{{},{{}}}},

e così via.

“Perfetto. Poi abbiamo definito le relazioni di equivalenza, che sono particolari relazioni che devono soddisfare a determinate proprietà, che avevamo chiamato riflessiva, simmetrica e transitiva”.

“Sì, mi ricordo. Ricordo anche che tutti gli elementi in relazione tra loro potevano essere inscatolati insieme”.

“Giusto. Le scatole di cui parli si chiamano classi di equivalenza”.

“Sì, sì, e, se non sbaglio, contengono tutti gli elementi accomunati da una qualche proprietà”.

“Esatto. Le classi di equivalenza raccolgono oggetti diversi con una qualche proprietà in comune. Naturalmente la proprietà cambia a seconda di come è definita la relazione: ogni definizione crea classi diverse”.

“Va bene. Ora ripetimi perché abbiamo ripreso questi concetti, per favore”.

“Perché faremo i costruttori”.

“Costruttori? Di cosa?”.

“Saremo costruttori di numeri”.

“Uhm, costruttori o creatori?”.

“Perché non scopritori? Vuoi che cominciamo già a parlare di filosofia?”.