mercoledì 29 giugno 2011

I greci non erano normali — 2: riga e compasso

Il compasso dei greci è uno strumento che si richiude dopo aver disegnato un cerchio.

«Praticamente inutile».

«Ma no, dai».

«Ma come no? Non puoi costruirci niente, non riesci nemmeno a ricopiare un segmento da un'altra parte».

«Tu credi che sia così, ma tieni presente che i greci facevano geometria con questi due strumenti, e tutti i teoremi classici che conosci fanno uso solo di riga e compasso».

«Ma dai, io non riuscirei nemmeno a copiare un segmento da un'altra parte, come ti dicevo».

«Bè, questo è uno dei primi problemi affrontati da Euclide. Nei suoi Elementi, questa costruzione è la proposizione numero due».

«E la uno qual è?».

«La uno riguarda la costruzione di un triangolo equilatero, conoscendone un lato».

«Ah, quella la so fare anche io, col compasso si punta su un estremo del lato e si traccia una circonferenza di raggio uguale al lato, si fa la stessa cosa dall'altra parte, ed è fatto».

«Sì, è così. Ecco una figura che riassume il procedimento».



«Però ancora non capisco come si possa copiare un segmento da un'altra parte, senza tacche sul righello e senza poter tenere il compasso aperto».

«Qui il procedimento è un po' più complicato. Diciamo per bene i termini del problema: dati un punto A e un segmento BC, costruire a partire da A un segmento congruente a BC, in una direzione assegnata».

«Ok, sì, il problema è questo. Voi Veri Matematici siete sempre bravi a dire le cose in modo rigoroso».

«Timeo Danaos et dona ferentes».

«Eh?».

«Niente, niente, tutte le volte che fai commenti sui Veri Matematici bisogna sempre stare attenti».

«Ok, non lo faccio più. Dai, dimmi come devo fare per copiare il segmento BC a partire da A».



«Per prima cosa congiungi A con B e costruisci il triangolo equilatero di base AB».

«Ah, ecco perché questa costruzione è la proposizione uno».



«Esatto, serve per dimostrare la numero due. Indica con D il terzo vertice del triangolo equilatero, e poi traccia le due semirette DA e DB».

«Va bene, questo posso farlo col mio righello quasi inutile».

«Ora punta il compasso in B e traccia la circonferenza di raggio BC».

«Ok, anche questo è fattibile, non sposto il compasso».

«Esatto. Chiama E l'intersezione tra la circonferenza che hai appena fatto e la semiretta DB».

«Bene, prendo quella fuori dal triangolo equilatero?».



«Sì. Adesso costruisci la circonferenza di centro D e raggio DE, e indica con F la sua intersezione con la semiretta DA».

«Ok, sempre quella esterna al triangolo equilatero?».

«Sì. Ecco fatto».

«Cosa?».

«Il segmento AF è congruente a BC».



«Ah, ma è vero! E se voglio disegnarlo in una direzione diversa?».

«Centra il compasso in A e traccia la circonferenza di raggio AF, e poi scegli la direzione che vuoi su quella circonferenza».

«Ho capito. Bé, alla fine il compasso scarso dei greci si comporta come un compasso normale».

«Infatti, grazie a questa proposizione puoi trasportare un segmento dove vuoi, come se tu usassi un compasso normale».

«E allora non potevamo subito dire che il compasso dei greci è uguale al nostro?».

«No, perché così abbiamo uno strumento ancora più semplice ed essenziale. E con quello possiamo fare comunque un sacco di costruzioni, e così la nostra abilità è ancora più evidente».

«Stai scherzando, vero?».

«Non molto, in realtà. Sai che nel 1672 Mohr ha scoperto che tutte le costruzioni che si possono fare con riga e compasso si possono fare solo col compasso?».

«Eh?».

«Sì, anche se la sua dimostrazione è stata trovata solo nel 1928. E nel 1797 Mascheroni ha scoperto in maniera indipendente lo stesso teorema, che oggi porta il nome di teorema di Mohr-Mascheroni, e che dice appunto che tutte le costruzioni fattibili con riga e compasso si possono fare anche senza riga».

«Ma come fai, senza riga, a tracciare le righe?».

«Eh, bé, questo è vero, nelle costruzioni di Mohr-Mascheroni le righe vanno immaginate, e sono definite quando si conoscono due punti contenuti in esse. A parte questo problema, tutto il resto si fa tranquillamente».

«Roba da matti. E si può fare il contrario? Cioè si può fare tutto con la sola riga?».

«No, una sola riga non basta. Servono anche un cerchio [edit: o almeno un arco di cerchio] e il suo centro. Questo è un risultato congetturato nel 1822 e dimostrato nel 1833, e si chiama teorema di Poncelet-Steiner».

«Ma, alla fine, con riga e compasso si possono fare tutte le costruzioni che si vogliono?».

«Ecco un'altra bella domanda».

[Per quanto riguarda la quasi inutilità del compasso, si veda RM 032]

5 commenti:

Anonimo ha detto...

Grazie.
ilcomizietto

Piotr R. Silverbrahms ha detto...

Ah, ora capisco!
Grazie anche da RM, Zar.

zar ha detto...

Prego :-)

FruFru ha detto...

Leggendo questo post mi è venuta un po' di nostalgia degli anni del liceo...la matematica è davvero affascinante!
Ciao!

zar ha detto...

Bene, bene, apprezzare la matematica è sempre una bella cosa :-)