«E siamo arrivati al terzo periodo, quello che conclude la storia del pi greco».
«Siamo oltre l'analisi?».
«Bé, non oltre, ma ora l'analisi viene usata in maniera più approfondita. Partiamo da Hermite, che nel 1873 dimostrò che e è un numero trascendente».
«Eh? Cosa sarebbe?».
«Un numero è trascendente se non è soluzione di una equazione polinomiale a coefficienti interi».
«Di qualunque grado?».
«Già. La radice cubica di 2, per esempio, non è trascendente, perché è soluzione di x3 = 2».
«Ok. E se un numero non è trascendente, cosa è?».
«Un numero che non è trascendente si dice algebrico. I numeri reali vengono divisi in queste due grandi categorie; naturalmente i numeri razionali sono tutti algebrici, possiamo sempre scrivere un'equazione a coefficienti interi che abbia come soluzione una frazione del tipo n/d».
«Sì, è vero. Per esempio, dx = n».
«Infatti. Perciò la distinzione tra algebrico e trascendente diventa interessante quando parliamo di numeri irrazionali».
«Va bene, Il fatto che e sia trascendente cosa ha a che fare con π?».
«Eh, ora ci arriviamo. Nel 1882 Lindemann generalizzò il risultato di Hermite, dimostrando che in una equazione del tipo a0 + a1ep1 + a2ep2 + … = 0 non solo i coefficienti e gli esponenti non possono essere interi, ma non possono essere nemmeno tutti algebrici».
«Quindi almeno uno deve essere trascendente?».
«Sì. E se applichiamo questo risultato all'equazione 1 + eiπ = 0, dato che 1 è un numero algebrico, allora possiamo concludere che iπ deve essere trascendente».
«Ci sono. Immagino che ora dovremmo togliere quella i, si può?».
«Sì, si può, perché i numeri algebrici formano un campo. Questo significa che il prodotto di due numeri algebrici è algebrico. Ora ti domando: i è algebrico o trascendente?».
«Uhm, i, in effetti, è soluzione di una equazione facile».
«Quale?».
«x2 = -1».
«Giusto, è una equazione a coefficienti interi».
«Quindi i è algebrico».
«E dato che iπ è trascendente, mentre il prodotto di due numeri algebrici è algebrico…».
«Allora π è trascendente!».
«Ottimo. Quindi π non è radice di nessuna equazione polinomiale, e dunque non può essere espresso mediante somme, sottrazioni, moltiplicazioni o divisioni di numeri razionali, né può essere il risultato di un quadrato o di una radice quadrata».
«E quindi non è costruibile con riga e compasso».
«Esatto. E allora non si può costruire un quadrato equivalente a un cerchio, utilizzando solo riga e compasso».
«Poveri greci».
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