I greci non erano normali — 3: operazioni geometriche

I greci, utilizzando riga e compasso, erano in grado di eseguire le quattro operazioni, il quadrato e la radice quadrata.

«Cosa intendi quando dici che si possono fare le operazioni con riga e compasso?».

«Per esempio, dati due segmenti di lunghezza a e b, costruire il segmento di lunghezza a+b».

«Ah, capisco. Questo è facile, si mettono i segmenti uno dietro l'altro e si ha il risultato».

«Infatti, e altrettanto facile è costruire a-b; con a maggiore di b, naturalmente».

«Sì, sono cose che si fanno alle elementari. Invece, per quanto riguarda il prodotto ab? Devo costruire il rettangolo?».

«Eh, no. Il rettangolo ha effettivamente area ab, ma noi vogliamo un segmento di lunghezza ab».

«Ah. Allora non saprei come fare».

«Guarda questa costruzione».

«Uhm, mi ricorda un teorema che ho studiato a scuola».

«Sì, si chiama teorema di Talete, e afferma che se BD e CE sono paralleli, allora AB:BC=AD:DE».

«Ora ricordo: i segmenti sulla prima trasversale sono proporzionali ai segmenti sulla seconda».

«Sì. Detto in altri termini, il prodotto AB per DE è uguale a BC per AD».

«E dato che AB è uguale a 1, abbiamo che x è uguale a ab, e abbiamo costruito il prodotto. Bello».

«Sì. Naturalmente quando facciamo calcoli coi segmenti, abbiamo bisogno di una unità di misura. Nella nostra costruzione l'unità di misura è il segmento AB».

«Bene, ho capito».

«Se sai costruire ab, sai anche costruire a²».

«Ah, certo, basta porre a=b».

«Giusto. Ora prova a pensare a come fare per costruire a/b».

«Uhm, non saprei. Qui abbiamo imparato a fare le moltiplicazioni, ma con le divisioni come si fa?».

«Ricordati che abbiamo usato una proporzione, che è una uguaglianza tra due rapporti. Quindi la divisione c'è, bisogna solo usarla bene».

«Forse ho capito: scambio di posto 1 e b?».

«Esatto. Se poni AB=b e AD=1, hai che xb=a, cioè x=a/b».

«Benissimo. Rimane la radice quadrata, allora».

«Sì. Per quella dobbiamo usare un teorema diverso, quello che di solito si chiama secondo teorema di Euclide».

«In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo avente per dimensioni le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa. Giusto, vero? Il prof ce lo faceva ripetere sempre».

«Ve lo faceva studiare a memoria?».

«All'inizio pensavo di sì, poi però quando finalmente ero riuscito a imparare a memoria l'enunciato, lui mi ha detto "bravo, adesso dimmi cosa vuol dire", e io sono rimasto lì come un pesce lesso».

«Perché non avevi capito niente?».

«Eh, no. Lui voleva delle parole precise, io ho detto le parole precise. Poi mi sono reso conto che lui voleva che capissimo quello che stavamo dicendo».

«E magari, capendo quello che si sta studiando, si fa anche meno fatica a studiare, vero?».

«Ehm, già».

«Ottimo, mi piace il tuo prof. Allora, dato che sai cosa dice il secondo teorema di Euclide, eccoti un disegnino».

«Uhm, fammi capire. Vedo il triangolo rettangolo, ma vedo anche una semicirconferenza, come mai?».

«Ricordati che stiamo utilizzando riga e compasso. Il triangolo rettangolo c'è, ma non è necessario disegnarlo. Dato che ogni triangolo inscritto in una semicirconferenza è rettangolo, ci basta disegnare la semicirconferenza».

«Vero, questo me lo ricordo. Quindi, alla fine, per fare questa figura ci servono solo i segmenti AC e CB, giusto? Poi traccio la perpendicolare in C e trovo D».

«Esatto, questi due segmenti sono i nostri dati. L'unità, quella c'è sempre, e il segmento a di cui vogliamo calcolare la radice quadrata. Ora, se applichi il teorema di Euclide…».

«Ottengo che x² è uguale al prodotto di a per 1. Cioè il quadrato di x è uguale ad a, quindi x è uguale alla radice quadrata di a. Ottimo. Ma tutte queste costruzioni si possono fare con riga e compasso?».

«Sì, sia la costruzione della parallela che la costruzione della perpendicolare sono costruzioni standard. Le proposizioni 11 e 12 degli Elementi di Euclide riguardano la costruzione della perpendicolare, mentre la proposizione 31 spiega come costruire la parallela».

«Va bene. Quindi con riga e compasso possiamo costruire somme, prodotti, moltiplicazioni, divisioni, quadrati e radici quadrate. C'è altro?».

«Continui a fare belle domande».