Su un particolare insieme numerico - simplicity theorem

“Tornato dalle vacanze?”.

“Eh, sì, perché?”.

“È da un po' che non parli di numeri surreali”.

“Sì, è vero. Ora possiamo ripartire, anche se...”.

“Anche se?”.

“Non so bene come proseguire: se perseguire la rigorosità addormentando i miei due lettori, oppure se semplificare un po' le dimostrazioni”.

“In effetti le dimostrazioni sono noiosine, più o meno seguono sempre la stessa strada, e con la faccenda delle definizioni induttive ci si perde un po'”.

“Ecco, vedi? Quindi pensavo di riassumere un po' le cose per arrivare alla parte interessante”.

“Che sarebbe?”.

“Quella con gli infiniti e infinitesimi”.

“Uh, quella mi piace”.

“Eh, immagino. Quindi, vediamo di parlare del teorema che semplifica un po' la costruzione dei numeri, in modo da arrivare poi agli infiniti in tempi decenti”.

“Va bene, cosa semplifichiamo?”.

“Te lo spiego subito; partiamo da questa domanda: cosa rappresenta il numero {0|3}?”.

“Abbiamo detto che è un numero compreso tra 0 e 3”.

“Giusto, ma non basta”.

“Sarà 1+1/2?”.

“Questa sarebbe una risposta logica, ma è sbagliata”.

“Ahia”.

“Saltiamo la dimostrazione, ma con le nostre conoscenze è facile dimostrare che {0|3} è uguale a 1”.

“Ok, mi fido, ma non mi piace molto come risposta”.

“Perché?”.

“Perché non la capisco: come mai proprio 1?”.

“Qui entra in gioco il simplicity theorem”.

“Perché usi l'inglese?”.

“Perché non so bene come tradurre il termine: teorema di semplicità non mi piace per niente”.

“Va bene, sentiamo cosa dice questo teorema”.

“Dice questo: se tu hai un numero x = {x_L|x_R} tale che esiste un altro numero z strettamente compreso tra x_L e x_R, ma nessun elemento di z soddisfa alla stessa proprietà, allora x = z”.

“Chiamala semplicità...”.

“Eh, lo so, ma se provi a capire quello che dice, poi ti rendi conto che, effettivamente, semplifica”.

“Dai, proviamo a capire allora”.

“Come x prendiamo proprio il nostro numero {0|3}”.

“Va bene. Come z dovremmo prendere un numero compreso tra 0 e 3. Possiamo prendere 1 oppure 2?”.

“O anche la tua proposta 1+1/2”.

“Ah, giusto. Allora, per tutti e tre è vero che essi sono compresi tra 0 e 3”.

“Ok. Ora, però, bisogna verificare che questo non vale anche per gli elementi che li compongono”.

“Allora, provo con la mia proposta, 1+1/2. Abbiamo detto che è uguale a {1|2}... ah, non va bene, sia 1 che 2 sono compresi tra 0 e 3, quindi le ipotesi del tuo teorema di semplicità non si applicano”.

“Giusto. Se provi con 2={1|} ti rendi conto che quelle ipotesi non si applicano nemmeno ad esso”.

“Ah, certo, 1 è compreso tra 0 e 3. Rimane, come candidato, 1, che è uguale a {0|}. Ah! In questo caso è vero che nessun elemento di 1 è compreso strettamente tra 0 e 3”.

“Esatto, e quindi in questo caso il teorema è vero, e {0|3} è uguale a 1”.

“Ho capito. Cioè, ho capito quello che abbiamo fatto, ma non ho ben capito come possiamo applicare questo teorema ai nostri conti”.

“Pensaci bene: secondo il teorema z gode di una certa proprietà, ma i suoi componenti no; quindi z è il numero più vecchio che gode di quella proprietà”.

“Uhh, comincio a capire...”.

“Se vogliamo capire quale numero è uguale a un certo numero {a,b}, dobbiamo prendere il più vecchio numero strettamente compreso tra a e b”.

“E se quel numero non esiste?”.

“Allora siamo di fronte a un nuovo numero”.

“Ma allora, quell'elenco di numeri creati il secondo giorno può essere semplificato ancora, grazie a queste considerazioni”.

“Esatto. Prova a farlo”.

“Ecco qua:”.

{|} = {-1|1} = {-1|} = {|1} = 0
{-1,0|} = {0|} = 1
{-1,1|} = {0,1|}= {-1,0,1|} = {1|} = 2
{|-1,1} = {|-1,0} = {|-1,0,1}= {|-1} = -2
{|0,1} = {|0} = -1
{-1|0,1} = {-1|0} = -1/2
{-1,0|1} = {0|1} = 1/2

“Perfetto: 7 numeri”.

“Senti, ma questo simplicity theorem è difficile da dimostrare?”.

“Non riesci a stare senza dimostrazioni, eh?”.

“Mah, no, ci starei anche, ma mi dispiace un po'... Mi rendo conto che è un teorema importante”.

“Te lo dimostro in una versione semplice, quella che usa solo numeri. Ne esiste anche una versione in cui x è un generico gioco, più complicata da esporre perché per i giochi l'ordinamento non è totale”.

“Va bene, accetto la semplificazione del teorema di semplicità”.

“Allora, vogliamo dimostrare che x = z, dove z è un numero con le proprietà descritte sopra. Vediamo per prima cosa che z ≤ x. Questo è vero a meno che x_R non sia minore o uguale di z (no, z è minore di x_R per ipotesi) oppure z_L non sia maggiore o uguale di x. Questo non possiamo saperlo, ma se x ≤ z_L potremmo scrivere questa catena di disuguaglianze:”.

x_L < x ≤ z_L < z < x_R.

“Eh, ehm, allora?”.

“E allora z_L sarebbe compreso tra x_L e x_R, contraddicendo le ipotesi che affermano che nessun componente di z gode delle stesse proprietà di cui gode z”.

“Bello”.

“Con questo possiamo capire bene come funziona la generazione dei numeri, ed arrivare all'infinito abbastanza in fretta”.