Su un particolare insieme numerico - tedioso

“La definizione che abbiamo dato di sezione di Dedekind è sovrabbondante”.

“Cioè?”.

“A cosa ci serve specificare entrambi gli insieme della sezione? Perché definire una sezione di Dedekind con una coppia di insiemi (A,B)? Non serve, se conosciamo A è automaticamente determinato anche B. Quindi potremmo limitarci a dire che la sezione di Dedekind di un certo insieme è un insieme A, non vuoto, chiuso verso il basso, che non contiene massimo”.

“Dopo, però, non sembra più una sezione. Il lettore può rimanere disorientato nel leggere sezione e non vedere le due parti in cui l'insieme è stato sezionato”.

“E tu pensi che ai Veri Matematici importi qualcosa del disorientamento di chi legge?”.

“Ah, già. Non ci avevo pensato”.

“Qualche maligno potrebbe pensare che il limitare la definizione di sezione di Dedekind al solo primo insieme potrebbe essere una complicazione voluta, perché in fondo non è un gran spreco di tempo e di spazio specificare anche il secondo insieme”.

“Ma noi non siamo maligni”.

“Infatti. Anche perché io ti ho prima dato la definizione con i due insiemi, e solo adesso ti sto dicendo che possiamo evitare di specificare il secondo”.

“La tua maestria didattica mi sbalordisce”.

“Uhm”.

“Ma vai pure avanti, pendo dalle tue labbra”.

“Mh. Allora, ci sarebbero da definire le operazioni tra numeri reali”.

“Eh, dato che i numeri reali sono determinati da una coppia di insiemi — anzi, da un unico insieme, ma pur sempre un insieme contenente infiniti valori — non deve essere facile”.

“Più che altro è noioso. Utilizziamo, per evitare un po' di noia, la notazione con un unico insieme. Cosa significa sommare due numeri x e y?”.

“Cosa significa?”.

“Ricordiamo che x è associato a una sezione di Dedekind, indichiamola con X”.

“E allora indichiamo con Y la sezione di Dedekind relativa a y”.

“Bene. Allora x+y è definito come la sezione di Dedekind formata dal seguente insieme:”.

{x+y | x∈X, y∈Y}

“Ehm, dunque... L'insieme formato da tutte le possibili somme tra un elemento di X e uno di Y?”.

“Esatto. Si somma tutto e si ottiene una nuova sezione di Dedekind”.

“Siamo sicuri che l'insieme che si ottiene sia una sezione di Dedekind?”.

“Bella domanda. Te la lascio come esercizio, però”.

“Mh, vabbé. Si fa così anche la moltiplicazione?”.

“Sì, però c'è il problema dei segni che complica ulteriormente le cose. Quindi si parte considerando due numeri x e y positivi, e si definisce il loro prodotto come quel numero associato alla seguente sezione:”.

{xy | x∈X, x≥0, y∈Y, y≥0} ∪ {a∈Q, a<0}

“Bruttina”.

“Concordo. Se poi c'è qualche numero negativo, si usa la solita regola dei segni per fare tornare tutto”.

“In che senso?”.

“Nel senso che se devi calcolare, ad esempio, 5×(-3), con la regola dei segni stabilisci che il segno del risultato è negativo, dopodiché calcoli 5×3 con la regola precedente”.

“Va bene, ma è proprio necessario stare a definire tutte queste operazioni?”.

“Bé, necessario lo è certamente, perché altrimenti non sai come fare per fare i conti. Tieni presente che, nell'insieme dei numeri reali, si possono scrivere anche operazioni strane come e^π: noi siamo abituati a farle con la calcolatrice, e non ci poniamo nessun tipo di problema, ma se ci pensi un momento non è proprio ovvio il significato di quell'esponente irrazionale”.

“Sì, in effetti non ha molto senso dire che e^π è uguale a e moltiplicato per sé stesso π volte”.

“No, infatti. L'estensione del concetto di potenza ai numeri reali non è una cosa ovvia. E poi ci sarebbero anche tutte le altre proprietà dell'insieme dei numeri reali da dimostrare”.

“Quali?”.

“Ricordi? I numeri reali sono l'unico campo ordinato archimedeo completo”.

“Gulp! Bisogna dimostrare che tutte quelle proprietà valgono per la nostra costruzione?”.

“Eh già, bisognerebbe”.

“Non lo facciamo?”.

“Guarda, se vai a dare un'occhiata alla pagina di wikipedia che parla delle varie costruzioni dei numeri reali, trovi tante cose già scritte. Oltre all'approccio assiomatico, di cui abbiamo già parlato, ci sono le sezioni di Dedekind, le successioni di Cauchy, le espansioni decimali, i numeri iperreali, i numeri surreali, i quasi omomorfismi. La cosa più interessante comunque è l'ultima frase”.

“Cosa dice?”.

“Dice che esistono molti approcci diversi per la definizione dei numeri reali, che ogni tanto qualche matematico ne propone una nuova, in cui the details are all included, but as usual they are tedious and not too instructive”.