Su un particolare insieme numerico - costruzione dei numeri complessi

“Ora che sono stati definiti i numeri reali, le cose tornano ad essere facili. I numeri complessi possono essere definiti in modo molto semplice, per esempio”.

“Oh, bene. Anche qua si può usare il trucchetto?”.

“Sì, basta che ti ricordi come funzionano i numeri complessi”.

“Ricordo che un numero complesso si può scrivere nella forma a+ib, dove a e b sono numeri reali, e i è la radice di -1”.

“Quale radice?”.

“Come quale? Quante ce ne sono?”.

“Dimmi tu: quanti sono i numeri che elevati al quadrato danno come risultato -1?”.

“Uhm, intendi i e -i?”.

“Sì. Quale dei due è la radice di -1?”.

“Non è i?”.

“E non potrebbe essere -i?”.

“Boh, penso di sì”.

“Allora non è proprio corretto dire che i è la radice di -1”.

“Cos'è, una sottigliezza da Vero Matematico?”.

“Già: i è uno dei due numeri che, elevato al quadrato, dà come risultato -1. Ne esiste anche un altro, che è -i, indistinguibile dal primo”.

“In che senso, indistinguibile? Uno è positivo, l'altro è negativo, no?”.

“Assolutamente no, non esistono numeri complessi positivi o negativi (per la gioia degli studenti non esistono quindi le disequazioni tra numeri complessi)”.

“Ma come? E allora, quel segno negativo messo davanti a -i?”.

“È solo un modo per distinguere +i da -i, ma non dobbiamo pensare che uno dei due numeri sia privilegiato rispetto all'altro. L'unico modo per definire quei due numeri è l'equazione x²+1=0, la quale ha due soluzioni immaginarie, che sono +i e -i”.

“Mah, va bene, prendo atto di questa faccenda. Comunque posso continuare a usare i segni davanti a i, per distinguere i due numeri?”.

“Certo, certo. Esistono due numeri che elevati al quadrato danno -1, e per distinguerli li indichiamo con +i e -i, ma se li avessimo indicati con -i e +i non sarebbe cambiato nulla: sono sempre loro due”.

“Va bene. Allora, possiamo tornare alla definizione di numero complesso?”.

“Sì, hai detto che è un numero fatto così: a+ib”.

“Infatti. Ora come costruisco l'insieme dei numeri complessi?”.

“Semplice: è l'insieme delle coppie di numeri reali (a,b)”.

“Tutto qua?”.

“Tutto qua. Il prodotto cartesiano R×R è l'insieme C dei numeri complessi. Invece di scrivere a+ib puoi scrivere (a,b)”.

“Mi pare troppo facile”.

“Naturalmente dobbiamo definire le operazioni”.

“Ah, ecco”.

“Ma qua puoi usare il trucchetto: fai prima le operazioni con la notazione solita, poi trasforma le formule utilizzando il linguaggio delle coppie”.

“D'accordo. Allora, la somma di due numeri complessi dovrebbe essere questa:”.

(a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d).

“Ottimo. Come diventa nella nuova notazione?”.

“Diventa (a,b) + (c,d) = (a+c,b+d)”.

“Benissimo, questa è la somma. Ora prova il prodotto”.

“Allora, (a+ib)(c+id) = ac-bd+i(ad+bc)”.

“Bene. Trasforma anche questa, adesso”.

“Uhm, ecco: (a,b)(c,d) = (ac-bd,ad+bc)”.

“Ecco fatto”.

“Tutto qua?”.

“Sì, molto facile. Fai una prova: come diventa i, nella notazione con le coppie?”.

“i da solo?”.

“Sì”.

“Uhm, non ha parte reale, quindi dovrebbe essere (0,1)”.

“Bene, utilizzando la regola della moltiplicazione, calcola i²”.

“Ecco: i² = (0,1)(0,1) = (0-1,0+0) = (-1,0). Ehi, ma questo è -1, funziona!”.

“Avevi dei dubbi?”.

“Mah, a volte ho l'impressione che voi Veri Matematici confidiate molto sul fatto che tanto nessuno va mai a controllare”.

“Comunque sia, l'insieme dei numeri complessi è stato ben definito, e ha anche alcune interessanti proprietà”.

“Quali?”.

“Per esempio, è un insieme algebricamente chiuso”.

“Cosa significa?”.

“Significa che qualunque polinomio in una variabile di grado maggiore o uguale a 1, a coefficienti in C, ha una radice in C”.

“Mmmh, puoi espandere un po' il concetto?”.

“Tutte le equazioni polinomiali hanno almeno una soluzione in C”.

“Ah”.

“E dato che, appena trovi una soluzione di un'equazione di grado n, puoi abbassare di 1 il grado dell'equazione, ti rimane una nuova equazione di grado n-1. Anch'essa ha almeno una soluzione in C”.

“Ah. Quindi posso andare avanti fino a che non arrivo a un'equazione di primo grado?”.

“Sì. In pratica ogni equazione polinomiale di grado n a coefficienti in C ha sempre n soluzioni in C”.

“Bé, bello. Non esistono le equazioni impossibili”.

“Esatto. Questo risultato prende il nome di teorema fondamentale dell'algebra”.

“Ah. E lo dimostriamo?”.

“No, no. In realtà avevo pensato di non parlare proprio dei numeri complessi”.

“E perché?”.

“Perché il mio problema era fare vedere come si riempie la retta dei numeri, e per questo sono sufficienti i numeri reali. I numeri complessi sono solo due rette messe in croce”.

“Ehm, questa non mi sembra una definizione da Vero Matematico”.

“No, infatti, hai ragione”.

“Ma se non volevi parlare dei numeri complessi, che intenzioni avevi?”.

“Volevo ricominciare tutto da capo”.