mercoledì 20 luglio 2011

I greci non erano normali — 11: la quadratura dei poligoni

«I greci erano in grado di costruire un quadrato equivalente a un qualunque poligono dato».

«Indipendentemente dal numero dei lati del poligono?».

«Sì, con un procedimento molto bello e generale».

«Mh, interessante».

«Tutto è basato sul fatto che triangoli aventi la stessa base e la stessa altezza sono equivalenti».

«Cioè hanno la stessa area?».

«Sì, anche se il concetto di equivalenza è un po' più astratto. Quando parli di area, usi i numeri, quando parli di equivalenza no».

«E cosa uso?».

«Niente. Cioè, usi il concetto di avere la stessa estensione, occupare la stessa superficie. Un concetto che, senza numeri, non è ulteriormente definibile. Negli Elementi di Euclide è un concetto primitivo, cioè non ulteriormente definibile. Ma se vuoi parlare di area, va benissimo».

«Sì, ho parlato di area perché mi è venuto in mente che l'area di un triangolo dipende proprio solo dalla base e dall'altezza».

«Infatti, è così, la formula per il calcolo dell'area di un triangolo funziona proprio perché tutti i triangoli aventi stessa base e stessa altezza sono equivalenti, e quindi l'area è sempre quella».

«Va bene. Vediamo questo procedimento, allora».

«Ecco qua, prendiamo un poligono qualsiasi, composto da un certo numero di lati. In questa figura, ne prendiamo cinque».



«Ok, un pentagono irregolare. Adesso?».

«Adesso scegliamo due vertici non adiacenti, ma tali che se percorriamo il bordo della figura, ci sia un solo vertice tra i due».

«Per esempio A e C?».

«Esatto: tra A e C abbiamo solo il vertice B. Congiungiamo A con C e, a partire da B, tracciamo una parallela ad AC».



«Ok, fin qua ci sono. So che con riga e compasso si riesce a tracciare una parallela a una retta data».

«Infatti. Ora prolunghiamo il lato DC verso C, fino ad incontrare la retta che abbiamo tracciato prima. Chiamiamo F il punto di intersezione».



«Ok, adesso?».

«Adesso abbiamo finito: il poligono AFDE è equivalente al precedente».

«Perché?».

«Perché i due triangoli ABC e AFC hanno la stessa base e la stessa altezza, mentre la parte composta dal poligono ACDE non è stata toccata dalla nostra costruzione».

«Ah, ecco. Sì, è vero, ma perché dici che abbiamo finito?».

«Perché questo è il procedimento: siamo partiti dal poligono ABCDE, cinque lati, e siamo arrivati al poligono AFDE, quattro lati».

«Ah! Quindi possiamo partire da un poligono di n lati, e arrivare a un poligono di n-1 lati».

«Certo, poi possiamo proseguire così fino ad arrivare a un poligono di tre lati, cioè un triangolo. E lì ci fermiamo».

«Bene, ci sono. Cioè, no, non avevi detto che dovevamo costruire un quadrato?».

«Sì, è vero. Per ora abbiamo ricondotto tutti i poligoni ai triangoli, e questo è già un passo notevole. Ora ricordati che puoi ricondurre un triangolo a un parallelogramma».

«Mmmh?».

«Guarda questa figura:».



«Ah, vedo. Però è un parallelogramma grande il doppio del triangolo».

«Esatto, poi ci ricorderemo di dividerlo a metà, ma non sarà un problema. Ora facciamo un passo avanti: ogni parallelogramma è equivalente a un rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza, giusto?».

«Giusto, è una proprietà dei parallelogrammi».

«E anche il rettangolo è un parallelogramma. Quindi il nostro triangolo sarà equivalente a un rettangolo avente per base metà della base del triangolo, e la stessa altezza».

«Oppure la stessa base e altezza metà».

«Esatto. Quindi, riassumendo, per ora siamo in grado di passare da qualunque poligono a un rettangolo».

«Giusto. Rimane il passaggio da rettangolo a quadrato».

«Che possiamo fare utilizzando il secondo teorema di Euclide, che avevamo anche già usato in precedenza per estrarre la radice quadrata».

«Vediamo, in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa».

«Esatto. Eccoti la figura:».



«Uh, fammi capire».

«Partiamo dal rettangolo blu».

«Ok».

«Riportiamo l'altezza BC lungo il lato DC».

«Ok, lo facciamo col compasso».

«Esatto. Poi costruiamo la semicirconferenza di diametro DF».

«Sempre col compasso».

«Naturalmente. Ora troviamo il punto di intersezione della retta BC con la semicirconferenza, e abbiamo il triangolo rettangolo al quale applicare il teorema di Euclide».

«Il triangolo DFG. Se applico il teorema, risulta che CG2 = DC·CF».

«Proprio così. Quindi il quadrato rosso è equivalente al rettangolo blu».

«Ah, ottimo. Quindi tutti i poligoni sono riconducibili a quadrati: molto bello».

«E così i greci erano a posto. Il passo successivo è stato quello di fare lo stesso giochino con la più semplice figura con i lati curvi, cioè la circonferenza».

«E ci sono riusciti?».

«No».

3 commenti:

lucus ha detto...

molto chiaro...è tratto da qualche libro questo passo scritto come una chiacchierata tra due amici(e quindi molto efficace)?

zar ha detto...

No, la chiacchierata è opera mia... (l'argomento in sé si trova su molti libri, naturalmente)

Anonimo ha detto...

capisco...in matematica conta molto il modo in cui la si spiega... Complimenti ;)