Su un particolare insieme numerico - Genesi

“Ho sb”.

“Come, scusa?”.

“Ho sbb... ho sbbb”.

“Non capisco”.

“Ho dato un'informazione che, seppur corretta, poteva portare a cattive interpretazioni”.

“Ah, hai sbagliato”.

“Ehm”.

“E quale sarebbe, questa informazione?”.

“Ecco, avevo detto che per essere sicuri che i numeri che abbiamo indicato con +1 e -1 siano davvero quei numeri, avremmo avuto bisogno della somma”.

“E non è vero?”.

“Bé, è vero che ci serve la somma per verificare che sono opposti (e in questo, quindi, la mia informazione è corretta), però per controllare che +1 sia proprio l'unità, ci serve la definizione di moltiplicazione. In sostanza, +1 è l'elemento neutro della moltiplicazione”.

“Ah. E quindi adesso definiamo somma e moltiplicazione?”.

“No, no, è ancora presto: prima ci serve qualche altro numero, per prendere confidenza con un concetto molto importante”.

“Costruiamo quindi altri numeri? A partire da quelli vecchi, immagino”.

“Certo, ogni giorno ne vengono costruiti dei nuovi a partire da quelli vecchi”.

“Giorno?”.

“Sì, quelli che studiano i numeri surreali parlano di giorni. Vedi, in principio c'era solo l'insieme vuoto. Conway definì la regola per costruire numeri, e creò lo zero, cioè {|}. Conway vide che era cosa buona. E fu sera e fu mattina, zeresimo giorno”.

“Voi siete malati”.

“Conway costruì {0|} e {|0}, e li chiamò +1 e -1, e vide che erano cosa buona. Conway separò le coppie che rispettavano la sua regola dalle coppie che non la rispettavano, come {0|0}, e chiamò le coppie del primo tipo numeri, e quelle del secondo tipo giochi. E fu sera e fu mattina, primo giorno”.

“Ci mancavano anche i giochi”.

“Conway disse: tutti i numeri sono costruiti in questo modo, e creò l'induzione, risolvendo il problema del contare fino a ℵ senza annoiarsi”.

“Sono senza parole”.

“Quindi ogni giorno vengono creati nuovi numeri, a partire da quelli vecchi. Noi siamo arrivati al primo giorno, ora proviamo a vedere cosa succede nel secondo”.

“Va bene, anche se tremo all'idea di quello che succederà al giorno ℵ”.

“Non ti preoccupare, c'è tempo”.

“Un tempo infinito, immagino...”.

“Bé, poi l'induzione ci aiuta, ma andiamo per gradi. Ora proviamo a vedere quali numeri vengono creati il secondo giorno”.

“Va bene, proviamo. Allora, abbiamo a disposizione i numeri -1, 0 e +1. Posso evitare di mettere sempre quel segno positivo davanti al +1?”.

“Certo, certo. Ricordati anche che li abbiamo ordinati, sappiamo che -1 è minore degli altri due, 0 è compreso tra -1 e 1, mentre 1 è maggiore degli altri due”.

“Uhm, perché mi stai ricordando questo?”.

“Perché, secondo la definizione di numero, nessun numero dell'insieme di sinistra deve essere maggiore o uguale di qualche numero dell'insieme di destra”.

“Ah, giusto! Allora, avendo a disposizione questi tre simboli potrei creare queste coppie:”.

{|} = 0
{-1|}
{0|} = 1
{1|}
{|-1}
{|0} = -1
{|1}
{-1|0}
{-1|1}
{0|1}
{-1,0|}
{-1,1|}
{0,1|}
{-1,0,1|}
{|-1,0}
{|-1,1}
{|0,1}
{|-1,0,1}
{-1,0|1}
{-1|0,1}

“Ottimo”.

“Sono venti, non me ne aspettavo così tante!”.

“Bè, alcune coppie potrebbero essere uguali”.

“Ma no, sono tutte composte da numeri diversi!”.

“Intendevo dire che potrebbero rappresentare lo stesso numero”.

“Ah. Uhm. No, non ho ben capito. Come è possibile?”.

“Allora, distinguiamo due concetti: due numeri si dicono identici se i loro insiemi di sinistra e di destra contengono gli stessi elementi”.

“E, in questa lista, di numeri identici non ce ne sono, vero?”.

“Perfetto”.

“E quand'è che due numeri si dicono uguali?”.

“Due numeri x e y sono uguali se x ≤ y e y ≤ x”.

“Ah! Ora ho capito: potrebbero esistere modi diversi per scrivere lo stesso numero”.

“Esatto”.

“E dobbiamo provare tutte le possibili combinazioni? Mi sembra un po' noioso, soprattutto pensando a quello che può succedere durante il terzo giorno”.

“Hai ragione: per questo faremo una prova, e poi cercheremo di ricavare una regola generale”.