I greci non erano normali — 5: risoluzione di un'equazione di secondo grado con riga e compasso

«Un'equazione di secondo grado di solito si scrive così:».

ax² + bx + c = 0.

«Sì, questo l'ho studiato in seconda superiore».

«Una equazione di questo tipo, quindi, è determinata da tre parametri: i coefficienti a, b e c. Dato che però è uguagliata a zero, possiamo dividere tutto per a e semplificarla un po'».

«Sì, è vero, dopo rimangono solo due coefficienti. Però sono delle frazioni, mi piace di meno».

«Bé, questo non è un problema. Possiamo usare una delle tecniche preferite dai Veri Matematici».

«Quale?».

«Cambiare nome alle cose per farle sembrare più semplici».

«Ah».

«In questo caso, la nostra equazione potrebbe essere scritta così:».

x² - Sx + P = 0.

«Perché proprio S e P?».

«Perché se passa per caso di qua qualcuno che si ricorda la relazione tra le radici e i coefficienti di un'equazione di secondo grado, si ritrova. Se risolvi l'equazione, ottieni che S è uguale alla somma delle soluzioni, mentre P è uguale al loro prodotto».

«Uh, è vero, è un'altra di quelle cose su cui il prof insisteva».

«Eh, infatti. Comunque, andiamo avanti. Ora consideriamo, sul piano cartesiano, i punti A(0,1) e B(S,P), poi costruiamo la circonferenza avente diametro AB».

«Va bene, questo con riga e compasso si fa senza problemi».

«Proviamo a calcolare la sua equazione?».

«Proviamo. Allora, il centro è il punto medio del segmento AB, quindi dovrebbe avere coordinate uguali a S/2 e (P+1)/2».

«Esatto, chiamiamolo C».

«Il raggio è uguale alla distanza AC».

«Sì, e risulta la radice quadrata di S²/4 + (P-1)²/4».

«Bleah».

«Sì, non è un gran che. Ora, l'equazione della circonferenza diventa questa:».

«Sempre peggio».

«Eh, lo so, ma c'è poco da fare. Comunque ormai abbiamo finito: se poni y = 0, in modo da trovare le intersezioni con l'asse delle x, ottieni proprio le soluzioni della equazione iniziale».

«Mh, mi sono perso. Alla fine a cosa sono serviti questi calcoli?».

«A spiegare questa figura: le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono i punti di intersezione della circonferenza con l'asse delle x. Usando riga e compasso fai in un attimo».