Su un particolare insieme numerico - sì, sono proprio quei numeri interi

“Ora che abbiamo capito il trucco, possiamo andare più spediti. Per esempio, abbiamo detto che la classe individuata dalla coppia (1,0) rappresenta il numero +1 e, più in generale, abbiamo capito che una coppia (x,y) rappresenta il numero x-y, se x è maggiore o uguale di y”.

“Uhm, ricordo che c'era un problema con i numeri negativi: avevi detto che non possiamo calcolare x-y se x è minore di y, perché possiamo fare solo operazioni con i numeri naturali”.

“Proprio così. Dato che stiamo costruendo i numeri interi, non possiamo già utilizzarli”.

“Se ben ricordo, avevi detto che i numeri naturali vengono immersi nei nuovi numeri che stiamo costruendo”.

“Sì. Ci eravamo fermati di fronte a numeri come (0,1)”.

“Vero. Ricordo che avevi fatto una domanda: come facciamo a sapere se (0,1) è proprio -1?”.

“Ricordi anche la risposta?”.

“Avevi detto che ci serviva una somma. Bene, la somma l'abbiamo definita, e mi hai spiegato anche il trucco. Ora come la usiamo?”.

“Calcoliamo la somma (1,0) + (0,1)”.

“Secondo la regola risulta (1,1)”.

“A che numero corrisponde (1,1)?”.

“Corrisponde a 0, dato che 1-1 fa 0”.

“Bene. Quindi i due numeri (1,0) e (0,1) sono opposti”.

“Giusto”.

“E dato che (1,0) corrisponde a +1...”.

“Ah, ho capito! (0,1) sarà il suo opposto, quello che normalmente chiamiamo -1”.

“Proprio così. Ecco quindi quello che abbiamo fatto: abbiamo immerso i numeri naturali nel nostro nuovo insieme, in modo che a ogni n naturale corrisponda la classe di equivalenza individuata da (n,0). Poi abbiamo visto che esistono classi, come quella individuata da (0,1), che non sono corrispondenti di nessun numero naturale. Queste classi sono i numeri negativi. Ed ecco che ora abbiamo a disposizione l'insieme dei numeri interi, con la somma”.

“Wow. Quindi a partire dai numeri naturali abbiamo costruito gli interi. Allora non sono numeri nuovi, ma sono stati fabbricati a partire dai vecchi”.

“Nihil novi sub solem”.

“C'era anche una frase famosa di un matematico che si riferiva a questo fatto”.

“Sì, è di Kronecker, e dice: Dio fece i numeri naturali, tutto il resto è opera dell'uomo. In realtà Kronecker la pronunciò per criticare il lavoro di Cantor sui numeri transfiniti (di cui ricorderai qualcosa, spero), ma possiamo applicarla anche a questo semplice caso”.

“Semplice?”.

“Eh, bè, sì. Abbiamo definito soltanto i numeri interi, e non completamente, ma ci sono anche altri tipi di numeri”.

“Oh mamma. Tutti si possono costruire in questo modo?”.

“Non proprio tutti allo stesso modo, ma lo vedremo pian piano. Per ora, vediamo di finire lo studio dei numeri interi”.

“Cosa manca?”.

“La moltiplicazione. Ma col trucco che ti ho spiegato sarà più semplice da capire”.