“Come fai a dire che questi sono proprio i numeri interi? Cioè, roba tipo 1, 2, 3, -1, -2, -3?”.
“Hai detto tipo!”.
“Eh?”.
“Non dire più tipo, ti prego”.
“Perché?”.
“Perché gli studenti sono nella fase in cui dicono tipo ogni volta che aprono bocca. Cioè, tipo, se devono dire una cosa tipo ciao, andiamo a prendere un gelato, dicono ehi raga, cioè, andiamo a prendere, tipo, un gelato?”.
“Oh mamma”.
“Speriamo che passi presto”.
“Di solito sono mode passeggere”.
“È vero. L'unica che non è ancora passata è quella dei pantaloni a vita bassa con le mutande fuori”.
“Taci, taci, non me ne parlare... Forse è meglio se torniamo ai nostri numeri interi. Come procediamo per capire se sono davvero quei numeri interi?”.
“Cominciamo con lo scoprire come sono fatte le classi di equivalenza. Hai dimostrato prima che (3,2) è in relazione con (a+1,a). In particolare, è in relazione con (1,0)”.
“Vero”.
“Ora prendiamo un altro esempio: (3,1). Questo è in relazione con (a+2,a), sei d'accordo?”.
“Giusto: 3+a è uguale a 1+a+2”.
“E quindi questa coppia sarà in relazione anche con (2,0)”.
“Mh, va bene. Mi pare di capire che ti piacciano le coppie con a=0”.
“Infatti. Prova tu a calcolare i corrispondenti di (3,3)”.
“Uhm, (3,3) è in relazione con (a,a), perché 3+a = 3+a. A te piacerà sicuramente (0,0)”.
“Giusto. Proviamo a generalizzare?”.
“Proviamo”.
“Se io scrivo una generica coppia (x,y), questa con quali altre coppie sarà in relazione?”.
“Boh, non saprei”.
“Ricordati che mi piacciono le coppie che hanno uno zero in seconda posizione”.
“Allora, (x,y) sarà in relazione con una certa coppia (a,0). Un momento, potrei anche impostare un'equazione per trovare a”.
“Ottimo: fallo”.
“Allora, se vale la nostra relazione, deve essere vero che x+0 = y+a”.
“E quindi? Quanto deve essere a?”.
“Devo ricavare a a sinistra: ecco, risulta che a = x-y”.
“Quindi una generica coppia (x,y) sarà in relazione con (x-y,0)”.
“Comincia ad accendersi una lampadina...”.
“Hai capito come funziona? Noi scriviamo coppie di numeri, ma possiamo sempre ricondurle a una coppia che ha zero in seconda posizione. In pratica, riconduciamo una coppia di numeri a un numero solo, dato che l'altro è sempre zero”.
“E quindi, senza fare troppo calcoli, potremmo dire che (42,40) è in relazione con (42-40,0) = (2,0)”.
“Esattamente”.
“Ancora non capisco come saltino fuori i numeri interi, però”.
“Prova a dire a cosa corrisponde la coppia (2,3)”.
“Bè, facile, corrisponde a (2-3,0), cioè (-1,0)”.
“Che non esiste”.
“Eh?”.
“Ti pare che (-1,0) sia una coppia di numeri naturali?”.
“Ehm, no, -1 è un intero”.
“Che stiamo ancora definendo, e che quindi non possiamo usare”.
“Uffa, allora non è corretta la corrispondenza tra (x,y) e (x-y,0)”.
“Sì e no. Andiamo per gradi: se x-y è maggiore o uguale di zero, puoi sempre scrivere che (x,y) corrisponde a (x-y,0), questo è quello che hai calcolato tu”.
“Bene”.
“In pratica se x è maggiore o uguale a y la coppia (x,y) appartiene alla classe di equivalenza di (x-y,0)”.
“Ok”.
“E quindi (x,y) corrisponde a x-y”.
“Fin qua ti seguo”.
“E x-y è un vecchio numero naturale”.
“Sì, quindi praticamente finora non abbiamo fatto nulla di nuovo, se non complicare le cose. Invece di scrivere 42 posso scrivere (42,0) oppure (43,1) oppure (44,2) oppure una qualunque coppia nella forma (42+a,a)”.
“Vero. Quindi i vecchi numeri naturali sono stati immersi in questa nuova struttura più complicata”.
“Va bene. Mi piace la parola immersi”.
“Infatti rende bene l'idea, perché i numeri naturali sono stati davvero inseriti all'interno di una struttura più ampia. Per esempio la coppia (0,1) non corrisponde a nessun numero naturale”.
“Vero, non si può fare l'operazione 0-1 all'interno dei numeri naturali”.
“Quindi (0,1) è un nuovo numero”.
“Ah”.
“Diverso da tutti i naturali”.
“Capisco. Sarebbe quindi un numero negativo?”.
“Certo, corrisponde proprio al numero -1 delle scuole elementari”.
“E quindi potremmo anche dire che (0,2) è uguale a -2?”.
“Certo”.
“Quindi tutti i numeri negativi sono del tipo, scusa, hanno la forma (0,a)?”.
“O tutte le forme equivalenti a questa. Per esempio, (3,4) corrisponde a (0,1)”.
“Ah, certo, d'accordo”.
“Naturalmente non basta un nome per fare di un numero proprio quel numero”.
“Eeeehh?”.
“Voglio dire, abbiamo dato a (0,1) il nome -1, ma siamo sicuri che sia proprio il -1 delle elementari? Non potrebbe essere -2, -3, o qualche altro numero?”.
“Boh, e come facciamo a saperlo?”.
“Perché -1 si chiama proprio così?”.
“Uhm, non so cosa vuoi dire. Credo che -1 sia l'opposto di 1, no?”.
“Giusto. Che significa opposto?”.
“Significa che ha segno opposto”.
“Stai facendo come gli studenti quando usano una definizione per spiegare sé stessa”.
“Uhm. Vuoi che definisca opposto senza usare la parola opposto?”.
“Già”.
“Vediamo. Potrebbe essere che l'opposto di un numero è quel numero che, sommato al primo, dà come risultato zero?”.
“Esattamente. L'opposto di a si indica con -a ed è tale che a + (-a) = 0”.
“Bene, quindi come facciamo a sapere se (0,1) è proprio -1?”.
“Dobbiamo definire una somma”.
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