I greci non erano normali — 6: campi

Punto della situazione: i greci sapevano sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere, elevare al quadrato ed estrarre la radice quadrata.

«Utilizzando riga e compasso».

«Esattamente. Ora trasferiamo il tutto nel linguaggio algebrico. Se, in geometria, fissiamo una unità di misura, in algebra diciamo semplicemente che prendiamo il numero 1».

«E da lì cominciamo a fare operazioni?».

«Sì. Se noi cominciamo a creare numeri sommando, e abbiamo a disposizione come mattone iniziale il numero 1, cosa possiamo costruire?».

«Tutti i numeri naturali».

«Bene. Anche se cominciamo a fare sottrazioni?».

«No».

«Perché?».

«Bé, per esempio 1-3 non è un numero naturale».

«Benissimo. Quindi l'insieme dei numeri naturali non è chiuso rispetto alla sottrazione. Se noi allora cominciamo a sommare e sottrarre tutto ciò che otteniamo, quale sarà l'insieme che conterrà tutti i nostri risultati?».

«Quello dei numeri interi».

«Perfetto. Se moltiplichiamo?».

«Se moltiplichiamo utilizzando solo il numero 1, rimaniamo nei naturali. Se però usiamo anche i numeri negativi, siamo all'interno dell'insieme dei numeri interi».

«E dividendo?».

«Ah, dividendo usciamo da quell'insieme. Potremmo creare anche le frazioni».

«Sì, è vero. Qual è, quindi, l'insieme che contiene tutti i possibili risultati che si possono ottenere applicando al numero 1 le quattro operazioni?».

«L'insieme dei numeri razionali».

«Bene. I Veri Matematici dicono che l'insieme dei razionali è un campo».

«Campo?».

«Campo. In parole povere, significa quello che abbiamo appena detto. Dato però che i Veri Matematici vanno matti per le definizioni più stringate possibili, posso anticiparti che la definizione rigorosa di campo è quasi incomprensibile, a prima vista».

«Capirai».

«La definizione è questa: un campo è una struttura algebrica K dotata di due operazioni binarie, chiamate somma e moltiplicazione, tale che K, assieme alla somma, è un gruppo abeliano con elemento neutro 0, mentre K-{0}, assieme al prodotto, è un gruppo abeliano con elemento neutro 1, e infine la moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma».

«Non ho capito quasi niente, se non che ci sono due operazioni, quando invece noi ne abbiamo quattro».

«Ti ho pur detto che la definizione è la più stringata possibile, no? All'interno della definizione di gruppo è prevista l'esistenza di un elemento inverso, che ci permette di risparmiare le parole sottrazione e divisione».

«Roba da matti. E un gruppo abeliano cosa sarebbe?».

«Un gruppo è una struttura algebrica più semplice, dotata di una operazione sola, la quale gode di alcune proprietà che sono il minimo sindacale, se si vuole costruire una struttura che funzioni in modo decente».

«Quali sono queste proprietà?».

«L'operazione deve godere della proprietà associativa, deve esistere l'elemento neutro, e deve esistere l'inverso. La parola abeliano significa che vale anche la proprietà commutativa».

«Mh, vabbé, mi sembrano proprietà ragionevoli».

«Ma sì, il prototipo di campo è proprio l'insieme dei numeri razionali. Un campo gode di tutte quelle belle proprietà a cui siamo abituati».

«Va bene, ho capito. Mi sfugge però il senso di quello che stiamo facendo: tutto questo discorso servirebbe per dire che…?».

«Che, utilizzando riga e compasso, riusciamo a costruire almeno tutti i razionali».

«Almeno? Ah, già, è vero: con riga e compasso si possono anche fare quadrati e radici quadrate. Cambia molto?».

«Per quanto riguarda i quadrati, non cambia nulla: un quadrato puoi sempre vederlo come prodotto di un numero per sé stesso».

«E per quanto riguarda le radici?».

«Bella domanda».