Su un particolare insieme numerico - frazioni diadiche

“Insomma, i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno sono meno di quello che mi aspettavo”.

“Sì, è vero, esistono molti modi diversi per descrivere lo stesso numero: il teorema di semplificazione ci aiuta molto”.

“E quindi, alla fine, quanti nuovi numeri ci saranno ogni giorno? Si riesce a capire?”.

“Sì, certo. Le cose stanno così; supponi che dopo un certo numero di giorni siano stati creati m numeri:”.

x₁ < x₂ < … < x_m

“Ok. Il giorno dopo che succede?”.

“Il giorno dopo saranno creati questi numeri:”.

{|x₁}, {x₁|x₂}, {x_m-1|x_m}, {x_m|}.

“Ah. Ogni altra possibile combinazione è quindi uguale a una di queste?”.

“Sì, è il teorema di semplificazione che ce lo dice. Per esempio, {x₁|x₃} è uguale al numero più anziano compreso tra x₁ e x₃”.

“Che in questo caso è x₂”.

“Sì, perché c'è solo lui. In altri casi più complicati bisogna proprio controllare l'anzianità dei numeri compresi, e scegliere il più vecchio”.

“Quindi il giorno 1 abbiamo un solo numero, lo zero. Il giorno 2 abbiamo lo 0, +1 e -1, il giorno 3 abbiamo 0, +1/2, +1, +2, -1/2, -1, -2”.

“E, in generale, il giorno n abbiamo 2ⁿ-1 numeri”.

“Ho capito. Ma i nuovi numeri che vengono generati ogni giorno che forma hanno? C'è una legge che ci dice quali sono questi nuovi numeri?”.

“Sì. Ogni giorno vengono creati due nuovi numeri interi, che sono quelli che nella lista abbiamo indicato con {|x₁} e {x_m|}”.

“Bene, questi li avevo capiti. Per esempio, 1 = {0|}, 2 = {1|}, 3 = {2|}, e così via”.

“Esatto. Gli altri, quelli che genericamente abbiamo indicato con {x_i-1|x_i}, sono uguali alla media tra x_i-1 e x_i”.

“Ah, ecco come funziona! Quindi, per fare un esempio, {1/2|3/4} dovrebbe essere uguale a 5/8”.

“Proprio così. Riassumendo, ogni giorno vengono creati nuovi numeri interi e nuove frazioni il cui denominatore è una potenza di 2. Sono quelle che vengono chiamate frazioni diadiche”.

“Ma allora non vengono creati tutti i numeri reali. Anzi, non vengono creati nemmeno tutti i numeri razionali! Per esempio, il semplice 1/3 non fa parte di questa lista”.

“Esatto: i numeri reali non vengono creati dopo un tempo finito”.