“Vai, ho capito, dato che ora abbiamo a disposizione un numero, possiamo costruirne altri secondo la tua regola, così:”.
{∅|∅}, {∅|0}, {0|∅}, {0|0}.
“Uhm, siamo sicuri che siano numeri?”.
“Eh?”.
“Secondo la definizione, dovresti verificare che nessun elemento dell'insieme di sinistra sia maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra”.
“Ah. Ehm, non possiamo usare quelle meravigliose proprietà dell'insieme vuoto?”.
“Dipende. Vediamo un po': il primo dei tuoi numeri l'abbiamo già visto, è lo zero”.
“Sì, l'ho scritto solo per completezza, quelli nuovi sono quelli dopo”.
“Ok. Prendiamo allora {∅|0}. È un numero? Vale la definizione?”.
“Mi pare proprio di sì: secondo quanto hai detto tu, nell'insieme di sinistra non ci sono elementi maggiori o uguali di qualche elemento dell'insieme di destra. In effetti, non ci sono proprio elementi”.
“Ottimo. Hai dimostrato una proprietà generale: qualunque sia x, {∅|x} è un numero”.
“Giusto”.
“Ora prendi {0|∅}. È un numero?”.
“Uhm, qui nell'insieme di sinistra c'è effettivamente un numero. No, un momento, forse ho sbagliato qualcosa: l'insieme di sinistra non è un insieme!”.
“Sì, hai ragione, avresti dovuto scrivere {{0}|∅}; questo è il motivo per cui usiamo la barra verticale invece della virgola per dividere i due insiemi di sinistra e di destra: tutto ciò che sta da una parte o dall'altra della barra è da considerarsi un insieme. Insomma, invece di scrivere {{x1,x2,x3,...},{y1,y2,y3,...}} scriviamo {x1,x2,x3,...|y1,y2,y3,...}”.
“Ah, ok. Sì, effettivamente semplifica un po'”.
“Bene. Allora, prova a vedere se {0|∅} è un numero”.
“Allora, nell'insieme di sinistra questa volte c'è un numero, è 0. Però è vero che 0 non è maggiore o uguale di qualche elemento dell'insieme di destra: l'insieme di destra è vuoto”.
“Perfetto. Anche in questo caso, hai dimostrato un caso generale: qualunque sia x, {x|∅} è un numero”.
“Rimane {0|0}. Uhm, è vero che 0 (l'unico elemento dell'insieme di sinistra), non è maggiore o uguale di 0 (l'unico elemento dell'insieme di destra)? Boh, mi pare di no, 0 è uguale a 0”.
“Ecco, in questo caso dovremmo sapere cosa significa essere maggiore o uguale”.
“Non lo sappiamo?”.
“Eh, no. Finora non abbiamo dato la definizione, e dato che questi numeri sono del tutto nuovi, e stiamo partendo da zero (anzi, stiamo partendo da ∅), dobbiamo definire tutto, anche l'ordinamento”.
“Uh, ho paura che non sarà una cosa semplice”.
“Sì, effettivamente la definizione è un po' arzigogolata. Ma è fatta in modo tale da sfruttare ancora una volta le proprietà dell'insieme vuoto. La vediamo la prossima volta”.
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