I greci, quindi, potevano fare costruzioni geometriche che richiedevano un numero finito di somme, sottrazioni, moltiplicazioni, divisioni, quadrati e radici quadrate. Ma non erano in grado di dire se un qualunque problema fosse risolubile o no con riga e compasso.
«Perché?».
«Eh, dato un certo problema, se erano in grado di risolverlo con riga e compasso, bene. Ma se non ci riuscivano?».
«Allora il problema non era risolubile con riga e compasso».
«Eh, non è mica detto. O davvero non era risolubile, oppure loro non avevano ancora trovato il modo di farlo».
«Ah. E quindi?».
«E quindi i greci ci hanno lasciato alcuni problemi che loro non erano stati capaci di risolvere».
«E noi ci siamo riusciti?».
«No, ma abbiamo fatto di più. Abbiamo dimostrato che è impossibile risolverli utilizzando solo riga e compasso».
«Saranno problemi complicatissimi».
«No, sono molto semplici. Spesso i problemi più difficili hanno enunciati molto semplici. Ad esempio, costruire un angolo uguale a un terzo di un dato angolo».
«È un enunciato molto semplice, in effetti».
«Oppure costruire un quadrato avente superficie uguale a quella di un cerchio dato. O ancora, costruire un cubo avente volume doppio di quello di un altro cubo».
«Facili anche questi. E quindi adesso siamo in grado di capire quali problemi sono risolubili con riga e compasso, e quali non lo sono?».
«Sì».
«E come si fa a capirlo?».
«Serve uno strumento che i greci non avevano: la geometria analitica».
«Ah. Trasformiamo tutto in equazioni, quindi?».
«Esatto. Riconsideriamo le operazioni di base che si possono fare con riga e compasso, e le traduciamo in formule. Poi ci ragioniamo su».
«Allora, vediamo. Con la riga si può tracciare una retta passante per due punti».
«Bene. Se noi utilizziamo il piano cartesiano, ad ogni punto possiamo associare le sue coordinate. Quindi, dati due punti A(xA,yA) e B(xB,yB), siamo capaci di scrivere l'equazione della retta che passa per questi punti?».
«Sì, direi di sì, l'ho imparato a scuola. Ci sono vari modi, se ben ricordo».
«Sì, la formula più generale, quella che non ha casi particolari e che non distingue tra rette verticali, orizzontali o oblique, è questa:».
x(yB-yA) - y(xB-xA) - xAyB + yAxB = 0.
«Bruttina».
«Eh, sì, ma non importa, non dobbiamo fare dei gran calcoli. Dobbiamo solo capire quello che si può e quello che non si può fare».
«Va bene, allora così abbiamo messo a posto la riga. Passiamo al compasso?».
«Sì, col compasso si può costruire una circonferenza dati il centro e il raggio. Come si fa in geometria analitica?».
«Ah, questa era una domanda classica a scuola. Allora, l'equazione della circonferenza dati centro e raggio è questa:».
(x-xC)2 + (y-yC)2 = R2.
«Esatto, è proprio quella».
«Quindi siamo a posto».
«No, ancora no. Con riga e compasso si possono fare altre cose».
«Che cosa?».
«Trovare le intersezioni tra gli oggetti che abbiamo disegnato».
«Ah, è vero. Però è facile: per trovare l'intersezione tra due rette, occorre mettere a sistema le equazioni delle due rette».
«Sì, e si ottiene un sistema di primo grado, che sappiamo risolvere senza problemi».
«Sì, lo so fare. Se intersechiamo una retta e una circonferenza, abbiamo un sistema di secondo grado».
«E anche quello è semplice, sappiamo risolverlo, no?».
«Sì, conosco la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado. Ma allora, se vogliamo trovare l'intersezione tra due circonferenze, dovremmo risolvere un sistema di quarto grado? Quella formula non la so».
«Sì, il sistema sarebbe di quarto grado. Ma si riduce sempre a un sistema di secondo grado».
«E come si fa?».
«Se tu svolgi le equazioni delle due circonferenze di cui vuoi calcolare l'intersezione, ti accorgi che hai sempre due termini uguali, che sono x2 e y2».
«E che sono anche gli unici termini di secondo grado».
«Esatto. Se tu sottrai membro a membro le equazioni di secondo grado, quei termini lì spariscono, si cancellano».
«E rimango con un'equazione di primo grado».
«Proprio così. Allora prendi quella equazione, la metti a sistema con una delle due circonferenze, ed ecco fatto, hai un sistema di secondo grado che sai risolvere».
«Mh, interessante. Quindi, riassumendo…».
«Riassumendo: le costruzioni con riga e compasso si traducono in operazioni con equazioni di primo oppure di secondo grado».
«Vale anche il viceversa? Tutte le operazioni con equazioni di primo e secondo grado sono fattibili con riga e compasso?».
«Abbiamo praticamente già risposto: per risolvere una equazione di primo grado, è sufficiente sapere calcolare somme, sottrazioni, prodotti e divisioni. Per quelle di secondo grado servono anche quadrati e radici quadrate. Quindi, sì, la risposta è sì».
«Però costruire le soluzioni di un'equazione di secondo grado diventa complicato. Devo procedere passo passo, ricalcando la formula che non è proprio semplicissima».
«Giusto. In linea di principio è possibile costruirle, e tanto ci basta. Ma possiamo farlo anche in modo più immediato: la prossima volta lo vediamo».
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