Su un particolare insieme numerico - il primo numero

“Ma se ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri creati precedentemente, all'inizio con quali numeri partiamo? I naturali?”.

“No, no, niente naturali: all'inizio non esistono numeri”.

“Ma allora? Se precedentemente non esiste niente, come si fa?”.

“All'inizio non esistono numeri, ma c'è un oggetto che esiste sempre: è l'insieme vuoto”.

“Che non è un numero, però”.

“Ma è un insieme di numeri”.

“Di numeri? Ma se non contiene niente!”.

“Appunto: puoi forse dire che contiene oggetti che non sono numeri?”.

“Uh, se la metti così allora l'insieme vuoto è anche un insieme di banane”.

“Certamente. L'insieme vuoto può essere visto come insieme di qualsiasi tipo di elementi”.

“Bella roba: è un insieme che può contenere tutto ma che in realtà non contiene nulla”.

“E, però, esiste”.

“Va bene, esiste. È una scatola vuota”.

“Ci accontentiamo: ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri (ce li abbiamo, sono entrambi l'insieme vuoto) creati precedentemente (non ci sono numeri dentro all'insieme vuoto, quindi non abbiamo il problema del regresso all'infinito). Siamo a posto”.

“Però la tua definizione specifica anche che nessun elemento dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“E infatti è così: vedi forse qualche elemento nell'insieme di sinistra che sia maggiore uguale a qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“Ma cosa vuol dire insieme di sinistra o di destra?”.

“Allora, usiamo qualche simbolo, così ci capiamo. La definizione dice che ogni numero corrisponde a due insiemi di numeri, giusto?”.

“Sì”.

“Allora, scriviamo i due insiemi in questo modo: {A|B}”.

“Uhm, perché metti una barretta verticale invece di una virgola?”.

“Per non confondermi quando elencherò gli elementi di A o B. E poi per ricordare, in modo grafico, le sezioni di Dedekind”.

“Ah, ecco perché hai voluto parlarmi delle sezioni di Dedekind, anche se era evidente che non ti andava molto...”.

“Già. Questa costruzione le ricorda un po'. Comunque, dato che scriviamo i numeri come coppia di insiemi in questo modo, {A|B}, risulta abbastanza naturale chiamare A insieme di sinistra e B insieme di destra. Potremmo anche indicare i numeri con {S|D} o, se vogliamo fare gli inglesi, {L|R}”.

“Va bene, fino a questo livello di naturalità ci arrivo”.

“Allora, noi abbiamo a disposizione, all'inizio, solo l'insieme vuoto”.

“E questo l'ho capito”.

“Quindi l'unico numero che possiamo costruire è {∅|∅}”.

“E questo è un numero?”.

“Secondo la definizione, lo è se è vero che nessun elemento dell'insieme di sinistra è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.

“Insisto, l'insieme di sinistra non ha elementi”.

“E insisto anche io: è forse vero che l'insieme di sinistra contiene elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra?”.

“No, assolutamente no. L'insieme di sinistra non. contiene. elementi”.

“Allora siamo a posto. È un numero”.

“Non ci posso credere”.

“Le infinite e meravigliose proprietà dell'insieme vuoto ti danno il benvenuto in questo nuovo mondo”.

“Povero me. Che numero sarebbe, allora?”.

“Direi che, per cominciare, potremmo chiamarlo 0”.

“Zero?”.

“Già. Si parte da qui: 0 = {∅|∅}”.