«Dicci, Sommo Matematico!».
«Siamo o non siamo i maestri della geometria?».
«Sììì!».
«Siamo noi in grado di realizzare costruzioni mirabolanti con riga e compasso?».
«Sììì!».
«Siamo noi i maestri della dimostrazione? Gli alfieri della logica? Abili scopritori dei segreti matematici?».
«Sììì, lo siamo!».
«Siamo noi in grado di prendere un angolo, e di dividerlo a metà?».
«Sììì!».
«E allora, cosa ci vuole a dividerlo in tre parti? Coraggio!».
«…».
«Perché non rispondete?».
«Eehhm».
«Cosa?».
«Non siam capaci».
«Vergogna! Venite, ragioniamo ancora un po' su queste dimostrazioni, portate nuove righe, portate altri compassi! Appuntite quelle matite! Coraggio, costruiamo!».
«Ci sono riusciti?».
«Eh, no, ».
«Non c'erano mica tanto con la testa, eh».
«Eh, magari erano ancora sotto gli effetti dell'epidemia che li aveva colpiti ai tempi della duplicazione del cubo».
«Ma smettila… Quindi anche questo è uno dei problemi irrisolvibili con riga e compasso, eh?».
«Già. Tagliare a metà un angolo è facile, in tre impossibile, anche se la dimostrazione è un po' più complicata rispetto a quella della duplicazione del cubo».
«Vediamo, vah».
«Va bene. Partiamo da questa formula di trigonometria:».
cos(3α) = 4cos3α - 3cosα.
«Mi fido».
«Ora consideriamo un angolo di 60 gradi, e lo sostituiamo al posto di 3α».
«Ok, quindi α sarebbe 20 gradi».
«Esatto».
«Ecco, dovrebbe essere così:».
cos(60°) = 4cos3(20°) - 3cos(20°).
«Bene, ricordati che il coseno di 60 gradi è noto, vale 1/2».
«Ah, già».
«Ora applica questa sostituzione: x = 2cos20°».
«Uh, ok. Diventa così: 1/2 = x3/2- 3x/2».
«E, se moltiplichiamo tutto per 2 e portiamo da una parte, otteniamo questa equazione:».
x3 - 3x - 1 = 0.
«Dobbiamo risolverla?».
«Sì, e dobbiamo capire se il risultato è un numero costruibile con riga e compasso».
«Ah, ma sappiamo risolvere un'equazione di terzo grado?».
«Sì, le formule sono note, ma non sempre sono utili».
«Perché?».
«Perché a volte usano numeri immaginari anche quando le soluzioni sono reali, e allora il risultato potrebbe essere poco chiaro ed evidente».
«Eh?».
«Guarda, se applichiamo la formula risolutiva (possiamo farlo fare a wolfram alpha, dato che siamo pigri), otteniamo queste bellezze:».
«Argh!».
«Ma, se facciamo i conti, otteniamo questi tre numerini:».
x1 = -1.53209…
x2 = -0.347296…
x3 = 1.87939…
«Ah, ora capisco cosa intendi con risultato poco chiaro ed evidente. Così è meglio».
«Così è meglio, sì, ma ancora non sappiamo rispondere alla domanda iniziale: possiamo trisecare l'angolo?».
«Allora, un momento, fammi fare il punto: abbiamo scritto un'equazione valida per tutti gli angoli α».
«Giusto».
«Poi abbiamo sostituito α con 20 gradi».
«Sì».
«Abbiamo quindi una equazione valida in particolare per l'angolo di 20 gradi».
«Giusto anche questo».
«Poi abbiamo fatto una sostituzione, ed è sparito l'angolo α, mentre è comparso x».
«Sì. Tieni presente che x è legato all'angolo α, in realtà x è il doppio del coseno di 20 gradi. Tieni anche presente che se sappiamo costruire un angolo, allora sappiamo anche costruire il suo coseno, e viceversa. Sono costruzioni facilissime da fare con riga e compasso».
«Va bene. Quindi, dobbiamo capire se x è costruibile?».
«Esatto. Noi abbiamo elencato tre soluzioni dell'equazione di terzo grado, in realtà quella che ci interessa è quella positiva, perché il coseno di 20 gradi è un numero positivo».
«Va bene. Come facciamo allora a sapere se è costruibile?».
«Ecco, qua viene il difficile. Per prima cosa, si usa questo teorema: se una equazione di terzo grado ha una radice razionale, allora le sue radici sono costruibili. Altrimenti nessuna delle radici è costruibile».
«Ah. E questa è difficile da dimostrare?».
«Non è difficile, ma è noiosa. Non ti spiego tutta la dimostrazione, ma cerco di farti capire come funziona. La formula risolutiva generale per le equazioni di terzo grado contiene delle radici cubiche…».
«Che a noi non piacciono».
«Se non si semplificano, no, infatti. Allora, se una delle soluzioni è razionale, allora l'equazione di terzo grado si abbassa di grado facilmente e si ottiene un'equazione di secondo grado».
«Che noi sappiamo costruire».
«Esatto».
«Se invece l'equazione di terzo grado non ha una soluzione razionale, allora quelle radici cubiche rimangono, e non si semplificano».
«Va bene. Quindi a noi rimane da capire se la nostra equazione ammette una soluzione razionale?».
«Esatto. Supponiamo che esista questa benedetta soluzione, chiamiamola x = a/b, con a e b numeri interi, primi tra loro, e naturalmente b diverso da zero».
«Ok. Suppongo che tu stia facendo una dimostrazione per assurdo, vero?».
«Esatto. Prova a sostituire quindi x = a/b nell'equazione».
«Pronti: (a3/b3) - (3a/b) - 1 = 0».
«Bene. Eliminando i denominatori, abbiamo a3 - 3ab2 = b3, cioè b3 = a(a2 - 3b2)».
«E questo cosa ci dice?».
«Ci dice che a divide b3. Dato però che a e b sono primi tra loro, allora a deve essere uguale a +1 oppure a -1».
«Capisco».
«Ma possiamo anche scrivere l'uguaglianza precedente in modo diverso: a3 = b2(b + 3ab)».
«Quindi b2 divide a3, giusto?».
«Certo, e questo significa che anche b è uguale a +1 oppure a -1. Ma allora se la nostra equazione ammette una soluzione razionale, questa deve essere +1 oppure -1».
«E ci basta sostituire per capire che non è vero».
«Esatto. Quindi niente soluzioni razionali, niente costruibilità con riga e compasso per il coseno di 20 gradi. Quindi abbiamo trovato almeno un angolo che non è divisibile in tre parti uguali».
«Nonostante gli sforzi dei poveri greci».
5 commenti:
«Uh, ok. Diventa così: 1/2 = x3- 3x/2».
Non ci dovrebbe essere un 2 a dividere x al cubo? Tanto più che quando moltiplichi per 2 lo semplifichi.
Sì, ho corretto, a scrivere formule in html a volte si perde qualcosa per strada...
che mal di testa! :PP
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